0002第2小波变换与多分辨分析

1.连续小波变换
其他特点：
小波变换的反演公式
吸收公式
线性性
平移不变性 伸缩共变性 自相似性 冗余性
1.连续小波变换 小波变换同其他方法相比，具有它重要的
特点，其应用也可以从这些方面来入手，下面就
几个典型的特点作简要介绍。
1.连续小波变换 （1）双域性：小波分析是时频分析，即可来自百度文库
在时域和频域两个域内揭示信号的特征，但与

工程应用中所采集的信号（如位移量、压 力、电压电荷量）,都是有限长的离散信号。 在实际信号处理中，出于数值计算的可行 性和理论分析的简便性考虑,对连续小波 (t ) W f (a, b) 和连续小波变换 加以离散化处 理。这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续的平移参数b的，而不是针对时间变 量t的。
j, k Z
1 2j
j 0 0
W f ( j, k ) f , j ,k f (t ) j ,k (t )dt


2.离散小波变换

离散化小波变换系数则可以表示为
c j ,k f (t ) (t )dt
* j ,k


离散小波变换重构公式
f (t ) C c j ,k j ,k (t ) R


R
a ,b
(t )dt 0
波 要大一些,小波的波形变矮变胖,而且,当a变得越来越
说 大时,小波的波形变得越来越胖、越来越矮,整个函数 明
的形状表现出来的变化越来越缓慢；当0<a<1时, a,b (t ) 在t=b的附近存在明显波动的范围比原来的小波母函 数 的要小,小波的波形变得尖锐而消瘦。 (t )
1.连续小波变换
小波定义 概 (t ) （时间域）和 念 约定一尺度函数写成 1 ( ) （频率域）；小波函数写成 能 (t ) （时间域）和 ( ) （频率域）。 量 有 考虑平方可积的函数空间 2 L ( R) 它是定义在整 限 的 个实数轴R上的满足要求 全 2 (1) 体 f (t ) dt 信 号 的可测函数 f (t ) 的全体组成的集合,并带有 相应的函数运算和内积。工程上常常说成是能 量有限的全体信号的集合。
第2章 小波变换与多分辨分析
小波理论及其应用
文鸿雁
2011.5
小波理论及其应用
第1章 小波分析简介 第2章 小波变换与多分辨分析 第3章 小波滤波去噪方法 第4章 小波基构造 第5章 小波主要应用
第2章 小波变换与多分辨分析 1.连续小波变换
2. 离散小波变换与二进小波变换 3. 小波分解与重构简介 4. 多分辨分析

1.连续小波变换

由定义知，信号的连续小波变换是基本小波经平
移、伸缩、复共轭后与信号的互相关。一般基本 小波选为其有限支撑集或衰减较快的函数，由
a,b (t ) 有 Fourier变换理论知，伸缩系数a很小时，
小的时域支撑集，有效频谱宽，此时
W f (a, b)
反
映了信号的局部细致特征，即信号时域总体分布。
CWT
W f (a / , b / )， 0
f (t / ) 。这表明，当信号函数作某 一倍数伸缩时，其CWT将在a，b两轴上 f (t )
的CWT为 作同一比例的伸缩，且不发生失真变形。这正 也是小波变换不同于STFT之处。
是小波变换被誉为“数学显微镜”的重要依据，
2.离散小波变换
也称为小波函数,或称母小波， 上式称为 容许性条件(Admissible Condition),满足式上式的 小波函数 (t ) 也叫允许小波。
(t )
1.连续小波变换

