圆周角定理(第1课时)教学设计
九年级数学下册《圆周角定理》教案、教学设计
希望同学们通过完成作业，进一步巩固圆周角定理的知识，为后续学习打下坚实基础。同时，也希望大家能够享受学习数学的过程，不断提高自己的几何素养。
2.新课：以问题驱动的形式，引导学生观察圆周角的特点，猜想圆周角定理，并进行证明。
3.例题：设计不同难度的例题，让学生运用圆周角定理进行求解，巩固所学知识。
4.练习：布置适量的练习题，让学生在解答过程中，进一步掌握圆周角定理的应用。
5.总结：对本节课的学习内容进行总结，强调圆周角定理的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
1.请同学们完成课本第章节后的习题1、2、3，这些习题涵盖了圆周角定理的基础知识，旨在帮助大家巩固所学，提高解题能力。
2.选做课本第章节后的习题4、5，这两题难度较大，需要综合运用圆周角定理及其他几何知识。希望同学们在解答过程中，注意分析问题，逐步解决问题。
3.结合生活实际，设计一道与圆周角定理相关的实际问题，并尝试运用所学知识进行解答。此举旨在培养学生的几何直观和实际应用能力，激发学生学习数学的兴趣。
3.选取部分学生的解答进行展示，让学生互相学习，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.对本节课的知识点进行总结，强调圆周角定理的重要性。
2.引导学生回顾学习过程，总结自己在学习圆周角定理时的收获和感悟。
3.提醒学生课后进行复习，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角定理的理解和应用，特布置以下作业：
九年级数学下册《圆周角定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握圆周角的概念，理解并掌握圆周角定理及其推论，能够灵活运用圆周角定理解决相关问题。
2.培养学生运用圆周角定理进行几何图形的求解能力，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
九年级数学上册《圆周角》教学设计(第一课时)
24.1.4 圆周角教案设计（第一课时）教学目标： 1、理解圆周角的概念,会在具体情境中辨别圆周角。
2、掌握圆周角定理的内容及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明。
3、 继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。
教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“特殊到一般” 的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。
过程与方法：1、 在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题。
2、 学习中经历操作、观察、发现、猜想、分析、交流、归纳等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合理推理能力，发展逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。
教学活动设计：（一） 情境引入动画和画面：2012年欧洲足球杯西班牙与意大利比赛中的一个片段中，Fabregas 带球冲到对方球门附近，Fabregas 没有直接射门，而是将球传给离球门较远的队友David Silva ，由他射门，为什么？（球进了吗？）问：射门的位置跟什么因素有关?学了这节课我们就明白了这个问题。
设计意图：从学生熟悉的足球活动引入，设置问题引起悬念，引起学生的好奇心、调动学生的积极性。
（二）圆周角的概念1、探索问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点 C ，观察 得到的∠ACB 。
问：顶点在哪里？两边与圆有什么位置关系?圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角..A C B学生活动：1、认识圆周角师问：判断圆周角有什么方法？学生归纳：先找顶点在不在圆周上，再看角的两边是否与圆相交。
设计意图：在具体情境中辨别圆周角，巩固知识的形成。
学生活动：2、找一找：圆中有多少个圆周角？分别说出来。
问：你是怎么找到的？ 设计意图：在复杂的图中找圆周角，进一步强化圆周角的两个特征，学会分类思想。
问：每个圆周角对应一条相应的弧，观察一下，有没有某两个圆周角对应同一条弧，也就是说同一条弧对着多个圆周角？ 设计意图：引入下一个环节 （三）探究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 学生活动3：试着画一画，一条弧所对的圆周角有多少个? 问：虽然一条弧所对的圆周角有无数个,但观察它们与圆心的位置关系，可分为哪几种情况? （交流讨论后学生回答） 设计意图：通过学生动手操作，想象，观察，对比分析，从圆周角与圆心的位置关系可分为三种，让学生亲自体验并学会分类讨论。
圆周角教案(1)
人教版九年级上册§24.1.4 圆周角（教案）第一课时24.1.4 圆周角（第一课时教案）教材分析：1、本节课是在学习了圆的有关概念、垂径定理、圆心角定理的基础上对圆的有关性质的进一步探索。
2、利用弧等构造弦等、角等是解决圆中相关问题非常重要的方法。
学情分析：九年级的学生虽然已经具备了一些问题的说理能力，但是初三的几何证明过程中，学生的逻辑思维仍然是不成熟的，所以对于知识的生成过程任然是教学中的重点内容，针对上述情况，本节课我采用了学生动手操作——猜想——验证——组长对组员进一步讲解的学习过程。
一、目标设计：（一）知识技能：1、了解圆周角的概念，会证明圆周角的定理及推论。
2、掌握圆周角定理的两个推论，并能简单应用。
（二）过程方法：1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。
2、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论和转化的思想方法。
（三）情感态度：1、通过组长的讲，小组的交流，增进同学间互相学习、互相帮助、共同提高的氛围。
2、通过小组合作学习创造学习气氛，培养学生的学习兴趣。
