2014年高考一轮复习数学教案：13.4 函数的连续性及极限的应用

13.4 函数的连续性及极限的应用
●知识梳理
1.函数的连续性.
一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0
lim x x →f （x ）存在；（3）0
lim x x →f （x ）=f （x 0）.
如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0
lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在
点x 0处连续.
2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.
3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）²g （x ）,
)
()(x g x f （g （x ）≠
0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.
特别提示
（1）连续必有极限,有极限未必连续.
（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f ”是可以交换顺序的.
●点击双基
1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A
2.f （x ）=
x
x
πcos
π
cos
的不连续点为 A.x =0 B.x =
1
22+k （k =0,±1,±2,…）
C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）
D.x =0和x =
122+k （k =0,±1,±2,…）
解析：由cos x
π=0,得x
π=k π+
2
π（k ∈Z ）,∴x =
)(1
22Z ∈+k k .
又x =0也不是连续点,故选D 答案：D
3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是
①②
④
A.①
B.②③
C.①④
D.③④
答案：A
4.四个函数:①f（x）=
x
1
;②g（x）=sin x;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）
答案：②③④
●典例剖析
【例1】（1）讨论函数f（x）=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
-
=
=
>
)0
(
1
;
),
(
),
(
1
x
x
x
x
处的连续性
在点
（2）讨论函数f（x）=
3
-
x
x
在区间［0,3］上的连续性.
剖析：（1）需判断
-
→0
lim
x
f（x）=
+
→0
lim
x
f（x）=f（0）.
（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.
解:（1）∵
-
→0
lim
x
f（x）=－1,
+
→0
lim
x
f（x）=1,
-
→0
lim
x
f（x）≠
+
→0
lim
x
f（x）,
∴
lim
→
x
f（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.
（2）∵f（x）在x=3处无定义,
∴f（x）在x=3处不连续.
∴f（x）在区间［0,3］上不连续.
【例2】设f（x）=
⎩
⎨
⎧
≥
+
<
),
(
),
(
e
x
x
a
x
x
当a为何值时,函数f（x）是连续的.
解:
+
→0
lim
x
f（x）=
+
→0
lim
x
（a+x）=a,
-
→0
lim
x
f（x）=
-
→0
lim
x
e x=1,而f（0）=a,故当a=1时,
lim
→
x
f（x）=f（0）,
即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,
f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.
评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.
【例3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x 轴上向正方向前进a （a ＞0）个单位后,向左转90°,前进a r （0＜r ＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r 2个单位,…,如此连续下去.
（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?
（2）若其中的r 为变量,且0＜r ＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?
剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. （2）可先求最终目的地关于r 的参数形式的方程.
解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q （x ,y ）,则 x =a －ar 2+ar 4－…=
)
(12
r a --=
2
1r
a +,
y =ar －ar 3+ar 5
－…=2
1r ar +,
∴大本营应在点（
21r
a +,2
1r
ar +）附近去寻找小分队.
（2）由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=,
1,122
r ar y r a x 消去r 得（x －2a ）2+y 2=42a
（其中x ＞2a ,y ＞0）,
即行动的最终目的地在以（2
a ,0）为圆心,
2
a 为半径的圆上.
●闯关训练
夯实基础
1.函数f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<<≤-+,
222,211
322x x x x
x x x 则有 A.f （x ）在x =1处不连续 B.f （x ）在x =2处不连续
C.f （x ）在x =1和x =2处不连续
D.f （x ）处处连续
解析：-→1
lim x f （x ）=0, +→1
lim x f （x ）=1,
∴f （x ）在x =1处不连续. 答案：A
2.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上 A.一定连续
B.一定不连续
C.可能连续也可能不连续
D.以上均不正确
解析：有定义不一定连续. 答案：C
3.已知函数f （x ）=⎩⎨
⎧-,
1,为无理数为有理数x x
x x 函数f （x ）在哪点连续
A.处处连续
B.x =1
C.x =0
D.x =2
1
解析：+→
2
1lim x f （x ）= -→
2
1lim x f （x ）=f （
2
1）.
答案：D
4.有以下四个命题: ①f （x ）=
x
1在［0,1］上连续;
②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值; ③2
πlim
→
x x
x cos 2sin 2=4;
④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨
⎧<+≥).
0(1
),0(x x x x
则0
lim →x f （x ）=0.
其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）
答案：③ 5.抛物线y =b （
a
x ）2
、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于
点A ,把线段OA 分成n 等份,作以n
a 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这
些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S
.
解：S =∞
→n lim ［b ²（
n
1）2+b ²（
n
2）2+b ²（
n
3）2+…+b ²（n
n 1-）2］2²
n
a
=∞
→n lim 3
2
2
2)1(2
1
n
n -+++
²ab
=∞
→n lim
3
6)
12()1(n
n n n -⋅⋅-²ab =
3
1ab .
