四色定理的高中证明方法
四色定理数学证明过程
四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。
在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。
在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。
本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。
证明“四色定理”的方法是“规约法”。
即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。
步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。
通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。
这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。
步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。
通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。
然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。
这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。
步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。
这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。
总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。
它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。
通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
四色定理的证明
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相互相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个区域。
2、在这个区域内部增加一条线（封闭的或不是封闭的）将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相互相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相互相邻边上增加一个区域，变成三个相互相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相互相邻边的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域的边相互相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
在拓扑学中，一个结论就是平面上没有五个点可以用9条线互不相交而相连，但是，第10条一定画不出不相交的线。
这就是“本证明重点问题：在平面上画不出五个有边都相互相邻的区域。
”的原因。
6、我们无论在一个新的什么区域或地图的任意交界或不交界位置，无论怎样重复或2或3或4或5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，可得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相互相邻边的区域而再增加一种颜色。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
十色定理 四色定理
十色定理四色定理四色定理的尝试证明0引言百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”目前只有通过计算机经过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试书面证明。
1证明思路1.1证明范围及限制条件平面或球面地图，不考虑“飞地”。
1.2思路将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均四色足够，则命题得证。
1.3证明步骤步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。
步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。
2证明步骤一2.1建模第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。
n=任意非0正整数。
第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。
n=任意非0正整数。
显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。
球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。
下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。
条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻；当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述;我们接下来继续证明n>3时的情况：因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
4色定理证明
4色定理证明4色定理是图论中的一种定理，它指出，任何一个平面地图，只要它的区域是连续的、有界的，并且不相交或重叠，那么最多只需要4种颜色就可以将这些区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理是由英国数学家弗朗西斯·格斯·查普曼在1852年提出的，并在1976年由美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·黑肯证明。
为了更好地理解4色定理的证明过程，我们首先需要了解一些图论的基本概念。
图论是研究图及其性质的数学分支，而图是由顶点和边组成的数学结构。
在这个结构中，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
证明4色定理的关键在于构建一个特殊的图，这个图称为地图图或平面图。
地图图是由多个区域组成的，每个区域都是一个多边形，而且不相交或重叠。
我们可以将地图图的每个区域看作一个顶点，如果两个区域相邻，则它们之间有一条边。
为了证明4色定理，我们需要进行数学归纳法的推理。
首先，我们选取一个最小的地图图，它只有一个区域。
显然，我们只需要一种颜色就可以将这个区域着色。
接下来，我们假设对于任意一个具有n个区域的地图图，我们最多只需要4种颜色进行着色。
现在，我们考虑一个具有n+1个区域的地图图。
我们可以选择其中一个区域，将它看作是整个地图图的边界。
我们可以通过将这个边界区域所包围的区域进行染色，将这个边界区域看作是一个顶点，而将所包围的区域看作是这个顶点的邻居。
根据我们的归纳假设，这些所包围的区域最多只需要4种颜色进行着色。
而这个边界区域最多只需要3种颜色进行着色，因为它与所包围的区域相邻。
因此，这个具有n+1个区域的地图图最多只需要4种颜色进行着色。
通过数学归纳法的推理，我们可以得出结论：任何一个具有连续、有界、不相交或重叠的区域的平面地图，最多只需要4种颜色进行着色。
这就是4色定理的证明过程。
4色定理的证明对于图论的发展具有重要的意义。
它不仅解决了一个经典的数学难题，而且还为许多实际问题的解决提供了思路和方法。
四色定理的简单证明
四色定理的简单证明虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。
（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。