二、教学重难点：重点：定理及推论的理解与运用难点：定理的证明三、教学过程：【课前引入】：出示几何画板，一个圆柱形房间有4人：A、B、C、D,D站在圆心位置，A,B,C三人在圆周上观察弧形落地窗外的风景，四人谁的视角比较大？大多少？设计意图：带着问题进入本节内容，培养学生的学习兴趣。
【课堂探究】：探究一：圆周角概念的理解。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
针对性思考：判断下列图形中的角，哪些是圆周角？（）（）（）（）（）（）（）（）设计意图：学生通过对图形的识别，得出圆周角的两个特点：顶点在圆上；两边都与圆相交。
通过正例与反例的判断，加深对概念的理解。
探究二：圆周角定理的掌握。
1、学生度量图1中弧BC所对的圆周角和圆心角的大小，猜想这两个角的大小关系。
教师也可利用几何画板的动态性来加以验证。
圆周角定理及其推论教学设计
24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论圆周角是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的．本节课所要探索的知识在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛，所以这一节既是前面所学知识的继续．又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁．【情景导入】如图，过球门A，E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B，C，D有关(张开的角度大小)．仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？【说明与建议】说明：通过情景，激发学生的学习兴趣．建议：老师可引导学生通过实践操作探索射门的角度大小之间的关系．【复习导入】(1)如图①，∠AOB是圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．(3)观察图②，发现∠ACB的顶点不在圆心，在圆周上，你知道∠ACB这一类角的名称吗？①②③④⑤(4)观察图③④⑤，你能发现在同一个圆中，圆周角的度数与相应的圆心角的度数有什么关系吗？【说明与建议】说明：通过复习圆心角的概念及圆心角、弧、弦之间的关系定理，类比学习圆周角的概念及圆周角定理．建议：在探索圆周角定理时，可以通过画出同弧上的圆周角和圆心角，经过测量得出它们之间的关系，思考如何证明．教师可从特殊情况入手引导学生，学生以小组合作的方式分组讨论．命题角度1 圆周角定理1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，求∠C 的度数．解：∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝12∠AOB ＝65°.命题角度2 圆周角定理的推论2．如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2，∠B ＝∠DAC ，则AC ＝1．3．如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，求∠ADC 的度数．解：∵⊙O 中，OA ⊥BC ， ∴AB ︵＝AC ︵.∴∠ADC ＝12∠AOC ＝12∠AOB ＝12×50°＝25°.【课堂引入】问题1：如图，同学甲站在圆心O处，同学乙站在点C处，他们的视角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系？问题2：同学丙、丁分别站在点D，E处，得到的视角分别是∠ADB，∠AEB.这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角的定义，并会判断一个角是不是圆周角．师生活动：教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图引出新课圆周角的定义，学生比较圆周角与圆心角，从而进一步理解圆周角的定义.【探究1】(1)同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的？ (2)同弧所对的圆周角的大小关系是怎样的？师生活动：教师提出问题，引导学生利用测量工具动手试验，发现结论；教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，按照圆周角在圆中的位置特点分情况总结出探究的方案． 【探究2】(1)当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，如图1所示，∠ABC ＝12∠AOC吗？(2)当圆心O 在圆周角∠ABC 的内部时，如图2所示，∠ABC ＝12∠AOC 吗？(3)当圆心O 在圆周角∠ABC 的外部时，如图3所示，∠ABC ＝12∠AOC 吗？图1 图2 图3师生活动：教师引导，学生写出已知、求证，并完成证明． 通过试验得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等．得到：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？ 总结归纳出圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【探究3】如图，半圆所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是哪条？师生活动：学生根据圆周角的性质进行分析、讨论，教师引导总结． 通过分析，继而得到圆周角定理的推论2：【典型例题】例1如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC大小为60°．例2如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠CDB＝(B)A．20° B．30° C．40° D．50°例3(教材第87页例4)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．解：连接OD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝22AB＝22×10＝52(cm)．【变式训练】1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝30°．2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．若∠ACO ＝32°，则∠B ＝58°.【课堂检测】1.下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有(B)A ．①③B ．①④C ．②④D ．①②④2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆O 上的两点．若∠CDB ＝35°，则∠ABC的度数为55度．4．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D.若OD ＝5 cm ，则BE ＝10cm.。
