车灯线光源的优化设计(定

A题：车灯线光源的优化设计

参赛队员:池雅庆孙一品张应洪

指导老师:吴孟达

国防科技大学

车灯线光源的优化设计

摘要:该论文建立了一个单目标非线性规划模型来进行车灯线光源的优化设计.由于建模环境比较复杂.为克服用微积分处理不规则物体解析方程的高度复杂性,本文采用光线跟踪算法进行模型求解.经过计算机的仿真数值计算得到，当光照度额定值为1勒克斯时，满足约束条件的线光源最小发光功率为72瓦，此时线光源长度为5.65毫米，测试屏上反射光的光照度分布图象如下.借助此模型的求解结果，根据评价设计规范的实用性原则，该文进一步分析了此设计规范的合理性并作出一定补充.最后根据实际情况对车灯模型作出两方面深入考虑，较全面地讨论了车灯线光源的优化设计问题.

线光源功率最小时测试屏上反射光的光照度分布图

一. 问题重述:

安装在汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米.经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在下述设计规范标准下确定线光源的长度.

该设计规范简化后描述如下.在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光.在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米.要求C 点的光强度C I 不小于某一额定值（可取为一个单位），B 点的光强度B I 不小于0I 的两倍（只须考虑一次反射）.

问题：

1. 在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小；

2. 对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区；

3. 讨论该设计规范的合理性.

二. 模型假设:

1. 该车灯反射面可视为标准的旋转抛物面；

2. 线光源为一无体积的线段；

3. 不考虑热损耗等其他损失，认为线光源功率就是线光源所发出的总辐射通量；

4. 题目中所述的“光强度”即为“光照度”；

5. 简化灯光的频率分布，参考普通汽车前照灯功率与其光通量关系,可设定此线光源发出的光光通量为30流明时，其发光功率约为1瓦.

三. 名词解释和符号系统：

1. 辐射通量e φ: 辐射通量是单位时间内辐射体所辐射的总能量，在本

问题中即为线光源的发光功率，单位是瓦（W ）；

2. 光通量Φ: 按人眼产生的视觉强度来度量的辐射通量称为“光通

量”,单位是流明（lm ）.光通量Φ和辐射通量e φ成正

比，即Φ＝K e φ.根据假设条件，K ＝30 lm/W ；

3. 光照度I: 某一表面被其它发光体照明,其单位面积上接收的光通

量叫做“光照度”，单位是勒克斯（lx ）.1lx=1lm/2

m

.

4. 光线： 代表经过某处的光的传播方向的射线；

5. 0I ： 本文设定的额定光照度，其值为1流明.C 点光照度不

小于0I ，B 点光照度不小于20I ；

6. d ： 所求线光源长度；

四. 问题分析:

对一个确定的车灯（包含确定的光源、确定形状的反射面和它们之间确定的相对位置），其投射出的光斑在空间的光照度分布也是确定的.题目确定了某车灯的反射面及其与线光源的相对位置，但规定其投射出的光斑在空间某处的光照度最小值.我们的目标就是求此线光源的长度d ，使车灯在约束条件下总功率最小，也就是发出的总光通量Φ最小.

五. 模型建立:

1. 讨论对象的物理抽象:

图一

如图一所示,现实中大部分线光源上各发光点发出的平行于横向垂直面上的光照度相同,可均记为I,但平行于各纵向平面光并不相同,近似与平行于横向垂直面上的光照度满足如下函数关系:

αα,sin '•=I I 为某点向某方向发出的光与纵轴的夹角.

这样,从线光源总体来看,与纵轴夹角越小的方向所发出的光照度越小.

如图二所示,取定空间坐标系,以线光源纵轴方向为x 轴,竖直向上方向为y 轴

, 方向为z 轴.

车灯反射面可以等效为一个内表面为反射面的标准旋转抛物面.经计算，易得其方程为pz y x 222=+，p ＝30mm.此抛物线焦距f=15mm.

测试屏平面方程为：z=25.015m.

图二所标各点坐标为：

F(0, 0, 15mm), A(0, 0, 25.015m),

B(-1.3m, 0, 25.015m), C(-2.6m, 0, 25.015m)

③反射光路：

严格的数学推导可以得到，当入射光的方向矢量为1V （|1V |=1），法线方向矢量为1N |1N |=1），则反射光的方向矢量)(2112V N V V ⋅⋅-=（证明见附录）.于是，当给出线光源上发出的某条光束的方程时，我们就能求得它与旋转抛物面的交点.得到交点后，使用多元函数微分法可以很快求得交点处的法线矢量1N ,并根据上式求得反射光方向矢量2V ，从而得到该光束在测试屏上的坐标.

图三

2. 约束条件:

由光照度分布约束得到： B I ≥20I ，C I ≥0I ；

由抛物面几何形状得到：0

3. 目标函数:

显然，线光源长度d 不同时，使B 、C 点光照度满足约束条件的最低e φ值是不尽相同的.在这些e φ值中必然存在一个最小值min e φ.我们的目标就是找到min e φ所对应的d.故目标函数为即为min e φ (d).

综上讨论，建立单目标非线性规划模型如下：

)(2)(..)60,0(),

(min I d I I d I t s mm d d C B e ≥≥∈Φ 六. 模型求解:

1. 解析分析法:

根据旋转抛物面的几何性质可知，从焦点F 发出的光经反射面反射后均平行z 轴射出，这会在测试屏上留下一个半径36mm 的圆斑，圆斑外没有来自F 的反射光.但是当在F 放置一线光源（如图二）时，线光源上的发光点并不都处于焦点，其向某方向发出的光线被反射后可能会聚，也可能发散，这就使圆斑形状发生变化.理论上用微积分可以精确算出测试屏上的光强分布，但由于可能需要计算任意不过交点的光束经抛物面反射后的传播方向，并对这些光束在测试屏上照射的光照度进行积分，不仅计算复杂，并且各解析式也会异常庞大，故不宜采用解析计算的模型求解方法.

2. 模拟搜索:

为解决不规则图形解析式微分和积分带来的困难，使用计算机模拟计算是必要的.我们使用光线跟踪法来模拟线光源发出的光在测试屏上的光照度分布，下面分步进行.

① 讨论对象的数字化: