排列组合公式推导

1 公吨=1t=1OOOkg

密度单位g/cm 3

. 3

Proe 密度单位 公吨/mm

3 3 3 9 3 1 公吨 /mm =1000kg/(cm X10- )=10 g/cm 1g/cm 3=10-9 公吨 /mm 3

排列和组合基本公式的推导，定义

(Permutation)和「组合」(Combination)的基本 「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度 因此笔者亦会引导读者从不同 角度理解「排列」

的最直观意义，就是给定n 个「可区别」

异」)的物件，现把这n 个物件的全部或部分排 次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区

别这些 物件，我们可 不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n ，因此「排列」问题实际等同於求把数

字1、2 ... n 的全 部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全

排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的 n 个数字1 、2 ... n 全部排

次序，求有多少种排法时，就是 「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为 n 个程

序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数 字...第n 个程序决定排於第n 位的数字 。在进行第一个程序时，有n 个数字 可供选择，因此有n 种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定 了 一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三 个程序时， 由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下

n-2个，因此有n-2种选法。 如是者直至第n 个程序，这时可供选择的数字只

剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的 ，我们可以 运用「乘法原理」求得答案为 n x (n- 1) X (n-2) x ... 2X 1。在数学上把上式 简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial) 。

例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排 法。 答1：共有3! = 3 X 2 X 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3 ; 1-3-2 ; 2-1-3 ; 2-3-1 ; 3-1-2 ; 当然，给定n 个数字，我们不一定非要把全部n 个数字排序不可，我们也可只抽 取部分数字(例如r 个，r < n)来 排序，并求有多少种排法，这样的问题就 是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成 抽东西的问题。设 在某袋中有n 个球，每个球都标了编号1、2 ... n 。现从袋中抽r 个球出来(抽 出来之后不得再 放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这 r 个 数字的序列实际便等同於一个排序。 「部分排列」 问题的解答跟「全排列」问

题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为 r 个而非n 个步骤。进行第一

在本节中，笔者将介绍「排列」 概念和两个基本公式。请注意 解释为日常生活中的不同事例, 和「组合」的意义。

先从「排列」开始。「排列」 (Disti nguishable ，亦作「相

1、2 3-2-1。

个程 序时，有n 个数字可供选择，因此有n 种选法。在进行第二个程序时，由 於在前一程序已选定了一个数字， 现在 可供选择的数字只剩下 n-1 个，因此有 n-1 种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已 选定了一个数字，现在 可供选择的数字只剩下 n-2 个，因此有 n-2 种选法。如是者直至第 r 个程 序， 这时可供选择的数字只剩下 n-r+1 个，因此只有 法原 理」求得答案为n x (n -1) X (n-2) x …(n n x (n-1)!，也可以改写为n x (n- 1) x (n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为 n X (n-

1)X (n- 2)X ...(n -r+1)X (n-r)! 。由此得

n! / (n-r)! = n x (n-1) x (n-2) x ...(n-r+1) 。在「点算组合学」上，

一般把上述「部分排列」的 解记为 P(n, r) 。至此我们求得「排列」问题的 一条基本公式： 例题 2：从 1 至 4 这 4 个数字中抽 2 个出来排序，共有多少种排法？试列出所有 排法。

答 2：共有

P(4, 2) = 4! / 2! = 12 种排法。 这 12 种排法是 4-1 ；4-2 ；4-3 。

(注 1) ，那麼上述公式便也适用於 「全排列」 的 n 的 情况，因此如果把 r = n 代入以上公

= n! / 0! = n! / 1 = n! ， 接下来笔者介绍 「组合」 问题。设在某袋中有 n 个球，每个球都标了编号 1、

2 ... n 。现从袋中抽r 个 球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上 的数字记下， 但无须理会球被抽出的先后次序。 由此可见，「 组合」问题与「排 列」问题的主要区别是， 前者只关心被抽出来的包含哪些数字， 而不管这些数字 的顺序；而 后者则既关心被抽出来的包含哪些数字， 也关心这些数字的顺序。

惟请注意， 「排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝然 对立，而是有著非常密切的联 系。日常生活中很多点算问题往往同时包含著 「排 列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题 便容易解决。事实 上，我们正可利用 「排列」和「组合」的这种微妙关系找出 「组合」问题的公式。 n-r+1 种选择。最后，运用「乘 -r+1) 。

我们可以把上式改写为更简的形式 用到 n! 的定义和乘法的结 合律。

5! = 5 X

1) = 5

5 X 4 X 们又可得 5! 4 X 3 X 2 X 4! 。同样由於 3 X 2 X 1 = 5 X

n! / (n-r)! 举一个简单的例子，由於 x 1 = 5 x ，为甚麼可以这样改写？这要

5 x 4 x 4 x 3! 。抽象地看，我们 (4 X 3 X 2 X (3 x 2 x 1)，我 可以把 n! 改写为 P(n, r)

n!/(n-r)!

(4 X 3 X 2!) / 2! = 4 X 3 = 1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-请注意只要我们定义 0! = 1 情况。「全排列」其实就是 r = 式，便得 P(n, n) = n!/(n-n)! 正 与前面讨

论的结果吻合。