数学建模股票的选择和最有价值投资方案
基金公司投资问题模型
摘要：针对投资公司提出的问题，首先求出每支股票过去若干年的时间加权年收益率，对其求均值和方差，利用变异系数从各种投资股票中选出最有投资价值的股票和投资价值较高的10支股票。接下来根据2012年最后两个月股票每日价格的上涨（下跌）计算一步转移概率矩阵，利用马尔柯夫随机过程理论预测2013年每支股票的上涨概率。其次参照层次分析法的求解模型，权衡收益率和风险，对这10支股计算合理的投资权重，做出10种股票的最佳投资策略，合理分配投资金额，降低投资风险，获得更大的效益。最后在已知预期收益率的前提下，根据马克维兹的均值——方差模型，问题可转化为二次规划求解，利用LINGO软件求出最终结果。
关键字：时间加权收益率变异系数马尔柯夫随机过程理论层次分析法
马克维兹的均值——方差模型二次规划
基金公司投资问题模型
一、问题重述
某基金管理公司现有50000万元于2013年1月1日投资附表1中列出的50种股票，于2013年12月31日之前全部卖出所持有的股票。请你为该基金公司提出投资方案。公司经理要求回答以下问题：
1. 以我国经济形势与行业变化的分析为背景，从附表所罗列的50种股票寻中 寻找一个你认为最有投资价值的股票做一估值报告。
2. 从附表所罗列的50种股票选出10种股票进行投资，请你预估这10种股票2013年的上涨幅度或者通过其他途径获取这10种股票的上涨幅度。
3. 通过建立数学模型确定最优投资组合的决策，也就是确定在选出的10种股票的分别投资多少万元投资组合的总风险是多少
4. 基金公司经理要求至少获得25%预期收益，最小风险是多少
5. 请你为基金公司经理撰写一份投资报告。
二、模型假设与符号说明
模型假设
1. 投资期间社会政策无较大变化经济发展形势较稳定；
2. 投资期间的交易费用不计；
3. 基金公司在年初投资股票，年末获得收益，期间不的撤资或追加投资；
4. 基金投资公司期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的 总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资公司在决策中只关心投资的期望收益率和方差。
5. 投资公司都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的股票；在同一收益率水平下，选择风险较低的股票。
符号说明
i S （i=1,2,...n ） ：各种可投资的股票 ()i S E ：i S 若干年的收益率的均值（期望收益率） ()i D σ ：i S 若干年的收益率的方差
i CV ：i S 的变异系数（亦称方差系数、标准差系数、标准离差率）
μ：期望收益率向量 ∑：协方差矩阵
ij C ：协方差矩阵∑的第i 行第j 列的元素
n Y ：一种股票的第n 天的价格 T P ：股票价格的一步概率转移矩阵 A ：回报风险判断矩阵 m ax λ：A 的最大特征值 X ：m ax λ对应的特征向量 W ：X 的归一化向量的转置 1B ：10个投资项目的回报判断矩阵 2B ：10个投资项目的风险判断矩阵 1P ：1B 对应的最大特征值的特征向量 2P ：2B 对应的最大特征值的特征向量 F ：已知投资权重的风险值
2min σ：已知收益率情况下的风险值
三、问题分析
证劵投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。由于投资的收益率受证券市场波动的影响因而可以将其看作一个随机变量。我们用一定时期（一年）内股票的时间加权收益率X 的期望值E(X)来衡量该种股票投资的获利能力，期望值越大，股票的获利能力越强；股票的风险用该种股票投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来衡量，方差越小，投资的风险越小。
投资者在选择投资策略时，有三种情况：（1）投资公司只能在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略；（2）公司在愿意承受的风险水平的情况下追求使收益率尽可能大的投资目标；（3）权衡收益与风险的利弊，综合考虑。降低风险的有效途径是组合投资方式。由于已知的数据和该公司的情况有限，综合各种因素，将第三种作为首选的投资方案。
问题(1)和问题(2)的分析
最有投资价值的股票即时间加权收益率的期望值E(X)大且方差D(X)小且投资方向与我国未来经济形势大致相符的股票。
从每支股票过去若干年的数据中算出每年的时间加权收益率（下面简称收益率），然后计算出它们的期望，即期望收益率。再计算出它们的方差，从而得出标准差。最后用股票变异系数对股票进行排序。股票变异系数=时间加权收益率的标准差/期望收益率，且股票变异系数越小，表示股票相对风险小，收益率高，越有投资价值。
预测股票未来的上涨幅度，我我们用马尔柯夫随机过程理论进行预测。
问题（3）和(4)的分析
问题(3)：确定投资的10支股票后，若想合理分配投资资金，需通过适当的方法计算出每支股票的权重，根据权重乘以总投资额，即得该股票的投资金额。该问题可通过层次分析法计算股票的投资权重，从而解决问题。
问题(4)：在预期收益不低于25%的情况下使股票投资的风险最小，可采用著名的马克维兹均值—方差模型。由于均值—方差模型是一个二次规划问题，可用现成的的软件（如）进行求解。
四、模型建立与求解
问题（1）和（2）的模型建立与求解
由对问题（1）和（2）分析，通过对每支股票过去若干年数据，利用复利的思想，计算出每年的时间加权收益率，公式(1)如下:
)()()()(1111......11R 1
21T -+=-+++=∏=n
t t n R R R R （1）
其中T R 为每支股票每年的时间加权收益率，t R 为股票日收益率。 一支股票过去若干年的收益率的期望()i S E （i 表示第i 支股票） 一支股票过去若干年的加权收益率的方差()i D σ （i 表示第i 只支票） 在知道每支股票收益率的期望()i S E 和方差()i D σ后，给出一个变异系数
CV ，用它来度量股票的相对风险。计算公式如下：
()
()
i i i S E D CV σ=
=
期望收益率
标准差
（2）
CV表示第i支股票的变异系数。
i
为了筛选出最具投资价值的股票，由投资价值的俩个因素：收益率高（期望收益率度量）和风险小（方差度量），计算出每支股票的CV，找出最具投资价值的十支股票。由于给出原始数据的年份不统一，我们截取重叠年份较多即2008--2012年的数据，则对原始数据处理后得出表（1）。
由上表数据给出筛选的标准：
若i CV <0,表示近些年该股票的收益下降，排除；
i CV >0且越趋向1，表示该股票变异特性弱，风险小，收益率高。
所以， 选择股票600000浦发银行作为2013年最有投资价值的股票。
十支股票的上涨幅度建立模型与求解：
我们要预计股票的上涨幅度，可根据转移概率矩阵，用马尔柯夫预测方法进行预测。
设n Y 表示一种股票的第n 天的价格，令1n D --=n n Y Y ，以-1，0，1分别表示
n D <，，<=n D <=，n D >。连续观察该种股票2014年的最后40天的变化。假
设｛n D ，n>=1}具有齐次马尔柯夫性，求｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵。其中 该日成交量
该日成交额
=
n Y
假设40个数据中
-1→-1有a 次，-1→0有b 次，-1→1有c 次， 0→-1有d 次，0→0有e 次，0→1有f 次， 1→-1有g 次，1→0有h 次，1→1有i 次。
所以，｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵
????
??????????????++++++++++++++++++=i h g i i h g h i h g g f e d f f e d e f e d d c b a c
c b a b c b a a T P
当n 比较大时，??
?
????