2 把外向接单独划分为相接关系。
3把相离、外相切统一划分为相离关系。
）此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。
如下图：图（1）分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。
2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。
各种有效图形关系如下图：图（2）分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。
所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。
3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（3）分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。
所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。
4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（4）分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。
由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。
四色定理的终极证明证明篇
公共边现象
在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
公共边现象 图8
精品课件！
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四色定理终极证明的说明
•一偶然机会，看到一篇《简单明了的四色问题的证明》，作者是焦永溢。这 个证明很有条理，又简单易懂，但是证明方法是否正确呢？我向许多数学爱 好者、数学教授专家求证，理会的人不多。据悉作者本人焦永溢也给众多数 学家、专家教授发过N多邮件，基本石沉大海。
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
五个区பைடு நூலகம்包围一个区域的情况
如图4所示，周围五个区域中， A与C可用同一种颜色，B与E可 用另一种颜色，D就必须用第三 种颜色，而中心的O就需要用第 四种颜色。由于中间区域与以 上几种情况一样只与包围它的 五个区域有接壤，它的存在与 否，只要外围五区域着色不变 也不会影响其它区域的着色。 就是说：在整个最大平面图中 可把图4中左边的情况看成与右 边一样，下方的关系图就是去 掉中心O点，把E点合并到B点， 只剩下四个点四条线。
四色定理的最简单证明
四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。
尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。
思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。
2. 选择其中一个地图并标记为A。
3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。
4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。
5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。
6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。
然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。
这导致了矛盾。
7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。
需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。
数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。
四色定理的两种证明
同五色定理证明的归纳法记L[i,j]表示i色和j色交替出现的一条路。
记G[i,j]表示由着i色和j色的顶点的导出子图。
对顶点n做归纳。
1. 当n<=4时，显然可四色着图。
2. 假设当n=k时，可四色着图。
于是当n=k+1时，记图中的一个＜=5度的顶点为v。
，去掉v。
，则剩余k个顶点，根据归纳假设，剩余的k个顶点可用四种颜色着色。
●当与v。
相邻的顶点的着色总数不超过3种时，v。
着剩余的第四色。
●当与v。
相邻的顶点的着色总数为4时，有以下两种情况：(a). d( v。
) =4，如图1所示。
图1图中1，2，3，4代表顶点所着的颜色。
当上图中着1，3的顶点之间不存在L[1,3]时，上图中着3的顶点与着1的顶点不在G[1,3]的同一分支中，可将上图中着3色的顶点所在分支中1与3两色调换，于是v。
可着3色。
当上图中着1，3的顶点之间存在L[1,3]时，着2，4的顶点之间必不存在L[2,4]，同理可将上图中着4色的顶点所在分支中4与2两色调换，于是v。
可着4色。
(b). d( v。
) =5，必有一种色着了两个顶点。
这两个着同色的顶点要么相邻，要么相隔一个顶点（或两个顶点）。
不妨设这两个同色顶点都着2色。
当这个同色顶点相邻时，如图2所示。
证明方法同(a)。
图2 图3当这两个同色顶点相隔一个顶点（或两个顶点）时如图3所示。
若上图中着1，3的顶点之间不存在L[1,3]或着1，4的顶点之间不存在L[1,4]时，证明方法同(a)。
上图中着1，3的顶点之间存在L[1,3]且着1，4的顶点之间存在L[1,4]时，被L[1,3]和v。
组成的环包围的着2色的顶点与着4色的顶点必不在G[2,4]的同一分支中，于是可将着2色的顶点所在的分支中2与4色调换，使2着4色，同样被L[1,4]和v。
组成的环包围的着2色的顶点与着3色的顶点必不在G[2,3]的同一分支中，于是可将这个着2色的顶点所在的分支中2与3色调换，使2着3色，于是v。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色定理证明
四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。
证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。
如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。
下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。
观察发现，两个图的本质是一样的。
3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
四色问题----四色
1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学 旳两台不同旳电子计算机上，用了1200 个小时，作了100亿判断，终于完毕了
著名数学家奥古斯都·德·摩根也没有能找到处理这个问题旳途径，著 名数学家威廉·哈密顿对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为 止，问题也没有能够处理。
1878～1880年两年间，著名旳律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交 了证明四色猜测旳论文，宣告证明了四色定理，大家都以为四色猜测从 此也就处理了。
1923年美国伯克霍夫：肯普旳想法+新旳设想证明了某些大旳构形可约
1939年美国数学家富兰克林证明了22国下列旳地图都能够用四色着色
1950年
，有人从22国推动到35国
1960年，有人又证明了39国下列旳地图能够只用四种颜色着色
随即又推动到了50国
————这种推动依然十分缓慢。
高速数字计算机旳发明，促使更多数学家对“四色问题”旳研究。从1936年就开始研 究四色猜测旳海克，公开宣称四色猜测可用寻找可约图形旳不可防止组来证明。
