高中三年级复习专题12--超越函数解决策略分析

高三复习专题12 超越函数解决策略

知识点：

y = e x 与 y = ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常

重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x ≥ x + 1 与ln x ≤ x -1导数放缩的重要工具之外，

另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略.

一.常见图像及其性质：

1.y = xe x

性质：

2. x e x y =

性质：

3.x e y x =

性质：

4. y = x ln x

性质：

5.x x y ln = 性质：

6.x x y ln =

题组1.y = xe x

1.已知函数x

e a x x

f +

-=1)(，（e R a ,∉是自然底数） （1）求函数 f (x ) 的极值；

（2）当 a = 1的值时，若直线 l : y = kx -1与曲线 y = f (x ) 没有公共点，求 k 的最大值.

提示（1）略（2）1=k

2.已知函数 1ln )(-+=x

a x x f ， a ∈ R （1）若函数 f (x ) 的最小值为 0，求 a 的值；（1=a ）

（2）证明： e x + (ln x -1) s in x > 0 ．略

题组2x

e x y = 1.已知函数

f x x a e x a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数.

2.已知函数

f ( x ) = a e 2 x + ( a - 2) e x - x . （1）讨论 f ( x ) 的单调性

（2）若

f ( x ) 有两个零点，求 a 的取值围

题组3.x

e y x

= 1.已知函数 x e ax x f -=2)( a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数.

2.证明： e x + ex ln x ≥ ex 2

3.设函数 f (x ) = ax 2 - a - ln x ，,1)(x e

e x x g -=其中a R ， （1）讨论

f (x ) 的单调性；

（2）证明：当 x > 1 时， g (x ) > 0

（3）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) > g (x ) 在区间 (1, +∞) 恒成立．

题组4x x y ln =

1.设函数x be x ae x f x x

1

ln )(-+=，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y . 证明：.1)(>x f

2.已知函数x

a x x x f +-=ln )(. （1）讨论函数)(x f 的单调性；

（2）证明：

1)1ln(11<+<+x

x x .

x ln

1.设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则( )

A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z <<

2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x .

（1）求b a ,的值.

（2）当0>x 时，恒有x x ln >

（3）证明：对任意的0>M ,总存在正数0x ，使得0x x >时，恒有x M x ln >.

x

1.已知已知π 是圆周率，e为自然对数的底数．

x x

x f

ln )

(=

（1）求e

3 ，3e ，eπ ，π e ，3π ，π 3 这6个数中最大数和最小数；

（2）将e

3 ，3e ，eπ ，π e ，3π ，π 3 这6个数按时从小到大的顺序排序，并证明你

的结论

2.设函数f (x) = ln x - ax ，g(x) = e

x - ax ，其中a为实数．

（1）若f (x) 在(1,+∞) 上是单调减函数，且g(x) 在(1,+∞) 上有最小值，求a的取值围；

（2）若g(x) 在(-1,+∞) 上是单调增函数，试求f (x) 的零点个数，并证明你的结论．

《高三数学复习专题系列之培优课程》

1.导数预热

2.单调性含参分类讨论策略

3.极限与洛必达的应用

4.二阶导的目的及处理

5.极值问题

6.最值问题

7.切线、公切线常见套路

8.距离问题

9.零点和端点效应

10.隐零点处理方法

11.三次函数的五个题型

12.超越函数处理策略

13.任意存在性问题

14.导数中的构造函数

15.极值点偏移问题（1）（2）

16.放缩法证明不等式

17.数列不等式的证明