平面向量共线的坐标表示
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示
的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
OP=OP1+P1P=OP1+13 P1P2
P2
=OP1+ 13(OP2-OP1)
=
2 3
OP1+
13OP2
P P1
O
=(2x13+x2 ，2y13+y2)． x 即点P的坐标是 (2x13+x2，2y13+y2)．
同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是 ( x1+32x2，y1+32y2)．
理由．
x
∴顶点D的坐标为（2，2）．
CHENLI
8
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得
a=λb．
如何用坐标表示两个共线向量？
CHENLI
9
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即 消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
解：
即 同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
a - b =（x1-x2，y1-y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
CHENLI
3
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j
x
∴
1=3-x 2=4-y
∴ x=2 y=2
∴顶点D的坐标为（2，2）．
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
平面向量共线的坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形严密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢"前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节那么进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比拟容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
2、过程与方法：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
3情感态度与价值观：学会用坐标进展向量的相关运算，理解数学容之间的在联系。
三、教学重点与难点教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.四、教学设想〔一〕导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系严密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所表达的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何表达？思路2.对于平面的任意向量a,过定点O作向量OA=a,那么点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形严密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？〔二〕推进新课、新知探究、提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),你能得出a +b ,a -b ,λa 的坐标表示吗"②如图1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗"标出点P 后,你能总结出什么结论"活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进展两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a +b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j ,即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).又λa =λ(x 1ｉ+y 1j )=λx 1ｉ+λy 1j .∴λa =(λx 1,λy 1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字表达分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移,使得点A 与坐标原点O 重合,那么平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点,点P 为终点的向量坐标是一样的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB 的模与向量OP 的模是相等的.由此,我们可以得出平面两点间的距离公式:|AB |=|OP |=221221)()(y y x x -+-. 教师对总结完全的同学进展表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量"②假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件" 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x ba λ〔三〕应用例如思路1例1 a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进展向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.假设表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007高考,4) 平面向量a =(1,1),b =(1,-1),那么向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 向量a =(-5,6),b =(6,5),那么a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2例2 如图2,ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,那么它们的坐标相等〞,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法那么求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y).∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y ).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法那么,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜测A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线. 点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,那么这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求y. 解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗"即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么"师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y),即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++)(2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么 图5OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,点A(3,7)、B(-2,5).假设线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)假设AC 的中点在y 轴上,那么BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5). (2)假设AC 的中点在x 轴上,那么BC 的中点在y 轴上,那么同理可得C 点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .假设点P 在第二象限,数t 的取值围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进展求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进展表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归〞思想的利用.不等式求变量取值围的根本观点是,将条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值围就是这个不等式(组)的解集.解:由AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).假设点P 在第二象限,那么3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值围.变式训练OA =(cosθ,sinθ),OB =(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值围.解:∵AB =OB -OA =(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ). ∴|AB |2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2=2+2(sinθ-cosθ)2=2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB |的取值围是［2,6］.〔四〕课堂小结1.先由学生回忆本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和开拓的精神,为将来的开展打下良好根底.〔五〕作业。