九年级数学上册高效课堂(人教版)24.1.4圆周角(第1课时)教学设计
1.教学内容：设计具有针对性的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对圆周角知识的理解。
教学过程：
-教师出示练习题，要求学生独立完成。
-学生在解题过程中，教师巡回指导，关注学生的解题方法和思路。
-教师针对学生的解答进行点评，强调解题规范和注意事项。
-学生针对自己的错误进行改正，巩固所学知识。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：针对圆周角的相关问题，组织学生进行小组讨论，加深对知识点的理解。
教学过程：
-教师提出具有挑战性的问题，如圆周角与圆心角的关系、圆周角定理在不同情境下的应用等。
-学生分组进行讨论，共同分析问题，寻求解决方案。
-各小组汇报讨论成果，分享解题思路和心得。
-教师对各组的表现进行点评，总结讨论成果，强调重点问题。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的知识点进行总结，帮助学生梳理所学内容，提高他们的数学素养。
教学过程：
-教师引导学生回顾本节课所学的圆周角的定义、性质、定理及推论。
-学生分享学习心得，总结自己在学习圆周角过程中的收获和困惑。
-教师对学生的总结进行补充和指导，强调圆周角知识在实际生活中的应用。
-布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，为下一节课的学习做好铺垫。
3.教学评价：
-采用多元化评价方式，包括课堂问答、课后作业、小组讨论、拓展题完成情况等，全面了解学生的学习状况；
-关注学生的个体差异，给予每个学生个性化的评价，鼓励他们不断进步；
-注重过程性评价，关注学生在课堂上的参与度、合作意识和思考过程，培养他们的自主学习能力。
4.教学策略：
-针对不同层次的学生，制定分层教学目标，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
3.4课时1圆周角定理及其推论1教学设计2023-2024学年北师大版数学九年级下册
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解圆周角定理及其推论。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
作业评价：
1. 作业批改：对学生的课后作业进行认真批改，及时发现学生的问题并进行解答。例如，可以批改学生对圆周角定理及其推论的应用，检查学生是否能够正确运用定理解决实际问题。
2. 作业点评：对学生的作业进行点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。例如，可以对学生的作业进行评分，指出学生的优点和不足，给出改进的建议。
（4）使用数学游戏和软件：学生可以利用课余时间，使用一些数学游戏和软件，如GeoGebra、Desmos等，通过互动式学习，加深对圆周角定理及其推论的理解和掌握。
七、典型例题讲解
例题1：
题目：已知一个圆的半径为6cm，求圆心角为60°的圆周角的大小。
答案：圆心角为60°的圆周角的大小为30°。
例题2：
本节课的核心素养目标包括：
1. 逻辑推理：通过探究圆周角定理及其推论，培养学生的逻辑推理能力，使学生能够从具体的事实和现象中抽象出圆周角与中心角、弧、弦之间的关系，并能够运用逻辑推理证明这一关系。
2. 数学建模：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识建立模型的能力，使学生能够将圆周角定理及其推论应用于解决与圆相关的问题，提高学生解决实际问题的能力。
2. 观察评价：通过观察学生的课堂表现，了解学生的学习状态和参与程度，及时发现问题并进行指导。例如，可以观察学生是否认真听讲，是否积极参与课堂讨论，是否能够正确运用圆周角定理及其推论解决实际问题等。
人教版初三数学上册圆周角定理教案
教师的问题串： 1.圆周角的大小会受哪些量的 影响？ 2.你会选择什么方法来发现它 们之间的关系？
预计大多数学生会想 到用测量研究同弧对 的圆周角与圆心角的 关系
探究 1.画出下列各图中弧 BC 所 对的圆周角，并测量它，完成表 格
O
O
O
C
CB
B
C
B
圆心角 60 120 180 n 圆周角 猜想 1_____________________
拉动 B、C 点的位 置让观 察圆周 角与所 对的弧、 弦、圆心 角之间 大小关 系
预计学生会有如下回
答
通过教师问题
三、分类 划归、验 证猜想
1.生：无数个
教师的问题串：1.一条弧所对的 2.没办法。因为个数
圆周角有几个？
有无数个，无法一一
2.有办法一一测量吗？能通过 进行测量，同时测量
测量这个方法来说明猜想的正 会存在误差
D F
E
教师的问题串： 1.可能性大小可以用哪个量刻 画？ 2.你会先比较哪两个角？它们
对于问题 1，预设学生 会有两个猜想 1.与边 的长短有关；2.有位 置相对于球门的张角 有关
2. 学 生 在 思 考 对比辨析中，学 会将实际问题 进球可能性大 小抽象为数学 问题若干个角
几何画 板出示 张角
与其他角有何不同？ 3.顶点在圆周上的角，两边都会 与圆相交吗？是否还有不同的 情况？
位置关系（2）直径 AO
B
教学设计表
学校
福建省厦门三中
设计者
张美旋
学科（版本）
数学（人教版）
内容 《圆周角定理》
学时
第 1 课时
ห้องสมุดไป่ตู้
年级
九年级数学(华东师大版)下册教学设计：27.1.3圆周角(第1课时)
教师提出问题：“同学们，你们觉得圆周角与其所对的圆弧之间有什么关系？”
