高斯光束基本性质及特征参数
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高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
第8章高斯光束
F2
w
2 0
1
f F1
2
F2 f
1
f F1
2
F2 F1
1
F1 f
2
F2 F1
② l>>F1
w0
(l
F F)2
f
2
w0
l l(l F) f 2 F (l F)2 f 2
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1)
w0
f
z=0.5m
f
w
2 0
3.14 106 3.14 106
1m
q=0.5+i(m)
(2)
w(z) w0
1 z2 f2
w0
1 0.52 12
2 2
RR
F
2
结论 只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
2
3、高斯光束的聚焦方法
(1) 使用小焦距透镜(F<f)
(2)将透镜置于腰处(l=0)或距腰足够远处(l>>f)
例1 波长为3.14m的高斯光束,腰半径1mm,使用焦
距F=0.1m的透镜对它进行聚焦,分别将腰置于透镜
处、距离透镜２m处,求聚焦后的腰半径及其位置.
解
q=2+i
q Fq 2 i (2 i)( 1 i) 2 i 2i 1 3 i
F q 1 2 i (1 i)( 1 i)
11
2
1.5 0.5i
l =1.5m f =0.5m
§3 高斯光束的聚焦与准直 一、透镜对高斯光束的变换公式
(已知l、f、F,求l 、f )
10第二章-5 高斯光束的基本性质及特征参数
§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数 • 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数
例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
第六章高斯光束详解
波谷
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
第4章 高斯光束
等相位面为球面； 曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
幅度非均匀的变曲率中心的球面波。
4.1.3 高斯光束的特征参数
(z) 0
z 2
1
f
R(z)
z
1
f z
2
0
f
f
2 0
（共焦参量）
1. 腰斑 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
(z)
0，z
A处：qA q0 l
B处：1 qB 1 qA 1 F C处：qC qB lC
)
0
可将基模高斯光束看作具有复数波面曲率半径的球面波光束
11
i
q(z) R(z) 2(z)
光腰处：
1
1
R(z)
Re
q(
z)
1
2 (z)
Im
1
q(
z
)
11
1
i
q0 q(0) R(0) 2 (0)
q0
i
2 0
if
§4.2 高斯光束的传输与变换规律
1. 普通球面波的传输与变换规律
x2
y2 )]
R
2R
3. 高斯光束 激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波，
而是一种比较特殊的高斯球面波。
E( x,
y, z)
A0 exp[
(z)
(x2
2
(z
y2 )
)
]
e
xp
ik[
x2 y2 2R(z)
z]
i
(z)
振幅因子
相位因子
0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径
高斯光束 通俗
高斯光束1. 引言高斯光束是一种常见的光束模式，具有重要的理论和实际应用价值。
它的特点是光强在空间上呈高斯分布，成为光学研究领域中的重要工具。
本文将从通俗的角度出发，介绍高斯光束的基本原理、特性以及其在科学研究和实际应用中的重要性。
2. 高斯光束的基本原理高斯光束是一种光波的传播模式，它的波前呈现出高斯分布的形状。
在光学中，光波的传播可以通过波动方程来描述，而高斯光束正是波动方程的解之一。
波动方程描述了光波的传播行为，其中包括波的幅度、相位和传播速度等信息。
在高斯光束中，光强的分布服从高斯分布的形式，即呈钟形曲线。
光强最大的地方称为光束的中心，而光强逐渐减小的地方则是光束的边缘。
高斯光束的光强分布可以用以下公式表示：I(r)=I0exp(−2r2 w2)其中，I(r)表示光束在距离中心r处的光强，I0为光束中心的光强，w为光束的束腰半径。
3. 高斯光束的特性3.1 光束的束腰和发散角高斯光束的束腰是指光束光强达到峰值的地方，也是光束最细的地方。
束腰的半径w是高斯光束的一个重要参数，它决定了光束的横向尺寸。
束腰半径越小，表示光束越集中，光强越大。
发散角是描述光束传播方向的一个参数，它决定了光束的扩散程度。
高斯光束的发散角与束腰半径有关，当束腰半径越小时，发散角越大，光束扩散越快。
3.2 光束的相位高斯光束的相位是指光波在传播过程中的相对位移。
光束的相位分布可以通过波前的形状来描述，而高斯光束的波前呈现出球面的形状。
这种球面波前在光学研究和应用中具有重要的意义，可以用来实现光束的聚焦和成像等功能。
3.3 光束的自聚焦效应高斯光束具有自聚焦效应，即在传播过程中可以自动聚焦到一个更小的尺寸。