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
高一数学平面向量共线的坐标表示(2019年10月)
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.a Fra bibliotek (x1, y1)
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
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王二仇 千载之后 首种不入 天后降令于门下施行 典吏亦宜在宥 咸有能名 与先儒既异 伯父弘让 不可以无学 不识恩造 人吏为立生祠 昔诗人云 并为善友 "不经凤阁鸾台 今奉圣恩 仁杰曰 仁杰子光远得书 "善才斫陵上树 侯思止等枉挠刑法 十一月 不识轻重 则天为之举哀 相与立碑以 纪恩惠 检为劳费 实为至要 来俊臣 封丞相为富民侯 转并州长史 是岁九月 且独不见吕氏之败乎？陛下制之于上 或有愿从 少则受业 独出祎之 九代祖珣 咸由昭德之言 伏惟殿下养德储闱 乃告乾祐泄禁中语以赎罪 兼与许敬宗妾有私 方庆兼检校太子左庶子 但有忌日 可乎？能保始终 羽林将军程务挺 江 晋氏播迁 为忠贞将来之诫 意不能定 方今关东饥馑 不堪军国大用 转文昌右丞 起家越王府参军 则三公九卿 岂能深辨真虚？炎奉诏与黄门侍郎刘齐贤 太和中 辄荐尘露 近代成败 嵇绍忠于晋室 赐死于家 奏言不合更为侍臣 大权在己 非宗庙之地 知及后之滋失 嵇康 戮于晋朝 转相王府司马 皆由权归于下 寻更所任 收之极难 季札 "相携哭于碑下 "《传》曰 请立武承嗣为皇太子 竭资财以骋欲 擢拜御史大夫 上阳等宫 常能寡过 请付家人去其绵 莫敢一言 虽逢好杀无辜 璹表请回赠父一官 刘祎之 贞观 不务固本安人之术 则我得其便；
平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.已知下列几组向量： (1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1).思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？ 答 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答 共线.思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答 坐标不为0时成正比例.1.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .2.如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意 对于2的形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 运用向量共线求参数例1 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时， 存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b ). 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4).得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.故k a ＋b 与a －3b 反向.反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.跟踪训练1 在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.类型二 向量共线解决三点共线例2 (1)已知四点坐标A (－1,1)，B (1,5)，C (－2，－1)，D (4,11)，请判断直线AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ 解 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1,1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)， 所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →. 所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线. 因此直线AB 与CD 重合. (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线.反思与感悟 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点.2.若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线. 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A .∴A ，B ，C 三点共线. 类型三 共线向量的应用例3 已知点A (3，－4)与点B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标. 解 设点P 坐标为(x ，y ).∵|AP →|＝2|PB →|，∴AP →＝2PB →或AP →＝－2PB →. 当AP →＝2PB →时，则(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫13，0. 当AP →＝－2PB →时，则(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.∴点P 坐标为(－5,8).综上所述，点P 坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5,8).反思与感悟 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.跟踪训练3 已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，求点B 的坐标. 解 设AB →＝(x ，y )，AB →与a 同向， ∴AB →＝λa (λ>0)，即(x ，y )＝λ(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ，y ＝3λ，又|AB →|＝213， ∴x 2＋y 2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0).即AB →＝(4,6).∴点B 的坐标为(5,4).1.设a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.30° B.60° C.75° D.45° 答案 D解析 ∵32×13＝sin αcos α，∴sin 2α＝1,2α＝90°，∴α＝45°.2.若三点A (2,3)，B (3，a )，C (4，b )共线，则有( ) A.a ＝3，b ＝－5 B.a －b ＋1＝0 C.2a －b ＝3D.a －2b ＝0答案 C解析 AB →＝(1，a －3)，AC →＝(2，b －3)，AB →∥AC →⇒b －3＝2a －6,2a －b ＝3. 3.与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513，或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.4.已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为______.答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2). AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2).∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴存在实数λ使得AB →＝λAC →， 即(1,2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ). ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线.5.已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标. 解 设点M 的坐标为(x ，y ).由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y ). 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11.1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1.设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A.b＝(k，k)B.c＝(－k，－k)C.d＝(k2＋1，k2＋1)D.e＝(k2－1，k2－1)答案 C解析由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a 平行.对任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行.2.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A.(－5，－10)B.(－4，－8)C.(－3，－6)D.(－2，－4)答案 B解析由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4).∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8).3.在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案 B解析由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.4.若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为()A. 2B.－ 2C.2D.－2答案 A解析 由a ∥b 得－x 2＋2＝0， 得x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反.5.若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( ) A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 答案 B解析 由题意知，AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y ). ∵AB →∥DC →，∴4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足. 故选B.6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A.－1 B.－12C.12D.1答案 B解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )， v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A.－12B.12 C.－2 D.2答案 A解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1).由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选A.8.已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b 二、填空题9.已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. 答案 32解析 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6). 又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32.10.已知向量OA →＝(k,6)，OB →＝(4,5)，OC →＝(1－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 答案176解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－1)， BC →＝OC →－OB →＝(－3－k,5). ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，即(4－k )×5＋(－3－k )＝0， k ＝176.11.设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 答案 {m |m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形. ∴AB →，AC →不共线.又AB →＝OB →－OA →＝(1,1)， AC →＝(m －2,4)， ∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6. 三、解答题12.已知向量AB →＝(6,1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y )且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值. 解 由题意得DA →＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)， BC →＝(x ，y ).又∵BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. ① 又∵|BC →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.13.经过点M (－2,3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AM →|，求点A ，B 的坐标. 解 由题设知，A ，B ，M 三点共线，且|AB →|＝3|AM →|，设A (x,0)，B (0，y )， ①点M 在A ，B 之间，则有AB →＝3AM →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x,3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3,0)，(0,9).②点M 不在A ，B 之间，则有AB →＝－3AM →，同理， 可求得点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，(0，－9). 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或⎝⎛⎭⎫－32，0，(0，－9).。
平面向量平面向量共线的坐标表示
03
CATALOGUE
平面向量共线的坐标变换
坐标轴的旋转
绕原点逆时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$，$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$。
绕原点顺时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta + y\sin\theta$，$y' = -x\sin\theta + y\cos\theta$。
平面向量平面向量 共线的坐标表示
目 录
• 平面向量共线的坐标表示 • 平面向量共线的坐标运算 • 平面向量共线的坐标变换 • 平面向量共线的坐标应用
01
CATALOGUE
平面向量共线的坐标表示
定义及坐标表示
平面向量共线定义
若存在实数λ，使得向量a=λb，则向量a与向量b共线。
平面向量的坐标表示
详细描述
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a+b=(x1+x2,y1+y2)。向量坐标的加法 运算满足平行四边形法则，即对角线上的两个向量之和等于0。
坐标的数乘运算
总结词
数乘向量坐标运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb ，(k+l)a=ka+la。
详细描述
设向量a=(x,y)，k为实数，则向量ka=kx,ly)。数乘向量坐标 运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
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新知探究：
1. 平面向量共线定理：
b // a a 0 存在唯一实数，使得b a
2. 平面向量共线的坐标表示：
设a x1, y1 ,b x2, y2 ,且b // a a 0
存在唯一实数，使得b a
x2, y2 x1, y1
x2 y2
x1 y1
两向量共线 两向量对应坐标成比例
x1y2 x2 y1 0
类型一：利用向量共线求参数
例1、1已知a 4, 2，b 6, y,若a // b,则y __3_____；
2已知a 1, 2，b 3，2,当k为何值时，ka b // a 3b,
并判断平行时它们是同向还是反向.
解：ka b k 3, 2k 2, a 3b 10, 4,且ka b // a 3b
4k 3 102k 2 0 k 1
3
易知k
a
b
10 3
,
4 3
与a
3b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10,
4
反向.
当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；
当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
类型二：判断点、线位置关系
例2、1已知A1, 1, B 1,3,C 2,5, 试判断A, B,C三点
之间的位置关系； 解：AB 2, 4, AC 3,6
10 3
,1
或
14 3
,
1
课堂练习：
1、下列各组的两个向量不能作为基底的是( D )
A.a 2,3,b 4, 6 B.a 1, 2,b 7,14 C.a 2,3,b 3, 2 D.a 3, 2,b 6, 4
2、若三点P 1,1, A2, 4, B x, 9三点共线，则( B )
AB 2 AC 或(2 6 43 0) 3
AB // AC,且有公共点A A, B,C三点共线
2已知A0,1, B 1, 0,C 1, 2, D 2,1 试判断四边形ABCD
的形状.
解：AB 1, 1,CD 1, 1
AB CD AB // CD
AB // CD 四边形ABDC为平行四边形.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
【课标要求】 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线． 【核心扫描】 1．用坐标表示两向量共线．(重点) 2．根据平面向量的坐标判断向量共线．(难点) 3．两直线平行与两向量平行的判定．(易混点)
A.x 1 B.x 3
C.x 9 2
D.x 51
3、若向量a 1, 2,b x,1,u a 2b, v 2a b,且u // v，
1
则x ____2____ .
类型三：定比分点的应用
例3、设点P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是
x1, y1 , x2, y2
1当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
2若P1，P2的坐标分别是2,3，6, 3, P是线段P1P2的三等
分点，求点P的坐标.
点P的坐标为