学生通过小组合作，利用画图工具进行探究，总结出圆周角定理及其推论。
3.应用举例：教师讲解圆周角定理在实际问题中的应用，帮助学生理解圆周角的重要性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习导入：通过提问方式复习圆的基本概念、性质以及弧、弦的相关知识，为新课的学习打下基础。
教师提出问题：“同学们，我们已经学习了圆的基本概念和性质，那么谁能来说一说，圆有哪些重要的元素？它们之间有什么关系？”
学生回答后，教师进行点评，强调圆的半径、直径、弧、弦等元素的重要性。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：学生分成小组，针对圆周角定理及其推论进行讨论，加深理解。
教师提出讨论主题：“请同学们结合圆周角定理，讨论一下以下问题：如何计算一个圆周角的度数？如何判断一个圆周角是锐角、直角还是钝角？”
2.小组展示：各小组派代表进行展示，分享本组的讨论成果。
教师点评各小组的讨论情况，并进行总结，强调圆周角定理的关键点。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.培养学生合作交流、团结协作的精神，增强集体荣誉感。
3.通过对圆周角的学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
4.培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强自信心。
本章节教学设计以圆周角为核心，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面展开，旨在帮助九年级学生扎实掌握圆周角相关知识，提高数学素养，为后续学习打下坚实基础。
2.教学步骤：
（1）导入：通过复习圆的相关知识，引出圆周角的概念；
圆周角教学设计(教师用)
圆周角教学设计（教师用）教学设计圆周角第一课时绵竹市孝德中学：王伦平【教学目标】：一、知识与技能1、理解圆周角的概念，能运用概念辩识圆周角。
2、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系。
3、经历探索过程，体会分类、化归和完全归纳等数学思想方法。
4、会运用圆周角定理解决简单问题。
二、过程与方法1通过定理探索，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力.2、让学生口述，培养学生的表达能力，使学生的个性得到充分的展示.三、情感态度与价值观目标1、通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神。
2、培养学生学习数学的兴趣。
【学习重点】：圆周角概念及圆周角定理.【学习难点】：圆周角定理的探索过程。
【教法学法分析】一、教学方法本课时采用学案导学，让学生在学案的引导下去量一量、议一议，自主探索，去发现、验证圆周角定理。
教师采用几何画板直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法，帮助学生发现和验证圆周角定理二、学情分析本课时借德阳市罗江中学初三一班上课，据该班数学老师介绍，该班学生基础知识较扎实，有较为良好的学习习惯，课堂参与性强。
结合个人教学特点，选用学案导学，目的是希望通过学生活动，引导学生积极思考、主动探索获取圆周角定理相关知识。
三、教学活动设计【教师寄语】你是花季的蓓蕾，你是展翅的雄鹰，明天是你们的世界，一切因你而精彩【教学过程】专题一：课前预习：活动一：创设情景，引入概念1.1、 师：海洋的生物是多彩多姿的，今天，老师带你们走进海洋去观察这奇妙的海洋 世界。
（教师开始在计算机上出示海洋馆外图，海洋馆内图）1.2、 师：设置场景：同学甲的视角/ AOB 的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角.同 学乙的视角/ C 、同学丙的视角/ D 和同学丁的视角/ E 不同于圆心角，是与圆有关的 另一类角，我们称这类角为 ——（圆周角，板书课题） 1.3、右图中/ C, / D 和/ E 有什么共同特点？2、*圆周角定义：阅读教材P84内容，回答下列问题2.1什么是圆周角？2.2你觉得像什么样的角是圆周角？（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义.）2.3运用圆周角的定义，判断下列各图中，各图中的角是不是圆周角？并说出判断理电(1) (5)（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答.）专题二：新知探究3. ★探究圆周角定理3.1:量一量 师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，要想背靠墙透过玻璃观察, 除了乙、丙、丁三位同学的位置供你选择，还有位置可看到海洋景象吗？ 请在右图背靠墙的地方选择位置画一个与/ C 具有共同特点的角。
圆周角第1课时 圆周角定理及推论 教案 2020-2021学年沪科版数学九年级下册
24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、教学目标1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明．二、教学重点及难点重点：了解圆周角与圆心角的关系.难点：能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明.三、教学用具多媒体课件四、相关资料无五、教学过程【情景引入】你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【探究新知】【知识点解析】圆周角，本微课资源针对圆周角进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。