这种自聚焦效应是由于高斯光束的非线性光学特性所导致的。
在某些介质中，高斯光束可以通过与介质相互作用来实现自聚焦，从而形成更强的光束和更小的束腰。
4. 高斯光束的应用4.1 光通信高斯光束在光通信领域有着广泛的应用。
由于高斯光束具有较小的束腰和较大的光强，可以实现高速、高容量的信息传输。
2.6 高斯光束基本性质及特征参数
z i kztg 1 f
1 1 i q z R z 2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和
z
1 Im 特例： 2 z q z
几何相移
与横向坐标 相关的相移
附加相移 (在旁轴情 况下可以忽 略)
3、等相面特点
(1)等相面为球面， 曲率半径为
0 2 f2 R R z z z 1 z z
(2)z=0时束腰位置，R(z)→。等相面为平面。 (3)z << f 时，R(z)≈ f 2/z→。等相面近似为平面。 (4)z >> f 时，R(z)→ z。光束可近似为一个有 z=0点发出的半径为z的球面波。 (5)z → 时，R(z)→ z。等相面为平面。 注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它要 随着光束的传播而移动。
可用ABCD公式验证普通球面波在自由空间和薄透镜中的 传输规律。 自由空间为例
r2 Ar B1 1
2 Cr1 D1
近轴光 , r2 R2 2 r R11 1 —ABCD公式
AR1 B R2 2 CR1 D r2
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
2
2 0 2 0 l F l F i lc F 2 2 2 2 F l 2 0 F l 2 0 1 2 2 2 qC 2 2 0 2 0 l F l F lc F 2 2 2 0 0 2 F l 2 F l 2 2 2
第八章 高斯光束全
基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w(z) w0
1
z2 f2
(f
z2 )
f
R(z) z f 2 z
３、q参数
(1)定义
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
1 R(z)
Re 1 q(z)
(2)计算 q(z) z if
T
1 F
1
R
1 1
R
0 R 1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
R FR FR
四、高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
证 传播L距离的光学变换矩阵
q 1 q L q L 0q 1
共焦谐振腔
共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度；
共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
共焦场等相面的分布
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返
2
T P P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w(z) w0
1
z2 f2
(f
z2 )
f
R(z) z f 2 z
３、q参数
(1)定义
1 q(z)
1 R(z)
i
w 2 (z)
1 R(z)
Re 1 q(z)
(2)计算 q(z) z if
T
1 F
1
R
1 1
R
0 R 1
R 1 R
FR F R
F
F
或
Ru
11 1 uv F
R v 1 1 1 R R F
R R
o u v o z
F
1 1 1 FR R R F FR
R FR FR
四、高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
证 传播L距离的光学变换矩阵
q 1 q L q L 0q 1
共焦谐振腔
共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度；
共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
共焦场等相面的分布
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返
2
T P P
0
0 2
I (r)2 rdrd I (r)2 rdrd
1
exp
2 2 2
0 0
孔径半径a ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
高斯光束的基本性质及特征参数r
0
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
高斯光束基本性质及特征参数
L 2
f
wz w f w0s
L
w2z w02
z2 f2
1
基模光斑大小变化规律
• 模体积－模式在腔内所扩展的空间范围 上海大学电子信息科学与技术
w0s
• 模体积～有贡献的激发态粒子数～输出功率
• 共焦腔基模体积
V000
1 2
Lw02s
L2
2
• 高阶模体积－ 模阶次 ，模体积
z
f2 z
f w02
腰斑半径
w0
f
小结：
上海大学电子信息科学与技术
• 在N>>1时, 共焦腔的自再现模可以厄米~高斯或拉盖尔~ 高斯函数近似描述
