第三章 高斯光束及其特性

§3.1 基模高斯光束
傍轴波面通过焦距为f的薄透镜： (应用牛顿公式)其波前曲率半径 满足：
1 1 1 R2 ( z ) R1 ( z ) f
A B 1 AR1 ( z ) B R2 ( z ) , CR1 ( z ) D C D 1/ f 0 1
§3.1 基模高斯光束
高斯光束在其传输轴线附近 可近似看作是一种非均匀球面波


曲率中心随着传输过程而不断改变
振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性 等相位面始终保持为球面 强度集中在轴线及其附近
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
普通球面波
曲率中心固定的 R2=R1+L
高斯球面波Fra Baidu bibliotek
曲率中心变化的 q2=q1+L
1 1 1 R2 R1 F
AR1 B R2 CR1 D
曲率半径R
1 1 1 q2 q1 F Aq1 B q2 Cq1 D
复曲率半径q
总的变换规律
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸：
q z2 q z1 z2 z1 q z1 L
高斯光束的复数曲率半径q与普通球面波的曲率半径遵循 相同的传播规律
Aq1 B q2 Cq1 D
§3.1 基模高斯光束
高斯光束通过薄透镜的变换
q(0) q0 if q1 l q0 1 1 1 R2 R1 F
2
傍轴，谐振腔 外较远距离
z 0处， R( z ) ，束腰所在处的等相位面为平面； z f 处， R( z ) z; z , R( z ) ， R( z ) 极大值 z f 处， R( z ) 2 f ， R( z ) 极小值 当 z f 时, z R( z ) f ，曲率中心的位置 z R( z )在共焦腔腔外； 当 z f 时, z R( z ) f ，曲率中心的位置在共焦腔腔内
A B An 总矩阵元 M C D C n
Bn A2 Dn C2
B2 A1 C D2 1
B1 D1
Aq1 B q2 Cq1 D
§3.1 基模高斯光束
l (l F ) f 2 F l F , 0 0 2 2 (l F ) f ( l F )2 f 2
当满足 f l F ，即物高斯光束束腰离透镜足够远时
l lF 1 1 1 lF l l F
1）沿z轴方向传播的基模高斯光束
0 x2 y2 x2 y2 z u00 ( x, y, z ) c00 exp[ 2 ]exp{ i[k ( z ) arctg ]} (z) (z) 2 R( z ) f
其中，c为常数，k=2/， 0为基模高斯光束的腰斑半径，f 为高斯光束的共焦参数。曲率中心不断变化的球面波
q q1 l q q2 l
l ll (1 )q ( l l ) F F q 可以得到l’处的q’ : q l (1 ) F F
已知透镜的焦距，只要知道入射高斯光束的q和l，就可 求得出射高斯光束在l/处的q/
1 1 1 q2 q1 F
1 1 i 引入一个新的参数q(z)，定义为 2 q( z ) R( z ) ( z )
§3.1 基模高斯光束
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
q：复曲率半径
参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在 某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值 1 1 1 1 Re[ ], 2 Im[ ] R( z ) q( z ) (z) q( z ) 用q0=q(0)表示z=0处的参数值，得出 1 1 1 i ， R(0) ， (0) 0 2 q0 q(0) R(0) (0)
0
f