【探究1】圆心角、圆周角问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？图3－4－13处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．【数学探究】探究圆周角与圆心角的数量关系，通过探究的方式 ,定量地揭示出圆周角与圆心角的数量关系,同时根据圆周角和圆心角不同的分布,分类讨论,证明定理的正确性. 试一试：指出图3－4－14中的圆心角和圆周角．图3－4－14解：圆心角有∠AOB ，∠AOC ，∠BOC ； 圆周角有∠BAC ，∠ABC ，∠ACB .处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的角即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO 没有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO 延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．【探究2】 探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题： 问题1：你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？问题2：通过上述问题，你有何猜想？问题3：对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．(几何画板展示)教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角――→特殊一边经过圆心．由图3－4－15可知，显然∠ABC ＝12∠AOC ，结论成立．(预设学生口述，并展示)证明：∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO .∴∠AOC ＝2∠ABO . 图3－4－15即∠ABC ＝12∠AOC .如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如图3－4－16)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)图3－4－16如图①，当点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .如图②，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果，有∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .问题4：还会有其他情况吗？经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？教师适时总结：这一结论称为圆周角定理．板书：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．问题5：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？图3－4－17处理方式：学生通过从对特殊角的圆周角与圆心角的数量关系入手进行猜想，进而提出猜想、作图，然后写出已知、求证，并进行讨论、交流，在教师的引导下寻找解决问题的途径．教师在讲台利用几何画板演示圆心与圆周角的三种不同位置情况，配合学生的思考过程进行逐步演示分析．并给学生充足的时间思考．通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用．多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工．【探究3】 探究同弧或等弧所对圆周角之间的关系问题回顾：如图3－4－18，当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，这三个角的大小有什么关系？处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．分析：如图3－4－18，连接AO ，CO ，∵∠ABC ＝12∠AOC ，∠ADC ＝12∠AOC ，∠AEC ＝12∠AOC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC .图3－4－18由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 【新知运用】 探究点一：圆周角定理【类型一】 利用圆周角定理求角例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A .方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想例2 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题例3 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A .55 B .255 C ．2 D .12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D .方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题例4 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 【随堂检测】1．如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB ＝________°，∠DAB ＝________°.2.如图，A ，B ，E ，C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD ＝∠EAB ，AE 是⊙O 的直径吗？为什么？3.如图，在⊙O 中，直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .求BC ，AD 和BD 的长．六、课堂小结1．圆周角的概念 2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。
圆周角(教学设计)
４.３圆周角(第一课时)〖学习目标〗1.掌握圆周角定义，并会熟练运用定义进行判断；2.理解半圆(或直径)与圆周角的关系 , 并会熟练运用关系解决问题. 〖学习过程〗一、知识回顾;1、请说出圆心角的定义2、如图，已知O为圆心，∠AOB=80°，①求AB弧的度数；②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求∠C的度数。