???=l k
j l k j
l k j n
T
P ，即按照这个趋势发展下去，长期趋势比较稳定，其中：
j 表示该股票下跌的概率； k 表示该股票持平的概率； l 表示该股票上涨的概率；
由统计的数据对每支股票运用该模型预测出2013每支股票股票的上涨幅度， 如表（2）。
问题（3）和（4）的模型建立与求解
画层次结构图：
目标层
准则层
方案层
其中1~10
首先我们在准则层对方案层进行赋权（由统计数据得到的回报风险比重），我们采用两两比较判断法：
在这张表中，a12=2/1,它表示回报与风险对投资比例的选择这个目标来说的重要之比为2:1.
由此我们得到一个比较判断矩阵
??
????= 1.0000 2.6660 0.3751
1.0000A
并称之为正互反矩阵。N 阶正互反矩阵()n n ij a A *=的特点是：
1,/1;0==>ii ji ij ij a a a a ()n j i ,,2,1, =
正互反矩阵一定存在一个最大的正特征值 m ax λ ，并且m ax λ所对应的特征向
量 X 为正向量。即 X AX max λ=，将 ??
?
???= 0.9363 0.3512X 归一化变为权向量 ?
?????= 0.7272 0.2728W 。
[v,d]=eig(X)
可求出最大特征值 2m ax =λ ，对应的特征向量经过归一化得，
[]T
W 0.7272 0.2728= 就是准则层对目标层的排序向量。
用相同的方法，给出第三层（方案层）对第二层（准则层）的每一准则比较判断矩阵，由此求出各排序向量（最大特征值所对应的特征向量并归一化）
B1=?????
??????????????????????????? 1.0000 0.8715 1.9346 0.9788 1.8286 1.6563 0.9773 0.7687 3.3004 0.1573 1.1474 1.0000 2.2198 1.1231 2.0981 1.9004 1.1213 0.8820 3.7869 0.1805 0.5169 0.4505 1.0000 0.5060 0.9452 0.8561
0.5052 0.3973 1.7060 0.0813 1.0216 0.8904 1.9765 1.0000 1.8681 1.6921 0.9984 0.7853 3.3718 0.1607 0.5469 0.4766 1.0580 0.5353 1.0000 0.9058 0.5344 0.4204 1.8049 0.0860 0.6038 0.5262 1.1680 0.5910 1.1040 1.0000 0.5900 0.4641 1.9927 0.0950 1.0233 0.8918 1.9796 1.0016 1.8711 1.6948 1.0000 0.7866 3.3772 0.1610 1.3009 1.1338 2.5167 1.2733 2.3788 2.1546 1.2713 1.0000 4.2935 0.2047 0.3030 0.2641 0.5862 0.2966 0.5540 0.5018 0.2961 0.2329 1.0000 0.0477 6.3563 5.5397 12.297
6.2218 11.623 10.527 6.2119 4.8862 20.978 1.0000
B2=???????????????
????????????????? 1.0000 0.8738 2.0304 0.9533 1.4495 1.5090 0.7801 0.6437 3.0409 0.3873 1.1445 1.0000 2.3237 1.0910 1.6589 1.7270 0.8928 0.7367 3.4801 0.4433 0.4925 0.4303 1.0000 0.4695 0.7139 0.7432 0.3842 0.3170 1.4977 0.1908 1.0490 0.9166 2.1299 1.0000 1.5206 1.5830 0.8183 0.6752 3.1899 0.4063 0.6899 0.6028 1.4007 0.6577 1.0000 1.0411 0.5382 0.4441 2.0978 0.2672 0.6627 0.5790 1.3455 0.6317 0.9606 1.0000 0.5169 0.4266 2.0151 0.2567 1.2819 1.1201 2.6028 1.2220 1.8581 1.9344 1.0000 0.8252 3.8981 0.4965 1.5535 1.3574 3.1543 1.4809 2.2519 2.3443 1.2119 1.0000 4.7241 0.6017 0.3289 0.2873 0.6677 0.3135 0.4767 0.4962 0.2565 0.2117 1.0000 0.1274 2.5817 2.2558 5.2419 2.4611
3.7422 3.8959 2.0140 1.6618 7.8506 1.0000
和
P1=???????????????????????????????? 0.0724 0.0830 0.0374 0.0739 0.0396 0.0437 0.0740 0.0941 0.0219 0.4599 P2=???????????????