, ( z ) 0 z f ) f z
z 2 1 ( ) f
R( z ) f (
对称共焦腔镜面上 z f ：0 s ( z ) 20
重要！通过练习来加强理解和记忆
§3.1 基模高斯光束
振幅分布 、光斑半径
x2 y2 2( x 2 y 2 ) A( x , y, z ) A0 exp ， I ( x, y, z ) I 0 exp 2 2 ( z ) ( z )
第三章 高斯光束及其特性
本章大纲
§3.1 基模高斯光束 掌握高斯光束q参数的表达 高斯光束在线性光学系统中的变换 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔模式的关系 §3.2 高阶高斯光束 了解高阶高斯光束的特性。
§3.3 高斯光束的准直与聚焦 了解高斯光束的准直的与聚焦特点。
§3.1 基模高斯光束
1 2
1 1 i q2 R2 22
高斯光束是非均匀的、 曲率中心不断变化的球面波
注意区别f与F
q C q z2 lC
1 1 1 1 i 2 R1 F 1 q1 F
§3.1 基模高斯光束
束腰距离透镜分 别为l和l’
§3.1 基模高斯光束
Aq1 B 高斯光束 q2 Cq1 D
结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式， 由光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径)
§3.1 基模高斯光束
研究对象
特点 在自由空间的传输规律 通过薄透镜的变换
0 F l 腰斑放大率 k 0 l F l
可用几何光学处理傍轴光线的方法来处理高斯光束 特殊情况：当 l F l F
与几何光学迥然不同
§3.1 基模高斯光束
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
A1 M1 C1 B1 A2 , M 2 D1 C 2 B2 , D2 An Mn C n Bn Dn
02 q0 i if
f

（q0 是纯虚数）
用q参数研究高斯光束传输更为方便
§3.1 基模高斯光束
4） 高斯光束q参数的变换规律 普通球面波的传播规律 高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 用q参数分析高斯光束的传输问题
§3.1 基模高斯光束
普通球面波在自由空间的传播规律 O点发出的球面波波前曲率 半径随传播过程的变化为：
§3.1 基模高斯光束
2）高斯光束在自由空间的传输规律：
( z ) 0
z 2 ( z ) 1 , lim 2 z z f f
2
( z ) 的渐近线夹角θ定义为光束的发散角
§3.1 基模高斯光束
,z 0 f R ( z ) z 等相位面的曲率半径 2 f ,z f 近似球面波！ z 曲率中心随z变化 z , z f
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： 用q参数表征高斯光束
0 x2 y2 x2 y2 z u00 ( x, y, z ) c00 exp[ 2 ]exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) (z) 2 R( z ) f
0 x2 y2 1 z u00 ( x, y, z ) c00 exp{ik [ i 2 ]}exp[ i (kz arctg )] (z) 2 R( z ) ( z ) f
R1 ( z ) R z1 z1 R2 ( z ) R z2 z2 R2 ( z ) R1 z z2 z1 R1 z L
A B 1 L AR1 ( z ) B R2 ( z ) , CR1 ( z ) D C D 0 1
入射高斯光束的光腰在l处，
出射高斯光束的光腰在l ’处
2 2 F f 0 f 2 2 q q0 if 等式两端的虚部 (l F ) f 和实部对应相等 2 0 l (l F ) f 2 if l F q q0 2 2 (l F ) f l ll F (1 ) q ( l l ) 0 0 2 2 F F (l F ) f q q l (1 ) F F
2 z f2 1 ， R z z z f
z 0
1 q z 1 z f z
2
1 z if 1 2 q 2 z f if z
反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系
§3.1 基模高斯光束
球面波的传播规律可以统一写成
AR1 B R2 CR1 D
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，传播规律由变换矩阵确定。
§3.1 基模高斯光束
2）高斯光束q参数的传输变换规律 1 1 i q z R z 2 z
0
f

z 2 1 ( ) f
( z ) 0
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数： 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决定高斯光 束腰斑的大小0和位置z
2 2 2 (z) z z ( z ) 1 0 ( z ) 1 0 1 0 2 R ( z ) f 0 2 2 2 2 R( z ) 0 f z 1 R( z ) z z R( z ) 1 2 ( z ) z z
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸
随入射光束的变化：
l (l F ) f 2 l F 2 2 (l F ) f
0
F ( l F )2 f 2
0
§3.1 基模高斯光束
0 F (l F ) f
2 2
0
l固定的情况下：
2 0
i

2 ( / 0 )f2 z 2 i 2 2 2 2 z f z f z f
z if z q(0) z
§3.1 基模高斯光束
02 q z i z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2