③∠AOB与∠C具有怎样的大小关系？二、新知探究1、圆周角的定义_______________________________________叫做圆周角特征：① _________________② ______________________练习一:辨一辨判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.练习二;做一做找出图中的所有圆周角２、探究定理(１)如图1，BC为⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？图2(２)如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？定理：____________________________OBCAABCD３、想一想(１)命题:半圆(或直径)所对的圆周角是直角的逆命题是什么?(２)该命题是否是真命题?并说明理由?４、例题分析如图,ＡＢ是⊙O的直径,ＡＣ与ＢＣ是⊙O的两条弦,ＡＢ=１Ｏcm, ∠A=350求弦ＡＣ与ＢＣ的长(精确到Ｏ.１cm)ＡＢ５.巩固练习Ｐ１２１练习１、２、３题６.小结:本节课你学到了什么？７.达标检测(1).如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.(2).如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.(3).如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。
(4).如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4、画一画8作业:习题４.3Ａ组１、２题４.３圆周角(第二课时)学习目标：1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；2、进一步培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性。
圆周角(第一课时)
圆周角（第一课时）教学目标【知识与技能】1、理解圆周角的定义，会判断一个角是圆周角。
2、理解圆周角的定理，并会运用它进行有关的证明和运算。
【过程和方法】1、通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行试验、猜想、论证，从而得到新知的能力。
2、通过圆周角定理的证明歙学生进一步体会分类讨论的思想，培养学生的归纳和逻辑推理能力。
【情感、态度与价值观】1、经历探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思维能力。
2、通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。
教学重点、难点教学重点：理解圆周角的概念，掌握圆周角与圆心角之间的关系定理。
教学难点：用化归、分类的思想探索圆周角定理。
教学关键：明确圆心角与圆周角是同一条弧所对的，必须在同圆或等圆中；能找出圆周角与圆心的三种位置关系。
教学突破方法：让学生通过画同弧上不同的圆周角，归纳出圆周角与圆心的位置关系，再采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。
教法与学法教学方法：采用“探索式”的教学方法，老师着眼于引导，学生着重于探索，意在帮助学生通过情境观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解，另个，还要注意多媒体的使用。
学习方法：通过比较圆周角和圆心角的区别，理解圆周角的概念，通过合作，画出圆心与圆周角的不同位置关系，得出圆周角与圆心的三种位置关系，通过猜想得出结论，再利用转化的思想，先证特殊情形，再证一般情况，得出圆周角定理，通过练习巩固圆周角定理。
教学准备教师准备：多媒体课件学生准备：复习有关知识，预习本节课内容。
教学过程：一、情境引入足球场上有句顺口溜：“冲着球门跑，赵近就赵好；歪着球门跑，射点要选好。
”如图，在球场上，甲、乙两名球员互相配合向对方球门MN 进攻，已知M,N,B 三点在同一圆上，当前锋甲带球冲到A 点时，后卫乙随后冲到B 点，此时甲是直接射门好，还是迅速传给乙，让乙射门好呢？通过本节课的学习后你就可以解决此类问题。
数学人教九年级上册(2014年新编)24-1-4 圆周角(第一课时)(教学设计)
师：上节课我们学了圆心角相关知识，你还记得圆心角的概念和判断方法吗？生：顶点在圆心的角叫做圆心角。
生：观察顶点是否在圆心。
师：生：第4幅图为圆心角，其它顶点不在圆心。
教授新课师：将圆心角顶点上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？生：顶点在圆上，两边都与圆相交。
[多媒体展示]顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的特征：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。
师：根据圆心角的判断方法，你知道圆周角的判断方法吗？生：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。
师：【问题一】你能指出右图中的圆周角吗？生：根据圆周角的判断方法，右图中的圆周角为：∠ADB、∠ACB、∠AEB、∠DAE、∠DBE、∠DAC、∠CAE、∠CBD、∠CBE。
师：【问题二】判断下列各图中的哪个角是圆周角。
生：C为圆周角。
师：下面我们尝试探索圆周角的性质探索圆周角的性质。
师：在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你发现了什么？生：经过测量，发现圆心角的度数等于2倍圆周角度数。
师：接下来我们分三种情况验证上述猜想。
[多媒体展示]三种情况如下：圆心在圆周角一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部引导学生通过观察得出圆周角的特征，激发学生探索和学习数学的兴趣。
通过提问和判断，掌握和理解圆周角的概念让学生经历动手操作-猜想-证明的过程，从而掌握圆周角定理内容。
【师生互动】鼓励学生积极发言，教师通过引导纠正，最后给出证明过程。
师：根据上述验证过程，我们得出圆周金定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．师：接下来我们通过配套例题加深理解。
