2008年高考数学(江苏卷)(含加试题)含答案
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（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 （rad），将 表示成 的函数；
（ii）设 （km），将 表示成 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO= (rad)，则 ,故
根据面积公式得 = ，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有 解得 ，
故当 时取得 最大值
【答案】
14．设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的值为4
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0即x∈（0，1]时， ≥0可化为，
设 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；
【答案】
7．某地区为了解 岁的老人的日平均睡眠时间（单位： ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号
分组
（睡眠时间）
组中值（ ）
频数
（人数）
频率（ ）
1Baidu Nhomakorabea
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为▲
【解析】由流程图
【答案】6.42
当x＜0即x∈ 时， ≥0可化为 ，
在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4
【答案】4
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别交单位圆于 两点．已知 两点的横坐标分别是 ， ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故
【答案】
3．若将复数 表示为 是虚数单位）的形式，则 ▲．
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此
【答案】1
4．若集合 ，则 中有▲个元素
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，
∵BD 面BCD，∴面 面
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．
【答案】
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第 行（ ）从左向右的第3个数为▲
12．在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为2c，以O为圆心， 为半径作圆 ，若过 作圆 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为▲
【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故 ，解得 ．
【答案】
13．满足条件 的三角形 的面积的最大值▲
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，
，因此 ，共有6个元素．
【答案】6
5．已知向量 和 的夹角为 ， ，则 ▲．
【解析】本小题考查向量的线性运算．
= ， 7
【答案】7
6．在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域， 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投点在 中的概率是▲
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．
（1）直线 面 ；
（2）平面 面 ．
【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理，在面 内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。
【标准答案】
证明：（1）∵E,F分别是 的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥ 面ACD，AD 面ACD，∴直线EF∥面ACD；
，又OP＝ ，
所以 ，
所求函数关系式为
②若OP= (km)，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
参考公式:
样本数据 , , , 的标准差
其中 为样本平均数
柱体体积公式
其中 为底面积， 为高
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数 最小正周期为 ，则 ▲.
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.
【答案】10
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是▲．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n行第3个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．
【答案】
11．设 为正实数，满足 ，则 的最小值是▲
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得
，当且仅当 ＝3 时取“＝”．
【答案】3
8．设直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值是▲
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
【答案】ln2－1
9．如图，在平面直角坐标系 中，设三角形 的顶点分别为 ，点 在线段AO上的一点（异于端点），这里 均为非零实数，设直线 分别与边 交于点 ，某同学已正确求得直线 的方程为 ，请你完成直线 的方程：(▲) 。
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【试题解析】先由已知条件得 ，第（1）问求 的值，运用正切的和角公式；第（2）问求 的值，先求出 的值，再根据范围确定角的值。
【标准答案】
（1）由已知条件即三角函数的定义可知 ，
因 故 ，从而
同理可得 ，因此 .
所以 = ;
（2） ,
从而由 得 .
16．如图，在四面体 中， ，点 分别是 的中点．求证：
（i）设 （rad），将 表示成 的函数；
（ii）设 （km），将 表示成 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO= (rad)，则 ,故
根据面积公式得 = ，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有 解得 ，
故当 时取得 最大值
【答案】
14．设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的值为4
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0即x∈（0，1]时， ≥0可化为，
设 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；
【答案】
7．某地区为了解 岁的老人的日平均睡眠时间（单位： ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号
分组
（睡眠时间）
组中值（ ）
频数
（人数）
频率（ ）
1Baidu Nhomakorabea
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为▲
【解析】由流程图
【答案】6.42
当x＜0即x∈ 时， ≥0可化为 ，
在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝4
【答案】4
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别交单位圆于 两点．已知 两点的横坐标分别是 ， ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故
【答案】
3．若将复数 表示为 是虚数单位）的形式，则 ▲．
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此
【答案】1
4．若集合 ，则 中有▲个元素
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，
∵BD 面BCD，∴面 面
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．
【答案】
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第 行（ ）从左向右的第3个数为▲
12．在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为2c，以O为圆心， 为半径作圆 ，若过 作圆 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为▲
【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故 ，解得 ．
【答案】
13．满足条件 的三角形 的面积的最大值▲
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，
，因此 ，共有6个元素．
【答案】6
5．已知向量 和 的夹角为 ， ，则 ▲．
【解析】本小题考查向量的线性运算．
= ， 7
【答案】7
6．在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域， 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投点在 中的概率是▲
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．
（1）直线 面 ；
（2）平面 面 ．
【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理，在面 内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。
【标准答案】
证明：（1）∵E,F分别是 的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥ 面ACD，AD 面ACD，∴直线EF∥面ACD；
，又OP＝ ，
所以 ，
所求函数关系式为
②若OP= (km)，则OQ＝10－ ，所以OA =OB=
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
参考公式:
样本数据 , , , 的标准差
其中 为样本平均数
柱体体积公式
其中 为底面积， 为高
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数 最小正周期为 ，则 ▲.
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.
【答案】10
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是▲．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n行第3个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．
【答案】
11．设 为正实数，满足 ，则 的最小值是▲
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得
，当且仅当 ＝3 时取“＝”．
【答案】3
8．设直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值是▲
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
【答案】ln2－1
9．如图，在平面直角坐标系 中，设三角形 的顶点分别为 ，点 在线段AO上的一点（异于端点），这里 均为非零实数，设直线 分别与边 交于点 ，某同学已正确求得直线 的方程为 ，请你完成直线 的方程：(▲) 。
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【试题解析】先由已知条件得 ，第（1）问求 的值，运用正切的和角公式；第（2）问求 的值，先求出 的值，再根据范围确定角的值。
【标准答案】
（1）由已知条件即三角函数的定义可知 ，
因 故 ，从而
同理可得 ，因此 .
所以 = ;
（2） ,
从而由 得 .
16．如图，在四面体 中， ，点 分别是 的中点．求证：