但是肯普旳证明阐明了两个主要旳概念:
“构形” “可约性”
构形：他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两
个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多种 邻国旳正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五 个邻国构成旳一组“构形”是不可防止旳，每张地图至少具有这 四种构形中旳一种。
“可约”性:“可约”这个词旳使用是来自肯普旳论证。
但是不少数学家并不满足于计算机取得旳成就，他们以 为应该有一种简捷明快旳书面证明措施。直到目前，仍由不 少数学家和数学爱好者在寻找更简洁旳证明措施。
4色定理的证明
4色定理的证明：对（连通的简单）平面图（记为G）的结点数n进行归纳。
当n=1时，结论当然成立。
假设当n=k(k是自然数)时结论成立，当n=k+1时：根据（连通的简单）平面图的性质，必存在一个结点，设为v，其度（记为d(v)）<=5。
1、当d(v)<4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
而结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色，故结论成立。
2、当d(v)=4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4，其着色各不相同，依此为c1,c2,c3,c4（着色若有相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），如图1所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
从结点v1出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c1和c3交替出现，依此为c1,c3,c1,c3,c1,c3,c1,c3，……。
若该结点集不包含结点v3，则结点v3就可以用c1进行着色，而不影响其他结点的着色，那么，结点v就可以用c3进行着色。
若该结点集包含结点v3，则从结点v2出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c2和c4交替出现，依此为c2,c4,c2,c4,c2,c4,c2,c4，……。
则该结点集不可能包含结点v4（否则，就不是平面图了），那么，结点v4就可以用c2进行着色，那么，结点v就可以用c4进行着色。
3、当d(v)=5时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4,v5，且只有2个结点的着色相同（若有2个以上结点的着色相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），着色相同的结点对的物理位置有相邻和相隔2种情况：（1）相邻。
与结点v相联的结点的着色依此为c1,c1,c2,c3,c4，如图2所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
4色的原理
4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。
这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。
这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。
2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。
然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。
3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。
如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。
类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。
4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。
由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。
需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。
如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。
四色定理证明
四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。
反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。
由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。
所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。
1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。
分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。
b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。
将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。
内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。
2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。
对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。
分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。
3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。
方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。
又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。
四色定理—张明升
四色定理的尝试证明
关于四色定理的证明：
1、容易知道：如果能用四种颜色填充一个平面图（相邻区域颜色不同），则一定能用五种颜色填充。
2、突破口：由此，要证明四色定理，只需证明平面图中的五个区域，不能两两相邻。
如果两两相邻，显然四种颜色是不够的，即此时至少需要五种颜色。
3、欧拉公式：V-E+F=2
V:顶点个数E：弧个数F：区域个数
4、绘图（直观的绘图，五个区域不能两两相邻；然而要得出五个区域不能两两相邻的结论，还需要证明。
）
对图—1的说明：上图分为五个区域，分别对五个区域着色（相邻区
域着不同的颜色）；显然在图—1中，各区域间的关系如下表：
相邻区域A B C D E
A sＹＹＹＹ
BＹsＹＹＹ
CＹＹsＹN
DＹＹＹsＹ
EＹＹＹs
概率法：
假设平面上有五个两两相邻的区域，面积相等；现在向该这五个区域随机地投掷两颗豆子，则：
【1】事件A:每个区域落入豆子的概率为1/5
【2】事件B:两颗豆子落在同一区域的概率为1/5
【3】事件C:两颗豆子落在相邻区域的概率为4/5（这是个假命题）【4】如何发现矛盾呢？————突破口：相邻区域落入豆子的概率不是4/5
不妨设五个区域分别为A、B、C、D、E。
由假设，每个区域必与其他四个区域相邻，那么两颗豆子分别落在A和B上的概率为2/25
‘已知’二维平面中五个不同区域不能两两相邻，而在三维区域中这是
可以实现的；因此，四色定理的证明，可以以非整数维空间来探讨。
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十年树木，百年树人。树人就是培育学生的责任意识。给学生一个信念：我要做一个负责任的人，对自己、对他人负责，好好学习、好好生活，将来做一个对社会有用的人.