[多媒体展示]典例2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°变式2-1 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°变式2-2 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°变式2-3 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°【师生互动】鼓励学生积极发言，教师通过引导纠正，最后给出答案。
圆周角(第一课时)教学设计
圆周角（第一课时）教学设计教学目标：.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及性质。
.过程与方法：引导学生能主动地通过：观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力与创新精神，从而提高数学素养。
初步运用圆周角定理解决相关问题。
.情感态度与价值观：创设情境激发学生对数学的“好奇心，求知欲”；营造“民主，和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，同时培养学生以严谨求实的态度思考数学。
教学重难点：、重点：探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质。
、难点;发现并论证圆周角定理。
教学过程：一、创设情境、导入新课问题：什么叫圆心角？它有什么样的特征？问题：将圆心角的顶点向上移直至与圆相交于点，观察得到的角的顶点和边有什么特征？追问：这是什么角呢？同学们能给它起个名字吗？由此引入新课。
（板书）(设计意图：由圆心角的概念引入圆周角，直观、生动。
并且由学生的最近发展区引入，水到渠成。
)二、师生互动、合作探究问题：通过上面的观察，什么样的角叫圆周角呢？学生总结：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（板书）追问：这个概念有个要点？师强调：判断一个角是不是圆周角，就要抓住这两点。
，两者不可缺一。
练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
(设计意图：引导学生识别，加深对圆周角的了解。
)问题：屏幕上老师画的圆周角是弧所对的，同学们也在练习本上画一个弧所对的圆周角。
追问：能再画一个弧所对的圆周角吗？再追问：能再画一个弧所对的圆周角吗？这样的圆周角有几个呢？问题：观察你所画的圆周角，根据圆周角与圆心的位置，可将圆周角分为几类？学生观察交流，并得出三种分类：（）圆心在圆周角的边上；（）圆心在圆周角内部；()圆心在圆周角外部。
追问：角和角是同弧所对的圆周角和圆心角，他们有什么关系呢？问题:假设三个图中角都等于°，三个圆周角各等于多少度呢？学生独立思考后并交流，教师巡视指点得出结果。
人教版初三数学上册24.1圆周角定理
《圆周角》（第一课时）教学设计鞍山市第五十一中学孟威威《圆周角》（第一课时）教学设计鞍山市第五十一中学孟威威一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。
圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。
圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。
圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。
教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。
基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。
二、目标和目标解析1．理解圆周角的定义。
通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。
2．掌握圆周角定理及其推论。
经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。
3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。
4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆周角定理(第1课时）
莲湖一中黎梅梅一.教学目标
(一)知识与技能
1.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论。
2.准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。
(二)过程与方法
1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。
2.经历探究同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程,进一步体会分类讨论、转化的思想方法。
3.通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生探究问题的兴趣。
(三)情感与价值观
1.经过探索圆周角定理的过程,发展学生的数学思考能力。
2.通过积极引导,帮助学生有意识主动探究,并能在探究中获得成功的体验。
二.学情分析
本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上,重点研究圆周角定理及其推论。
用已有的知识探究一个新的问题,其本身有一定的难度,对学生的要求比较高,九年级的学生虽然已经具备了一定的学习能力,但由于圆周角定理的证明,需要分三种情况进行讨论逐一证明,这对学生来说较为生疏,很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统,因此在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理,使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。
三.重点难点
1.教学重点
圆周角定理、圆周角定理的推导.