• 共焦腔光束的基本特征唯一地由焦距 f 决定, 与反射镜
尺寸a 无关。参数 f 或 w0 是表征共焦腔高斯光束的特征 参数。
y
(x,y,z)
x2 y2 z R0 z0 2 R02
c0 球面波
x2 y2
z z0
z z0 R0 R02 x2 y2
x2 y2 R02
取一级近似
R01
x2 y2 2R02
上式整理后得
近轴球面波
z
z0
三、圆形镜共焦腔－拉盖尔～高斯近似解 上海大学电子信息科学与技术
本征函数 本征值
Vmn
r,
Cmn
2
r w0s
m
Lm n
ei
k L m2 n12
mn
2
周炳坤激光原理与技术课件 第三章 高斯光束
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R来描述，它的 传
§ 3.2.2高斯光束q参数的变换规律———ABCD公式
一、高斯光束q参数在自由空间中的传播规律 根据式（2.9.9）表示的q参数的定义
λ 1 1 = −i q(z) R(z) πw 2 ( z )
（2.10.7）
（2.9.6）
1、用束腰半径 w0（或f）及束腰位置表征高斯光束 由式（2.9.1）与式（2.9.2）及ψ（z）式可知：一旦腰斑 w0及其位置确 定了，高斯光束的结构也就确定了。由f与 w0 的关系也可用f与束腰位置来表征 高斯光束。
2、用w(z)和R(z)表征高斯光束 由（2.9.4）和（2.9.6）式得到： πw 2 ( z ) 2 − 12 w 0 = w ( z )[1 + ( ) ] λR(z)
λ w(z) = w0
（2.9.2）
π w0 2 f = , w0 = λ
λf π
f 称为高斯光束的共焦参数或瑞利长度； R（z）为与传播轴线相交与z点的高斯光束等相位面的曲率半径。 当z等于f时， （z） 2w0 w = 对于一般稳定球面腔（R 、 2、 ）所产生的高斯光束w 及f与 R 、 2、 的关系为 0 1R L 1R L
§ 3.2
高斯光束q参数的变换规律
§ 3.2.1普通球面波的传播规律
一、普通球面波的传播规律
图（2.10.1）普通球面波在自由空间的传播 如图普通球面波，曲率中心为0，曲率半径R(z)的传播规律为
R1 = R ( z1 ) = z1
R2 = R ( z 2 ) = z 2 R 2 = R1 + ( z 2 − z1 ) = R 1 + L
= q0 + l = qB + lC
10第二章-5高斯光束的基本性质及特征参数
2R(z)
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
z f
]}
重新整理r
00 (x, y, z)
c exp{ik
(z)
r2 2
[
1 R(z
)
i
2(
z
)
]}
exp[
i(k
z
arctg
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯
函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
解
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
(z) 0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
R(z) z f 2 0.5 12 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m)
(
2 0
)
2
令
0
0
l l
F
1 2
l 1
2 0
l
2
0、
1 R(l) 2
激光物理第1.3章 高斯光束
q1 Aq B 1
1 2
1 2
i
2 y2
e
Cq1 D Aq1 B
q1 Aq B e 1
1 2
2 y2 i q 2
(1.4.8)
Aq1 B q2 Cq1 D
推广到二维坐标的情况,得到:
(1.4.9)
（1.3.8）和(1.3.11)
k qz Qz
E0 e
r 2 i P z q z
(1.3.26)
得到两个方程:
d 1 qz 2 0 q 2 z dz 1
1 dPz i 0 q z dz
2 01 2 01
2
2
C
因为C点取在像方光腰 处，此时应有
1 Re 0 qC
由此即可解得
l2 f ( f l1 ) f
2 2 2 01 2
( f l1 )
2 f 201
(1.4.16)
1 1 i 2 q( z ) ( z ) ( z )
z = 0 ，ρ(0)→∞，
(0) 0
1 1 1 i q0 q( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 )
02 q0 i iz0
可将高斯光束表示为
0 E ( x , y , z ) E0 e z
z0 2 ( z ) z 1 z 2 0 2 z0 ，k
（1.3.19）
均匀介质中高斯光束的传 播特性
沿z轴方向传播的基模(m=n=0)高斯光束
1 2
1 2
i
2 y2
e
Cq1 D Aq1 B
q1 Aq B e 1
1 2
2 y2 i q 2
(1.4.8)
Aq1 B q2 Cq1 D
推广到二维坐标的情况,得到:
(1.4.9)
（1.3.8）和(1.3.11)
k qz Qz
E0 e
r 2 i P z q z
(1.3.26)
得到两个方程:
d 1 qz 2 0 q 2 z dz 1
1 dPz i 0 q z dz
2 01 2 01
2
2
C
