二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

窆ｃ Ｍ
： ｃ ｉ＝ １
ｎ－ｉ 一（ ）
＝ 兰（ ）塞ｃ ｎ－ｉ ＋
Ｍ圭
： ｃ ｉ＝ １
ｉ－ ： 一（ ）
＝ ｃ… 。 一（ ）
＝ 鲁（ 一等）（ 一 ｎ－１）．
数 学 学 习 与研 究 ２０１０．１１
～ Ｍ
一
Ｍ
一 Ｍ
Ｃ
Ｃ
ｃ
Ｚ— ｌ
ｆ
ｃ ｃⅣ ｎ＋ｌ＾ｆ－ ｃ ｃ 二 一
ｃ
ｃ
）：圭
篆主ｉｃ ｎ－ｉ ＝ １
＝ 毒ｃ ： （利用预备公式３可得）
ｎＭ
—
Ｎ ’
圭 ＝ ｉ＝ ０
一 （ ）
Ｍ 窆 （ ） ＝ ｃ
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ｎ－ｉ
一
…
ｉ＝ １
＝
（ ）ｃ ：： ＋
的 概 率 为 ｑ，有 Ｐ＋ｑ＝１），那 么 在 ｎ次 实 验 中 该 结 果 发 生 的 次 数 的概 率 分 布 为
０
１
２
３
Ｐ ｃ：ｇ Ｃ１．ｐｑ 一‘ Ｃ２．ｐ ｑ 一 ｃ ｑ一
ｎ — ｌ
Ｃ： Ｐ一 ｑ ｃａｐ
Ｅ（ ）＝∑ ｃ ｑ
＝ ∑ ｉＣｉｏｐ～ｑ
＝ ∑ ｎｃ ｉ－一１ ｐ…ｑ‘（利用预备公式１可得）
Ｐ ｎ（ｎ一１ ＋ｎｐ—ｎ２ｐ ＝ ｎｐ —ｐ２ｎ
＝ｎｐ（１一Ｐ）． 二 、超 几何 分布 一 批 产 品共 Ⅳ件 ，其 中 有 Ｍ 件 不 合 格 品 ，随 机 取 出的 ｎ 件 产 品 中 ，不合 格数 的概 率 分 布 为
Ｏ
１
２
３
ｃ ｃ
一
Ｐ
ｃ
Ｃ Ｉ ｎ－ １ ＣＭ ２ ～ ｎ－２ Ｃ３ ｎ －３
预 备 公 式 １ ｉＣ ＝ｎｃｚ （ｎ≥１），利 用 组合 数计 算 公 式 即可 证 明． 预 备 公 式 ２ Ｄ ＝ 一（ ） ，证 明 见 教 材． 预 备 公 式 ３
ｃ：ｃ ＋ｃ，ｏｃ，ｏ一 ＋ｃ ｃ 一 ＋·－·＋ｃｋ ｃＯ ：Ｃ：＋ （ｎ，ｍ，ｋ∈
Ｎ ，ｋ≤ｎ，ｋ≤ ｍ），利 用 恒 等 式 （１＋ ）… ＝（１＋ ） （１＋ ） 的二 项 展 开 式 中 的 系数 相 等 可 证 ． 一 、 二 项 分 布 在 独立 重 复 实 验 中 ，某 结 果 发 生 的 概 率 均 为 Ｐ（不 发 生
ｉ＝ １
＝ｎｐ∑ ｃ Ｐ …ｑ
：印 （ｐ ｑ）
＝ ·
Ｖ（ ）＝Ｅ 一（Ｅ ）
＝ ∑ Ｃ＇ｏｐ…ｑ‘一ｎ２ｐ
＝ ∑ ｎｉＣｉ－＿ｌｐ…ｑ 一ｎＺｐ
＝ ｎ ∑ （ 一１）ｃｉ￣ｌｐ…ｑ
＝ｐ （ 一１）∑ ｃ—ｉ－２Ｐ ～ｇ… ＋
ｎｐ∑ ｃ Ｐ‘一ｑ‘。一ｎ２ｐ ｉ＝ Ｉ
＝ｐ２ｎ（ｎ一１）（ｐ ｑ） ＋印 （ｐ ｑ） 一 一ｎ２ｐ
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专 题 研 究
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● 穆 。
二项分布、超 几何 分布数学期 望
与方差公 式的推导
◎ 韩 晓 东 （江 苏 省 淮 阴 中 学 ２２３００２）
高 中教 材 中 对 二 项 分 布 、超 几 何 分 布 数 学 期 望 与 方 差 公 式 没 有 给 出推 导 过 程 ，现 笔 者 给 出 一 推 导 过 程 仅 供 读 者 参 考 ．