初三中考数学 概率

第28讲概率
考点1 事件的分类
确定性事件必然事件在一定条件下，必然会发生的事件，称为①. 不可能事件在一定条件下，必然不会发生的事件，称为②. 必然事件和不可能事件统称为确定性事件.
随机事件在一定条件下，③的事件，称为随机事件.
考点2 概率的意义与计算
概率的意义对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的④.
概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：P(A)=⑤.
求概率的常用方法①概率的定义；②列表法；③画树状图法；④用频率估计概率(在大量重复试验中，事件A
发生的频率为m
n
，我们可以估计事件A发生的概率为
m
n
).
【易错提示】用频率估计概率的条件必须是“大量重复试验”.
1.必然事件的概率是P(A)=1，不可能事件的概率是P(A)=0，随机事件的概率0＜P(A)＜1.
2.用面积法求概率：当随机事件的概率大小与几何图形的面积有关时，往往利用面积法求概率，计算公式为
P(A)=
A
事件发生的面积
总面积
.
3.当一次试验要涉及1个因素时，通常采用枚举法求事件的概率；当一次试验涉及2个因素时，可用列表法或画树状图法求概率；当一次试验涉及3个或3个以上的因素时，必须用画树状图法求概率.
命题点1 事件的分类
例1 (2014·聊城)下列说法中不正确的是( )
A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B.把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C.任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D.一只盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个(每个球除了颜色外都相同).如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
方法归纳：事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件.本题的易错点在把确定事件当作必然事件，从而错选A.
1.(2014·聊城模拟)下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.(2013·衡阳)“a是实数，|a|≥0”这一事件是( )
A.必然事件
B.不确定事件
C.不可能事件
D.随机事件
3.(2013·武汉)袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B.摸出的三个球中至少有一个球是白球
C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D.摸出的三个球中至少有两个球是白球
4.(2014·孝感)下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是.(填序号)
5.(2013·沁阳模拟)写出一个所描述的事件是不可能事件的成语.
命题点2 概率的意义
例2 (2014·台州)某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是( )
A.购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格
B.购买1 000个该品牌的电插座，一定有10不个合格
C.购买20个该品牌的电插座，一定都合格
D.即使购买1个该品牌的电插座，也可能不合格
方法归纳：概率反映了一事件出现的机会的大小，在分析某个事件发生的概率时，关键要弄清：(1)此事件活动中可能出现哪些结果；(2)理解概率时要注意：概率只表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果.
1.(2014·淄博模拟)某篮球运动员的罚球投篮的命中率大约是83.3%.下列说法错误的是( )
A.该运动员罚球投篮2次，一定全部命中
B.该运动员罚球投篮2次，不一定全部命中
C.该运动员罚球投篮1次，命中的可能性较大
D.该运动员罚球投篮1次，不命中的可能性较小
2.(2014·德州)下列命题中，真命题是( )
A.若a＞b，则c-a＜c-b
B.某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖
C.点M(x1，y1)，点N(x2，y2)都在反比例函数y=1
x
的图象上，若x1＞x2，则y1＜y2
D.甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为s2甲=4,s2乙=9，这一过程中乙发挥比甲更稳定
3.(2013·泰州)事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C)，则P(A)、P(B)、P(C)的大小关系正确的是( )
A.P(C)＜P(A)=P(B)
B.P(C)＜P(A)＜P(B)
C.P(C)＜P(B)＜P(A)
D.P(A)＜P(B)＜P(C)
命题点3 概率的计算
例3 (2014·成都)第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人.
(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
(2)若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加.试问这个游戏公平吗？并说明理由.
【思路点拨】(1)根据概率的意义即可求得；
(2)先用枚举法、列表法或树状图法确定出两次摸牌所有可能出现的结果数，以及和为偶数的结果数，从而求出甲、乙概率的大小，做出判断.
【解答】
方法归纳：如果可能出现的结果较少，用枚举法简单；如果二次性操作且结果的可能性较多时，列表法和画树状图
法可以不重不漏列出所有可能出现的结果.本题注意是二次无放回抽取，关键字“任取2张”，注意和有放回抽取的区别.
1.(2014·金华)一个布袋里装有5个球，其中3个红球、2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是( )
A.1
6
B.
1
5
C.
2
5
D.
3
5
2.(2014·苏州)如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是( )
A.1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
3.(2014·杭州)让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )
A.
3
16
B.
3
8
C.
5
8
D.
13
16
4.(2014·日照)小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落
在双曲线y=6
x
上的概率为( )
A.
1
18
B.
1
12
C.
1
9
D.
1
3
5.(2014·滨州)在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.小明和小强采取了不同的摸取方法，分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；
(1)用画树状图(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.
1.(2013·遂宁)以下问题，不适合用全面调查的是( )
A.了解全班同学每周体育锻炼的时间
B.旅客上飞机前的安检
C.学校招聘教师，对应聘人员面试
D.了解全市中小学生每天的零花钱
2.(2014·益阳)小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( )
A.1
20
B.
1
5
C.
1
4
D.
1
3
3.(2014·东营)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A.1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
6
4.(2013·青岛)一个不透明的口袋装有除颜色外都相同的五个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的情况下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程.小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球.因此小亮估计口袋中的红球大约有( )
A.45个
B.48个
C.50个
D.55个
5.(2014·泰安)在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下其标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是( )
A.3
8
B.