2.教学难点
圆周角定理分三种情况逐一证明
四.教学过程
活动1【导入】温故知新
复习之前讲的圆的性质,垂径定理和圆心角定理,然后引入今天学习圆的又一性质圆心角定理。
活动2【讲授】圆周角的概念
师:出示PPT,请同学们思考图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点?
生:①顶点都在圆周上;②两边都与圆相交。
师:评价并鼓励学生的总结给出肯定,我们把顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(教师出示圆周角的定义,并强调定义的两个要点。
)
设计意图:让学生经历观察、分析、得出圆周角定义,理解圆周角概念。
.
师:出示PPT,请同学们完成教科书 88 页,练习 1。
(学生思考片刻之后,教师请一位学生作答,其他学生判断她回答正确与否.)
设计意图:为了使学生更加容易地掌握概念,教科书并排地呈现正例和反例,可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较.
活动3【活动】探究圆周角定理
师:出示PPT,请同学们自己画出一条弧BC以及它所对的圆心角和圆周角,并用量角器分别测量他们的度数,回答∠ACB 和∠AOB 有怎样的数量关系?并请同学回答,你得出了什么结论?
(留出足够时间供同学们自己画图、探讨,并归纳出结论)
生:∠ACB=1/2∠AOB
教师引导学生用语言归纳出: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半师:继续出示PPT,引导学生画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC的几种位置关系?并用PPT展示。
师:圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.
活动4【活动】圆周角定理的证明
师:要得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,那么以上述三种情况我们都必须要证明。
我们先选择其中的第一种情况进行证明。
那么如何证明呢? (学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路.)
生:由同圆半径相等可知,OC=OB,所以∠C=∠B,根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得,∠AOB=∠C+∠B=2∠C,即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
师:证明得非常好,给予鼓励!
师:当圆心在圆周角的一边上的时候,圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径,因此给证明思路的寻找带来了不少方便,当圆心不在圆周角的边上时,比如在角的内部,又该如何证明呢?
(学生开始对第二种情况观察,分析,交流……)
生:连接 AO 并延长交⊙O 于点 D,可以转化为第一种情况的证明,即,如果作过点C的直径CD,那么,由(1)中的结论可知:
∠ACD= ∠AOD,∠BCD= ∠BOD,两式相加即可得到∠ACB= ∠AOB.
师:很好!请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程,之后完成最后一种情况的证明,同伴之间交流自己的证明思路.
(各小组学生思考交流后一种情况的证明思路,完成证明过程.教师做思路和规范性点评.)
设计意图:在本段的教学中,注意突出图形性质的探究过程,重视学生主体地位的落实,通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质,从而让学生学会分析问题和解决问题的方法.另外,教学时尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述,以强化对数学知识的学习与理解,加强数学语言的运用与表达.
师:通过上面的证明,我们得到:同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实,等弧的情况下该命题也是成立的。
(教师板书)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半. 活动5【活动】圆周角定理的推论
1.教师出示PPT,思考:一条弧所对的圆周角之间有什么关系?同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系?
(学生先独立思考, 然后请一位同学来回答.)
学生一:因为∠BAC= 1/2∠BOC,∠BDC= 1/2∠BOC,∠BAC= ∠BDC.
教师:回答的非常好,给予鼓励。
教师引导学生,共同得出结论:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.教师出示PPT,思考:半圆(或直径)所对的圆周角有什么特殊性?
(学生先独立思考, 然后请一位同学来回答.)
学生二:因为∠BCA= 1/2∠BOA,∠BOA= 180°,∠BCA=90°.
教师:回答的非常好,给予鼓励。
反过来,请同学继续思考:90°的圆周角所对的弦又有什么特殊性呢?
教师引导学生,共同得出结论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
活动6【练习】圆周角定理的运用
如图,⊙O 的直径 AB 为 10 cm,弦 AC 为 6 cm,∠ ACB 的平分线交⊙O 于点 D,求 BC,AD,BD 的长。
(学生先独立思考, 然后教师给予详细讲解.)
活动7【活动】课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容?
(2)我们是怎样探究圆周角定理的?在证明过程中用到了哪些思想方法?
设计意图:通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法,将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结,有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.
活动8【作业】布置作业
教科书第 88 页练习第 2,3,4 题.。