延安精神，就是艰苦奋斗的精神。我们党是靠艰苦奋斗起家的，我们党和人民的事业是靠艰苦奋斗不断发展壮大的。回顾党的历史，从在上海成立到井冈山时期，从遵义会议到延安时期，从西柏坡到夺取全国政权，从新中国成立到改革开放新时期，我们的每一个成就、每一次胜利，都离不开艰苦奋斗。艰苦奋斗是工作作风，也是思想作风，是我们党的优良传统和政治本色，是凝聚党心民心、激励全党和全体人民为实现国家富强、民族振兴共同奋斗的强大精神力量。这是一条极其宝贵的历史经验,在这次做错误时我也有了一些经验,在没犯错误时心想学校纪律是不可动摇的,就像党员不可以冒犯党规一样,就像法律一样不可超越,就像科学一样不可随心所欲的.
心得体会2007-11-16 14:38各位在坐的师生:
大家好!
我错了，随着21世纪时期的到来,初中的过去,许多历史痕迹都将逐渐消逝，然而只有具思维的物体在流转的岁月中留有自生而来的思维。一直以来，检讨与自我检讨都是人们对自身素质提高的一个必要方法。外面的花花世界通常将人们本身发自内心深处的那些感觉朦上了一层层的面纱，人们只有不停的进行检讨及自我检讨才能将造成假象面纱掀开，真正的实质才得以体现，才不致于使人在假象中得出错误的结果。因此，在这里有必要去浅谈一下检讨与自我检讨。
进入社会我们必须现在有这样的思想"给人一碗水，自己必须准备一桶水"这就意味着我们必须好好学习,才能上任将来的工作.
由于检讨与自我检讨是一个循环不断的过程，每一个检讨与自我检讨本身也是一个实践的过程，其经历及结果也将产生下一个检讨与自我检讨，下一个检讨与自我检讨的结论往往是一个最新的行动指引。检讨与自我检讨因此具有周期性，一切具有思维的物质自产生至灭亡的过程中，检讨与自我检讨的周期越短，进化的阶跃就越大，往往它是一个傅立叶级数方程，越往前执行一个周期，下一次的波幅就会收窄，频率也因此而加密.
平面图的一些性质:
性质 1在平面图中边(V)点(E)存在V<=3(E-2);当且仅当V=3(E-2)的平面图是连通度最强的记为Kn;V<3(E-2)则是弱连通图记为Dn；n为点数,K为强平面标记，D为弱平面标记。
性质 2用离散数学的观点来说强平面中只要点(E)相同则两个图是等效的;
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。
性质 3对于一个平面图来说,强平面图都能用N色表示则弱平面图一定能够；
性质 4 一个平面图可以形成一个立体图的外表面，只要边随意收缩，在图中边是表示相邻；
证明： （1）。在平面内e=n且n<=4且v=3(e-2)时满足四色定理 （2）。设当 平面图 e=n且n>=4且v=3(e-2)时成立 则Kn满足四色定理 添加方法如下： A。在空白3角形内加如图（一） B。在连线上添加如图（二） C。在图外添加如图（三）
四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。
缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿”
四色定理:在平面图中只要4种色就可以区别于周围的色;
我非常感谢老师和学生会干部对我所犯错误的及时指正，我保证今后不会再有类似行为发生在我身上，并决心为我校的安全工作和迎评工作作出自己的一份微薄之力。请关心爱护我们的老师同学继续监督、帮助我改正缺点，使我取得更大的进步！希望老师和同学们在今后的工作、生活、工作中多多帮助我，帮助我克服我的缺点，改正我的错误。 为了挖掘我思想上的错误根源，我在此进行了十分深刻的反思和检讨。也真心地希望我能够得到改正的机会。请老师和同学们多多监督我。
证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。