因为C点取在像方光腰 处，此时应有
1 Re 0 qC
由此即可解得
l2 f ( f l1 ) f
2 2 2 01 2
( f l1 )
2 f 201
(1.4.16)
1 1 i 2 q( z ) ( z ) ( z )
z = 0 ，ρ(0)→∞，
(0) 0
1 1 1 i q0 q( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 )
02 q0 i iz0
可将高斯光束表示为
0 E ( x , y , z ) E0 e z
z0 2 ( z ) z 1 z 2 0 2 z0 ，k
（1.3.19）
均匀介质中高斯光束的传 播特性
沿z轴方向传播的基模(m=n=0)高斯光束
第三章 高斯光束及其特性精选全文
1 1 1 R2 (z) R1(z) f
R2 ( z )
AR1(z) CR1(z)
DB,
A C
B
D
1 1 /
f
0
1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
f
2 2
2 F
q
(1
l F
)q (l q (1
l l
)
ll F
)
F
F
0
(l
F F )2
f
2 0
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸 随入射光束的变化：
l
l(l F ) (l F )2
f f
2 2
F
0
(l
F F )2
f
2 0
§3.1 基模高斯光束
0
(l
§3.1 基模高斯光束
球面反射镜对高斯光束的自再现变换：
F 1 R(l) 2
F
1 2
R球面
R球面 R(l)
当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径正好等于球面镜的曲率半径 时，在反射时高斯光束的参数将不发生变化，即像高斯光束与物高斯光 束完全重合。通常将这种情况称为反射镜与高斯光束的波前相匹配。
第三章 高斯光束及其特性
本章大纲
§3.1 基模高斯光束 掌握高斯光束q参数的表达 高斯光束在线性光学系统中的变换 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔模式的关系
§3.2 高阶高斯光束 了解高阶高斯光束的特性。
R2 ( z )
AR1(z) CR1(z)
DB,
A C
B
D
1 1 /
f
0
1
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
R2
AR1 CR1
B D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
f
2 2
2 F
q
(1
l F
)q (l q (1
l l
)
ll F
)
F
F
0
(l
F F )2
f
2 0
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸 随入射光束的变化：
l
l(l F ) (l F )2
f f
2 2
F
0
(l
F F )2
f
2 0
§3.1 基模高斯光束
0
(l
§3.1 基模高斯光束
球面反射镜对高斯光束的自再现变换：
F 1 R(l) 2
F
1 2
R球面
R球面 R(l)
当入射在球面镜上的高斯光束波前曲率半径正好等于球面镜的曲率半径 时，在反射时高斯光束的参数将不发生变化，即像高斯光束与物高斯光 束完全重合。通常将这种情况称为反射镜与高斯光束的波前相匹配。
第三章 高斯光束及其特性
本章大纲
§3.1 基模高斯光束 掌握高斯光束q参数的表达 高斯光束在线性光学系统中的变换 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔模式的关系
§3.2 高阶高斯光束 了解高阶高斯光束的特性。
高斯光束的基本性质及特征参数课件
变换方法
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
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|z0|
Rz0 z0
曲率中心永远不会在共焦腔中心
z0 Rz0 z0 波面离腔中心越远，曲率中心离中心越近
z0
L 2
在腔内的波面所对应的“发光点”在腔外
z0
L 2
在腔外的波面所对应的“发光点”在腔内
2
wz
y
e
r w2
2
z
e
i
x
,y
,z
(2.6.1)
E0，Amn, w0 均为常数， w0－ 基模高斯光束腰斑半径
上海大学电子信息科学与技术
共焦腔
f
L 2
基模场振幅分布
E00
x, y,z
A00 E0
w0 wz
e
x2
w2
y z
2
基模光斑尺寸
wz
L 2
1
z2 f2
w0s 2
1
z f
2
w0
基尔霍夫衍射积分公式
镜面上的场
腔内、外任一点的场
V x, y,z ik
4
s1
V
x1
,
y1
eik
1 cos ds1
坐标原点设在腔中心
Vmn x, y CmnH m
2 L
x
H n
2 L
y
e
x2
L
y2
• 模场的空间分布
Emn x, y,z
Amn E0
w0
wz
H
m
2
wz
x
H
n
高阶模
V10 r,
C 2 re e 10 w0 s
r2 w02 s
i
• 模的振幅分布
上海大学电子信息科学与技术
旋转对称 TEMmn m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)
