离散数学试题及答案
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离散数学试题及答案
一、填空 20% （每小题2分）
1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为
；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P
则公式),(x y yP x ∃∀真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。
3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R=
（列举法）。
R 的关系矩阵M R =
。
5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ；
A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c},
则幺元是 ；是否有幂等
性 ；是否有对称性 。
7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨)(())(( 的根树表示为
。
二、选择 20% （每小题2分）
1、在下述公式中是重言式为（ ）
A ．)()(Q P Q P ∨→∧；
B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔；
C ．Q Q P ∧→⌝)(；
D ．)(Q P P ∨→ 。
2、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。
A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S
2 有（ ）个元素。
A ．3；
B ．6；
C ．7；
D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上的等价关系
},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ⨯上一个划分共有（ ）个分块。
A ．4；
B ．5；
C ．6；
D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
则R 具有（ ）性质。
A ．自反性、对称性、传递性；
B ．反自反性、反对称性；
C ．反自反性、反对称性、传递性；
D ．自反性 。 6、设 ,+ 为普通加法和乘法，则（ ）>+< ,,S 是域。 A ．},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B ．},,2|{Z b a n x x S ∈==
C ．},
12|{Z n n x x S ∈+== D ．}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。
7、下面偏序集（ ）能构成格。
8、在如下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有（ ）条。
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4 。 9、在如下各图中（ ）欧拉图。
10、设R
是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统
A ．群；
B ．独异点；
C ．半群 。
三、证明 46%
1、 设R 是A 上一个二元关系，
)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明若R
是A 上一个等价关系，则S 也是A 上的一个等价关系。（9分）
2、 用逻辑推理证明：
所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。（11分）
3、 若B A f →:是从A 到B 的函数，定义一个函数A B g 2:→ 对任意B b ∈有
)})(()(|{)(b x f A x x b g =∧∈=，证明：若f 是A 到B 的满射，则g 是从B 到 A
2 的
单射。（10分）
4、 若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）
5、 设G 是具有n 个结点的无向简单图，其边数2)2)(1(2
1
+--=
n n m ，则G 是Hamilton 图（8分）
四、计算 14%
1、 设
出
2、 权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。（7分）
一、 填空 20%（每小题2分）
1、Q P →⌝；Q P ∧
2、T
3、},,,,{876540001111131a a a a a B B ==
4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,3>,<5,
4>,<5,5>,<5,6>}；⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛000001111111000
11111
11111
5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}；R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
6、a ；否；有
7、Klein 四元群；循环群
8、 B
9、)1(2
1
-n n ；图中无奇度结点且连通 10 、
二、
选择 20%（每小题 2分）
三、 证明 46%
1、（9分）
（1） S 自反的
A a ∈∀，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,
（2） S 对称的
传递
对称定义R S
a b R R b c R c a S R b c R c a S b a A
b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<⇒>∈<∈∀,),(),()
,(),(,,
（3） S 传递的