1
2
C.
5
8
D.
3
4
6.(2014·泰州)任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于.
7.(2014·长沙)100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是.
移植总数(n) 400 750 1 500 3 500 7 000 9 000 14 000
成活数(m) 369 662 1 335 3 203 6 335 8 073 12 628
成活的频率mn 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为(
9.(2014·内江)有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别画有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，现将其全部正面朝下搅匀从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为.
10.(2014·台州)抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，他们恰好同色的概率是.
11.(2014·凉山)凉山州某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两
女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是3 5 .
12.(2014·温州)一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是1
3
.求从袋中取出黑球的个数.
13.(2014·徐州)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示.
(1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为；
(2)如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率.
14.(2014·淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8 000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6 000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯(共200个)
寿命(小时) 频数频率
4 000≤t<
5 000 10 0.05
5 000≤t<
6 000 20 a
6 000≤t<
7 000 80 0.40
7 000≤t<8 000 b 0.15
8 000≤t<9 000 60 c
合计200 1
(1)根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；
(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率.
15.(2014·云南)某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去，规定如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回，重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字，若两个数字的和为奇数，则小明去；若两个数字的和为偶数，则小亮去.
(1)请用列表或画树形图(树状图)的方法表示抽出的两张卡片上的数字和的所用可能出现的结果；
(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由.
16.(2014·宁波)如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是( )
A.1
2
B.
2
5
C.
3
7
D.
4
7
17.(2014·黄石)一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在
D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P(A)=M
D
.如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该
点落在△ABC内切圆中的概率是.
18.(2014·巴中)在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是.
19.(原创)如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可以使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；
(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
20.(2014·安徽)如图，管中放置同样的绳子AA1、BB1、CC1.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳子的概率.
参考答案
考点解读
①必然事件②不可能事件③可能发生也可能不发生④概率⑤m n
各个击破
例1 C
题组训练 1.B 2.A 3.A 4.①③ 5.答案不唯一：拔苗助长等例2 D
题组训练 1.A 2.A 3.B
例3(1)20人中有12人是女生，
∴P(女生)=12
20
=
3
5
.
(2)解法一(枚举法)：任取2张，所有可能的结果23,24,25,34,35,45，共6种，其中和为偶数的结果有：“24”和“35”2种，
∴P(甲参加)=2
6
=
1
3
，P(乙参加)=
2
3
，
∴游戏不公平.
解法二(列表法)：列表如下：
2 3 4 5
2 (3，2) (4，2) (5，2)
3 (2，3) (4，3) (5，3)
4 (2，4) (3，4) (5，4)
5 (2，5) (3，5) (4，5)
∴P(甲参加)=
4
12
=
1
3
，P(乙参加)=
2
3
，
∴游戏不公平.
解法三(树状图法)：画树状图如下：
∴P(甲参加)=
4
12
=
1
3
，P(乙参加)=
2
3
，
∴游戏不公平.
题组训练 1.D 2.D 3.C 4.C 5.(1)画树状图如下：
(2)P(小明两次摸球的标号之和等于5)=
4
16
=
1
4
.
P(小强两次摸球的标号之和等于5)=
4
12
=
1
3
.
整合集训
1.D
2.C
3.C
4.A
5.C
6.1
3
7.
1
20
8.0.99.
2
3
10.
1
3
11.
3
5
12.(1)20个球里面有5个黄球，故P1=P
P
黄
总
=
5
20
=
1
4
.
(2)设从袋中取出x(0<x<8，且x为整数)个黑球，则
∴8
20
x
x
-
-
=
1
3
，解得x=2.
经检验，x=2是方程的解，且符合题意. 答：从袋中取出黑球的个数为2个.
13.(1)1 4 .
(2)画树状图如下：
∴所有可能的结果共有12种，两人都是男生的结果有6种.
∴P（两男）=
6
12
=
1
2
.
14.(1)a=0.1，b=30，c=0.3；
(2)这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个，此人购买的1个节能灯恰好不是次品的概率为：
P=11060
200
+
=0.85.
15.(1)
由树状图可知共出现了16种等可能的结果.
(2)出现的奇数有8个，则
P(和为奇数)＝
8
16
＝
1
2
；
P(和为偶数)＝
8
16
＝
1
2
.
∵P(和为奇数)＝P(和为偶数)，∴游戏公平.
16.D17.
3
9
π18.
2
3
19.(1)1 4 .
(2)画树状图如图：
由电路图知，只要接通D，小灯泡就能发光，
∴P(小灯泡发光)=
6
12
=
1
2
.
20.(1)小明可选择的情况有三种，每种发生的可能性相等，恰好选中绳子AA1的情况为一种，所以小明恰好选中绳子
AA1的概率为1 3 .
(2).
A1B1B1C1A1C1
AB AB、A1B1AB、B1C1AB、A1C1
BC BC、A1B1BC、B1C1BC、A1C1
AC AC、A1B1AC、B1C1AC、A1C1
其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况，不可能连接成为一根长绳.
∴能连接成为一根长绳的情况有6种，
∴三根绳子连接成为一根长绳的概率为P=6
9
=
2
3
.。