平面问题的三角形单元

=
5 2
qa 2 EA
u
2
=
8 2
qa2 EA
u
3
=
9 2
qa2 EA
与材料力学的精确解答在节点处位移完全相同，回代可以得到 各点应变值，继续回代可以得到各点应力值。
有限元法求解
设取n=3，求解含节点位移的线性方程组，得各点位移如下
x L
N
N
dx
L-x
N
X
(a)
(b)
图 2-1
0 L 3
L 3
L 3
εx
=
du dx
=
ui
ui1 Li
由本构方程：
i
=
Ei
=
E( ui
ui1 ) Li
X 图 2-4
节点内AE
( ui
ui1 ) Li
Ni+1 =
AE
( ui+1 ui ) Li+1
有限元法求解
有限单元法求解直杆拉伸：
Ni
i q (Li + Li+1)
2
Ni+1
图 2-5
4、以i节点为对象，列力的平衡方程
u
5 qa2
2 EA
L a=
3
8 qa2
2 EA
9 qa2 2 EA
x (c)
有限元的单元分析
1 三角形单元位移插值函数
假设已知
如何求单元内(x,y)点位
移？
1 三角形单元位移插值函数
选择位移插值函数如下： 将i，j，m节点坐标（已知） 代入上式得含待定系数的方程组
代入上述位移函数可得：求解6个待定系数
（4）集合所有节点的平衡方程，形成整个 结构的平衡方程组，
（5）由于上述总刚度矩阵常常是奇异矩阵，无 法求解。引入边界条件，求解整个结构的所有 单元节点的位移 → 节点应变 → 节点应力。
有限元的单元分析
有限元分析实例求解
通过材料力学，弹性力学和有限元法分别求解对比：
例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
2-1 有限单元法的概念
有限单元法求解直杆拉伸：
假设线单元数为3个的情况，
L1 = a L2 = a L3 = a
0 u0 1 u1
2 u2 3 u3
图 2-6
平衡方程有3个：
i=1时，
2
u
1
u
2
=
q EA
a2
i=2时,
i=3时， 联立解得
u
1
+
2
u
2
u
3
=
q EA
a2
u
2
+
u
3
=
2
q EA
a2
u1
EA
EA
u = x N(x)dx = x q(L x)dx = q (Lx x2 )
0 EA
0 EA
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
εx
=
du dX
=
q (L X) EA
根据本构方程求应力
σx
=
Eεx
=
q A
(L
X)
材料力学求解方法
所以三个节点处的位移函数如下：
所以三个节点处的应变函数如下：
所以三个节点处的应力函数如下：
弹性力学求解方法
+dN
qdx
+dN
弹性力学求解方法
微元几何方程：
材料本构方程： 微元力平衡方程： 给出边界方程：
ε
=
du dx
σ = Eε
A
d dx
= -q
ux =0 = 0
x=L = 0
有限元法求解
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化（节点和单元） 2、外载荷集中到节点上，即把阴 影部分的重量作用在节点i上
单元内部位移模式必须满足三个条件才能保证收敛：
如 注意：
2 由节点位移求应变— 几何方程
2 由节点位移求应变— 几何方程
式中：
3 由应变求应力— 本构方程
将应变矩阵代入上式
4 由应力求节点力— 虚功方程
已知：单元节点力和节点虚位移， 节点力所做的虚功W为：
已知：单元内部应力和虚应变，则 整个弹性体内的变形虚功U为
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限元法求解
3、假设线单元上的位移为线性函数
x xi1
u
u
=u
(x) = u
i1+
u
i u Li
i1 (x x
i1)
i-1
Li
i
u i1 由几何方程： u (x) ui
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
由于每个节点有两个未知位移 分量，所以根据下列两个平衡 方程理论上，可以求解。
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
从网格节点的整体来看，本 问题共计6个节点，每个节点有 两个位移分量，共计12个（未知） 位移分量。
每个单元分析都可以用12个节 点位移中的6个，描述该单元的 节点内力：
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
L1 = a L2 = a L3 = a
0 u0 1 u1
2 u2 3 u3
图 2-6
材料力学求解方法
材料力学求解方法
根据力平衡条件有：内力 N(x)=q (L-x)
取微元 dx，则其伸长为 x截面上的位移：
Δ(dx) = N(x)dx = q(L x)dx
Fx = 0
Ni
N i+1
=
q
(Li + Li+1) 2
令
i
=
Li Li+1
将位移和内力的关系代入得
u i-1
+
(1 +
i )
ui
iu i+1
=
q 2 EA
(1 +
1
i
)
Li 2
(2 - 1)
用节点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程
未知数也有n个，解方程组，得出节点位移，进而计算应力
其中A 为三 角形 面积
将待定系数代入单元内部位移模式得到任意点位移：
式中：
进一步简化，令 单元内部位移模式可以简写为：
位移形函数
单元内部位移模式的矩阵表达式：
位移转换矩阵函数或位移形函数矩阵
单元内部位移模式的矩阵表达式可以简记为：
单元内部位移模式的矩阵表达式： 位移形函数Ni物理含义 故, Ni称为位移形函数。
将虚应变矩阵 代入上式并整理 再将应力矩阵代入得
单元刚度矩阵为
式中：
单元分析小结
位移函数 几何方程 物理方程 虚功方程
假设节点 单元刚度矩阵[k] 可以表达
位移已知
节点内力
单元分析小结
也就是说每个单元对节点贡献的力知道了
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
取节点i分析，单元 ①，③和④的共用 节点i，所以节点i 的内力为三个单元 分力在该点之和：
也就是说所有单元的节点内力都 能用12个位移未知量来表达。
5 节点平衡方程组— 整体刚度矩阵
列出所有节点的内、外力平 衡方程：准确的说是12个方程 可以求解12个未知量（可能是 位移也可能是外力）。
注意：边界上的节点，有些位 移是已知的，有些是外力已知 的。如果没有边界条件，方程 会有无穷多个解。
有限元分析的基本步骤
（1）结构离散化：将结构分割成有限个单元体 （2）选择位移模式：假定内任一点位移可以用单元节 点位移来表达，它们之间存在某种简单函数关系。
有限元分析的基本步骤
（3）计算单元刚度矩阵——求单元节点位移与 节点内力的关系
由虚位移原理 可以得到单元的刚度矩阵 求出节点内力：
有限元分析的基本步骤