培养能力
6.求y =f （x ）=x
x x x
1
1111
1
--+-
的不连续点. 解：易求f （x ）的定义域为{x |x ≠－1,0,1},所以f （x ）的不连续点为x =－1,x =0和x =1. 7.（2002年春季上海）某公司全年的纯利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金n b
元，然后将余额除以n 发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位
职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设a k （1≤k ≤n ）为第k 位职工所得奖金额，试求a 2、a ３，并用k 、n 和b 表示a k
（不必证明）;
（2）证明：a k ＞a k ＋1（k ＝1，2，…，n －1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n 和b 有关，记为P n （b ）．对常数b ，当n 变化时，求∞
→n lim P n （b ）（可
用公式∞
→n lim （1－
n
1）n =
e
1）.
（1）解：a 1＝
n
b ，a 2＝
n
1（1－
n
1）²b ，a 3＝
n
1（1－
n
1）2²b ，…，a k ＝
n
1（1－
n
1）
k －1
²b .
（2）证明:a k －a k ＋1＝
2
1n
（1－
n
1）k －1²b ＞０，此奖金分配方案体现了按劳分配的原
则.
（3）解:设f k （b ）表示发给第k 位职工后所剩余额，则f 1（b ）＝（1－n
1）²b ，f 2（b ）
＝（1－
n
1）2²b ，…，f k （b ）＝（1－
n
1）k ²b ，
得Ｐn （b ）＝f n （b ）＝（1－n
1）n ²b ,
故∞
→n lim Ｐn （b ）＝
e
b .
探究创新
8.（2003年北京）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）.
（1）证明{a n }是等比数列；
（2）求∞
→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.
（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=
2
l tan30°=
6
3l .
A
B
C
..O O 1
2
n
n n n r r r r +---11=sin30°=
2
1,∴r n =
3
1r n －1（n ≥2）.
于是a 1=πr 12
=
1
2
12
π-⋅
n n a a l ,
1
-n n a a =（
1
-n n r r ）2=
9
1,
∴{a n }成等比数列. （2）解：因为a n =（
9
1）
n －1
²a 1（n ∈N *）,
所以∞
→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=
9
111
-
a =
32
π32
l .
●思悟小结
1.函数f （x ）在点x 0处连续反映到函数f （x ）的图象上是在点x =x 0处是不间断的.一般地,函数f （x ）在点x 0处不连续（间断）大致有以下几种情况（如下图所示）.
甲
乙
丙图甲表示的是f （x ）在点x 0处的左、右极限存在但不相等,即0
lim x x →f （x ）不存在. 图乙表示的是f （x ）在点x 0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于0
lim x x →f （x ）不存在
的情况.
图丙表示的是0
lim x x →f （x ）存在,但函数f （x ）在点x 0处没有定义.
图丁表示的是0
lim x x →f （x ）存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f （x 0）.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数f （x ）在点x 0处连续与f （x ）在点x 0处有极限的联系与区别:
其联系是:f （x ）在点x 0处连续是依据f （x ）在点x 0处的极限来定义的,它要求0
lim x x →f （x ）
存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f （x ）在点x 0处有极限,对于点x 0而言,x 0可以属于f （x ）的定义域,也可以不属于f （x ）的定义域,即与f （x 0）是否有意义无关,而f （x ）在点x 0处连续,要求f （x ）在点x 0及其附近都有定义;其次,f （x ）在点x 0处的极限（值）与f （x ）在点x 0处的函数值f （x 0）可以无关,而f （x ）在点x 0处连续,要求f （x ）在点x 0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f （x 0）.我们通常说“连续必
有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
2.函数f （x ）在点x 0处连续必须具备以下三个条件: 函数f （x ）在点x =x 0处有定义; 函数f （x ）在点x =x 0处有极限;
函数f （x ）在点x =x 0处的极限值等于在这一点x 0处的函数值,即0
lim x x →f （x ）=f （x 0）.
这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.
●拓展题例
【例题】 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的
9
7,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.
解：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=
9
7v 0,v 2=（
9
7）2v 0,…,v n =（
9
7）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经
过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2³g
v 22
1
=10³
（2)9
7
.
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2,则L 2=2³
g
v 22
2
=10³（
9
7）4
.
由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为L n =10³（9
7）2n .
故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为
S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10³222)97(1])9
7(1[)97(--n =5+102
2)
9
7(1)
97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=
02g h =1（s ）.
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2³
g
v 1=2³
9
7,同理可得
t n =2³（9
7）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2³)
9
7(1]
)9
7(1)[97(--n
=8（s ）.
上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.。