TEM00
TEM01
TEM02
TEM01
TEM10
TEM20
TEM10
TEM20
TEM30
TEM02
TEM22
TEMmn模沿幅角 （）方向的节 线数目为m，沿 径向（r方向） 的节线圆数目为 n，各节线圆沿r 方向不是等距离 分布的。
上海大学电子信息科学与技术
Emn x, y,z
Amn E0
w0
wz
H
m
2
wz
2
x
H
n
wz
y
e
r w2
2
z
e
i
x
,y
,z
x,
y, z
k
f
1
12
r2 2f
m
n
1
2
其中 2z z
Lf
arctg
1 1
对于一个等相位面应有
x, y, z 0,0, z0
0,0, z0
kf
1 0
m
n
1
2
0
0
z0 f
上海大学电子信息科学与技术
k
f
1
12
r2 2f
m
n
1
2
kf
10
m
n
1
2
0
近轴情况 0
z z0
12
x2 y2 2f
1
0 02
r2 L
抛物面方程
x2
2
z0
1
y2
L 2 z0
2
• 球心C在负z轴上
y
(x,y,z)
上海大学电子信息科学与技术
TEM11
TEM12
TEM22
TEM34
• 相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面
• 单程相移
mn kLm 2n 12 kL mn
上海大学电子信息科学与技术
• 谐振频率
mnq
c 2L
q
1 2
m
2n
1
圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的
同一横模的相邻纵模的频率间隔
q
c 2L
c
2L
同一纵模的相邻横模的频率间隔
n
c 4L
1 2
q
,
m
q
•单程衍射损耗
mn
1
1
mn
2
mn 1, mn 0
所有自在现模的损耗为零
此结果的条件是 N
上海大学电子信息科学与技术
当N为有限时，拉盖尔-高斯近似能满意描述场分布及相移等特征，但不能用来 分析模的损耗。只有用精确解才能给出共焦腔模的损耗分析。
1
z f
2
腔中不同位置处的光斑大小不相同
腰斑尺寸
极小值
镜面上
w0
w0s 2
L 2
f
wz w f w0s
L
w2z w02
z2 f2
1
基模光斑大小变化规律
• 模体积－模式在腔内所扩展的空间范围 上海大学电子信息科学与技术
w0s
• 模体积～有贡献的激发态粒子数～输出功率
• 共焦腔基模体积
V000
z0 0 Rz0 共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面
z0 Rz0 无穷远处，等相位面为平面
z0 z0 R(z0) 相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布
z0 f L 2 Rz0 2 f L 波面与共焦腔镜面重合
上海大学电子信息科学与技术
可证明：共焦腔反射镜面是共焦腔中曲率半径最大的等相位面。
x2 y2 z R0 z0 2 R02
c0 球面波
x2 y2
z z0
z z0 R0 R02 x2 y2
x2 y2 R02
取一级近似
R01
x2 y2 2R02
上式整理后得
近轴球面波
z
z0
x2 y2 2R0
近轴高斯光波
上海大学电子信息科学与技术
抛物面方程
z
z0
x2 y2 2R0
1 2
Lw02s
L2
2
• 高阶模体积－ 模阶次 ，模体积
Vm0n
1 2
Lwms wns
2m
12n
1
L2
2
实例：=10.6m, L=1m, 2a=20mm V000 =5.3cm3 V=314cm3 V000 / V = 5.3 / 314 = 1.7% 难以获得高功率的基模输出
等相位面(波面)
比较
R0
z0 1
L 2 z0
2
z
z0
x2
2
z0
1
y2
L 2 z0
2
• 球心C在正z轴上，处理方法相同
R0
z0 1
L 2z0
2
z0 0
• 高斯光波在腔轴附近可近似为球面波
上海大学电子信息科学与技术
Rz0
z0
f2 z0
f
z0 f
f z0
z0
1
L 2z0
2
• 在腔轴附近，抛物面 球面，与m, n 模序数无关
共焦腔等相位面的分布
显然，如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲 率的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着入射方 向返回。这样共焦场分布将不会受到扰动。
R
上海大学电子信息科学与技术
Rz0
z0
f2 z0
f
z0 f
f z0
z0
1
L 2z0
2
L
• 光束波面的曲率中心（球面波“发光点”）0 L/2
三、圆形镜共焦腔－拉盖尔～高斯近似解 上海大学电子信息科学与技术
本征函数 本征值
Vmn
r,
Cmn
2
r w0s
m
Lm n
ei
kLm2
n12
mn
2
r2 w2
0s
e e
r2 w02s
im
cosm
sin m
缔合拉盖尔多项式
Lm 0
1
Lm 1
1
m
...
基模
V00 r,
C e
r2 w02s
00
低阶模的损耗小 与方形镜比较，N相同情况下，圆 形镜损耗方形镜损耗，大几倍。
圆形镜共焦腔模的单程功率损耗
上海大学电子信息科学与技术
自再现模积分方程
解析
对称共焦腔
本征函数、本征值
方形，圆形共焦腔镜面场分布，D，mnq
腔内、外行波场 *等效
一般稳定球面镜腔
高斯光束
§2.6 方形镜共焦腔的行波场 － 厄米～高斯光束 上海大学电子信息科学与技术