对于任意的实数对(a,b),其中,参数a必须 为非零实数,称如下形式的函数
a
1 / 2
概 念 3 小 波

a ,b (t )
1.连续小波变换

小波重构，与Fourier变换类似，小波变换也有 逆变换（重构）公式
1 f t c

w a , b a f
R

1 2
t b dadb 2 a a
2
其中
c 2
ˆ w
R
w
dw
1.连续小波变换

连续小波变换的性质与特点 一、小波变换的Parseval恒等式(Parseval’s Identity)
j k



式中C为一个与信号无关的常数，R为误差项。从 上式可以看出，要使 f (t )能够达到不失真重构，这 要求我们选取适当的 a 、b 及 (t ) ， 使 j ,k (t ) j,k (t) 构成表示信号空间上的完备集，从而实现小波集 的精确线性表示，即使。 R0
C
R
dadb f (t ) g (t )dt 2 W f (a, b)W g (a, b) 2 R a
1.连续小波变换
对空间 L (R) 中的任意的函数 f (t ) 和 g (t ) 都成 立。这说明,小波变换和Fourier变换一样,在变
2
换域保持信号的内积不变,或者说,保持相关特性 不变(至多相差一个常数倍),只不过,小波变换在 变换域的测度应该取为 dadb/ a 2 ,而不象 Fourier变换那样取的是众所周知的Lebesgue 测度,小波变换的这个特点将要影响它的离散化 方式,同时,决定离散小波变换的特殊形式。
(Reconstruction)的实现在数值上是稳定的， 要求小波基函数 (t ) 应该满足下面的约束条件：
概 念 3 小 波 说 明


(1)



(t ) dt
；
ˆ (0) (t )dt； 0


ˆ ( ) 在原点必须等于0，即 (2)
ˆ (2 ) B , (3) A
式中，<‥>为内积，
t b f t dt R a
的共轭，W表示小波变 ,它的小波变换是一个二元

是

换。因此,对任意的函数
f (t )
函数。这是和Fourier变换很不相同的地方。
1.连续小波变换
因为小波母函数 (t )只有在原点附近才会有明显偏离水 平轴的波动,在远离原点的地方函数值将迅速衰减为零, 整个波动趋于平静,所以,对于任意的参数对(a,b),小波 函数 a,b (t ) 在t=b的附近存在明显的波动,远离t=b的地 方将迅速地衰减到0,因而,从形式上可以看出, 式(5)的 数值 W f (a, b) 表明的本质上是原来的函数或者信号 f (t ) 在t=b点附近按 a,b (t ) 进行加权的平均,体现的是以 a,b (t )为标准快慢的 f (t ) 的变化情况,这样,参数b表示分析 的时间中心或时间点,而参数a体现的是以t=b为中心的 附近范围的大小,所以,一般称参数a为尺度参数,而参数 b为时间中心参数。
STFT相比，它又具有优越的时频窗。在海森堡
测不准原理（Heisenberg’s Uncertainty
Principle）关系的约束下，频率较高时，它
具有较宽的频率窗，而在频率较低时，它具有
较宽的时间窗，因而更适合于信号的分析。这
一点和傅里叶变换的单域性相比有突出的优越
1.连续小波变换
（2）灵活性：由于小波基函数不是唯一的，

1.连续小波变换

概 念 2 允 许 小 波

小波（基本小波或母小波(Mother Wavelet)）就是 函数空间 L2 ( R) 中满足下述条件的一个函数或 者信号 (t ) ：

C
这里,
*

R*
ˆ ( ) d
2
(2)
R R 0
表示非零实数全体。有时,
a ,b
2.离散小波变换
离散小波变换：将连续的尺度参数a和平移 参数b取离散的数值，则可得到离散小波函数 及变换：
：
j ,k (t ) a
j 0
j/2 0
(
t ka0j b0 a0j
)a
j/2 0
(a t kb0 )
j 0
a a , b ka b , j Z , a0 1
分解，显然比用频率点分解要快捷。频带分析从表面上看
比频率分析要粗糙，然而信号分析的目的在许多情况下是 提取信号的特征，同时小波分析并不排除对细节分析的可 能性。在需要时，可以将频带细分下去，起到显微镜的作 用。这一点是傅里叶分析无法比拟的。
1.连续小波变换
（4）尺度转换性：若的 f (t )
（连续小波变换）是 W f (a, b)，则
分析频率较低的常见的建筑物变形，对分析建筑物规律并 进行预报具有较好的稳健性。
3.二进小波变换
为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待 分析信号的非平稳性，需要改变 · a和b的大小，以使小波变换 具有“变焦距”(Zooming)的功能。最常用的是二进的动态 采样网格（网格点应尽可能密，即和尽可能小，才能够保证
1.连续小波变换

