第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
，
由式(i)并将下标符号i改为k可得
于是有
由
，式(8-10)可写成
其展开式为（ 用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）
x y z
当不计体力时，有
式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米 歇尔)方程，也即应力协调方程。 由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是 以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程 的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑 平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。 下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点： 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有 三个未知量 u 、v 、 w 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。
§8-2 任意等截面悬臂梁的弯曲
这里将讨论任意等截面悬臂梁，在自由端受力 P作用的问题。P力过自由端的弯曲中心T，并 与过截面形心A的一个主形心轴平行。取固定 端截面的形心为坐标原点，取梁的轴线为z、x、 y轴与截面的形心主轴重合，图8-2。 用半逆解法解此题，参考材料力学结果，设
将式(d)简化，可得
使式(e)对k取导，则
再将式(f)乘以以(展开式相加)，可得
由于 u j j e ，再使
；前两项合并，得
令
，由式(4-12)知
，化简则有
第二步，再由Lame方程，利用几何方程与虎克定律得到应力公 式。再按式(f)改变下标符号，可写出以下两式
将式(j)及式(k)相加，得出
一、位移法
ij
1 ij (uij uij ) 2
(4 2)
(4 6)
E E ij e ij ij e 2G ij (1 )(1 2 ) (1 )
x e 2G x e 2G y y z e 2G z xy G xy yz G yz zx G zx
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
e 2u 2 ( G ) x G u Fx 0( t 2 ) e 2v 2 G v Fy 0( 2 ) ( G ) y t e 2w 2 G w Fz 0( ) ( G ) 2 z t
u x e 2G x e 2G v y y e 2G w z z xy G ( u v ) y x v w yz G ( ) z y u w zx G ( ) z x
(4 6)
u x x v y y w z z xy u v y x v w yz z y u w zx z x
(4 2)
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u i 来表示。现在来进行 推导：将式(4-2)代人式(4-6)得
(8 6)
因为 F x F y 0 其第三式为
只与z有关。
源自文库又 Fz q
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即 ，则由式(5)得

于是，式(3)给出的位移为
E E G (1 )(1 2 ) 2(1 )
应力法系以六个应力分量作为基本未知函数，用应力法虽然比 位移法多了三个，而得到比位移法更复杂的方程组，但由于用 应力作为未知函数后，边界条件比位移法简单得多，所以对于 已知表面力边界的问题，用应力法所得的最后基本方程式，在 多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。 应该指出，用位移法解弹性力学问题时，在满足位移表示的平 衡方程及边界条件求得物体各点位移后，用几何条件得出应变 分量，则变形连续条件自行满足(因为所设位移函数是单值连续 函数)。而用应力法解弹性力学问题时，还须注意所谓位移单值 性的问题，因为由应变求位移时，需要进行积分运算，这就涉 及到积分的连续条件问题。对于单连体(即只有一个连续边界的 物体，也就是内部无空洞的物体)问题，如满足平衡方程、应力 协调方程及应力边界条件，则应力分量完全确定，其解是唯一 确定的。而对于多连体(即内部有空洞的物体)问题，则除了满 足上述方程及边界条件外，还要考虑位移的单值性条件(即物体 中任意一点的位移是单值的)，这样才可能完全确定应力分量 (这一点已经在本书第六章中厚壁筒解答里进行过讨论)。
(8 3)
当体力不计时，有
上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维 叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几 何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分 方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动 力学问题中是极为重要的理论基础。
为函数 u i 沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为
(8 6)
由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。
e u 例8-1设有半空间无限体，容重为p，在上边界上受均布压力q， ( G ) G u F 0( ) x t 求体内的位移和应力。 e v ( G ) G v F 0( ) (8 3)
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， ij l j F i 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 E E ij ij e ij ij e 2G ij (4 6) (1 )(1 2 ) (1 )
Fx 0 x y z yx y yz Fy 0 x y z zx zy z Fz 0 x y z
x y xy


(a )
ijj
2ui Fi 0( ) 2 t
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是 而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。 边界上
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
lx l y 0
lz 1
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F z el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z F x el x G (
（4-1）
再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得
u v w e x y z
e 2u 2u 2v 2v 2w 2G 2 G( 2 ) G( 2 ) Fx 0 x x y xy z xz
e e G G( 2 2 )u Fx 0 2 x x y y z
(8 9)
二、应力法 以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应 力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应 变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移 方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导： 第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下 推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得
同理，并采用Laplac算符
( 2 2) 2 y y z
2
e ( G ) G 2u Fx 0 x e ( G ) G 2v Fy 0 y e ( G ) G 2 w Fz 0 z
将 2G 换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y

1
( q pz ), z ( q pz ), xy yz zx 0
虽然上面所说按应力法求解比位移法求解容易些，但就解决弹 性体问题的普遍性而言，按位移求解是更为普遍适用的方法， 特别是在弹性波传播理论及在数值计算方法中，例如有限差分 法、有限单元法等得到了广泛的应用。
对于具体实际问题，应根据问题的特点或者所要求的未知 参量，恰当地选择求解方法。不论以位移或应力作为未知函数 的位移法或应力法(相当于材料力学和结构力学中求解超静定 问题时的位移法与应力法)，在弹塑性力学中为便于构设未知 函数，具体解题大多采用逆解法与半逆解法。
第八章 弹性力学问题一 般解· 空间轴对称问题
§8-1 弹性力学问题的一般解
前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在 平面问题中进行了检验。
现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。 在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来 进行讨论。
2 2 x 2 2
解 :以xy为边界面，取z轴垂直向下。
体力分量
Fx Fy 0, Fz p
Fz q
y y t 2 e 2w ( G ) G2 w Fz 0( ) z t 2
2
面力分量在z=0处, F x F y 0 如图8-1所示。
1 ij (uij uij ) 2
(4 2)
(式中
F x el x G (
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F x el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z