概 念 3 小 波 说 明
(3) 设初始伸缩系数为，当 a a0 时，式(3) 中 a,b (t ) 定域增大，窗口变大；当 a a0 时， 则窗口变小，窗的高度增加，窗口面积大小
不变（b一定时）。以上体现了小波的“变焦”
能力。
1.连续小波变换

为了使信号分解(Decomposition)及重构
0 0
2.离散小波变换

基于上述小波变换的变形分析应用特征如下：

① 小波变换是一种多分辨率分析，在变换中取较小
的
a0j
，则时间的分辨率较高，这时可用于分析频率较高
的建筑物的动态变形(如高层建筑的在风力作用下的摆动)， 可以揭示建筑物动态变形特征；

② 当取较大的时，则频率分辨率较高
a0j
，这时宜于
ˆ ( ) 在原点 0 是连 波母函数 (t ) 的Fourier变换
概 念 3 小 波 说 明

续的,那么,公式 (2)
R
说明
ˆ (0) 0,即
ˆ (0) (t )dt 0
(4)
这说明函数 (t ) 有“波动”的特点,另外,公式
(1)
又说明,小波函数 (t ) 只在原点的附近它的波动才会
只要满足允许小波的条件即可，因而就有许多
构造小波的方法。不同小波具有不同的特性，
可分别用来逼近不同特性的信号，以便得到最
佳结果。而傅里叶变换只用正弦函数去逼近任
意信号，没有选择的余地，因而逼近的效果就
不可能完全理想。
1.连续小波变换
（3）快速性：由于有了多分辨分析这一工具，因而大
大提高了小波分析的效率。人们易于从尺度函数和两尺度 关系推导出小波系数，甚至不需要知道小波函数的解析表 达式也可得到分析的结果。尺度函数相当于低通滤波器， 小波相当于带通滤波器。将信号用低通和带通滤波器进行
明显偏离水平轴,在远离原点的地方函数值将迅速
“衰减”为零,整个波动趋于平静。这是称函数 (t ) 为“小波”函数的基本原因。
1.连续小波变换


(2) 对于任意的参数对(a,b),显然
t) 但是,这里 a,b ( 却是在 t=b的附近存在明显的波动,而 概 念 且,有明显波动的范围的大小完全依赖于参数 a的变化。 3 当a=1时,这个范围和原来的小波函数的范围是一致的； (t ) 的范围 小 当a>1时,这个范围比原来的小波函数
j 2

(0 A B ) 稳定条件 。
1.连续小波变换
2 对于任意的函数或者信号 f (t ) L ( R) ,用小波函数集
进行分解运算，其连续小波变换为
a ,b (t )
：
1 a
1 2
(

a ,b
(t )
t b a
)
w f a, b f , ab a
t b ( ) a
(a, b R；a 0) (3)
为连续小波，它是由小波母函数
(t )
经伸缩和平移后生成的依赖于参数(a,b) 的连续小波函数序列（小波序列）,简称 为小波。
1.连续小波变换


(1) 式 (3)
中a为伸缩因子，b为平移因子，若
应用领域不同，可以选择不同的参数a、b。如果小
·············· · · · · · · · · · · a · · · ：
重构信号的精度），即
a0 2, b0 1
.
3.二进小波变换
二进小波变换：取 a0 2, b0 1 ,得到 二进小波函数及变换：
：
j ,k (t ) 2
j/2
(2 t k )
j