????????????????? 0.0927 0.1061 0.0457 0.0973 0.0640 0.0614 0.1189 0.1441 0.0305 0.2394
最后，我们将由各准则层对目标的权向量W 和各方案对每一准则的权向量，
计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。组合权向量为:
若记p= ???????????????????????????????? 0.0927 0.0724 0.1061 0.0830 0.0457 0.0374 0.0973 0.0739 0.0640 0.0396 0.0614 0.0437 0.1189 0.0740 0.1441 0.0941 0.0305 0.0219 0.2394 0.4599 ??????= 0.7272 0.2728W 则根据矩阵的乘法，可得 W P K *==?????????
??????
?
???????????????? 0.0872 0.0998 0.0434 0.0909 0.0573 0.0566 0.1066 0.1304 0.0282 0.2996
上述结果可得：
表（3）：10个投资项目的投资比例
根据问题（4）建立的马克维兹均值—方差模型，由模型中的∑运用MATLAB 求出投资组合的总风险。
程序如下：
w1=;w2=;w3=;w4=;w5=;
w6=;w7=;w8=;w9=;w10=;
F=*w1^*w1*w2+*w1*w3+*w1*w4+*w1*w5
+*w1*w6+*w1*w7+*w1*w8+*w1*w9+*w1*w10
+*w2**w2**w2**w2**w2*w6
*w2**w2**w2**w2*w10
+*w3*w3+*w3*w4+*w3*w5+*w3*w6+*w3*w7
+*w3*w8+*w3*w9+*w3*w10
+*w4*w4+*w4*w5+*w4*w6+*w4*w7+*w4*w8
+*w4*w9+*w4*w10
+*w5*w5+*w5*w6+*w5*w7+*w5*w8+*w5*w9
+*w5*w10
+*w6*w6+*w6*w7+*w6*w8+*w6*w9+*w6*w10
+*w7*w7+*w7*w8+*w7*w9+*w7*w10
+*w8*w8+*w8*w9+*w8*w10
+*w9*w9+*w9*w10
+*w10^2; (3)
结果：F=
所以此时的投资组合的总风险为。
由问题（4）的分析建立马克维兹均值—方差模型求解：
十种股票的期望收益率向量μ及协方差矩∑阵可由原始统计数据估计出
来。一般来说，若n 种股票，m 年投资的收益率统计数据为
nm n n m m x x x x x x x ,...,,;...;,...,;,...,,x 2122211211
则可以根据这些统计数据作为样本，求出i μ及ij σ（i,j=1,2,...n ）的估计值。 记
∑==m
k ik i x m x 1
1 （i=1,2,...,n)
())(j jk i m
k ik ji ij x x x x m C --==∑=1
1C （i,j=1,2,...n ）
用样本矩作为总体矩的点估计，则
i i x =μ
? ，ij ji ij C ==σσ?? （i,j=1,2,...n ） 所以，可得μ及∑的估计
()()T n T n x x x ,...,,?...,??2121==μμμμ，，
()()n n ij n
n ij C ??==∑σ
?
由上表（）的数据，可算得期望收益率向量及协方差矩阵分别为
T
)24%,20.72% 15.88%,35. 38%16.79%,31.,,18.55%96%,31.43%9.301%,39.195.24%,，
（=μ∑???????????????
????????????????? 0.0159 0.0196 0.0025 0.0160 0.0352 0.0233 0.0378 0.0117 -0.0058 0.0920 0.0196 0.0241 0.0030 0.0197 0.0433 0.0287 0.0466 0.0144 -0.0071 0.1133 0.0025 0.0030 0.0004 0.0025 0.0055 0.0036 0.0059 0.0018 -0.0009 0.0143 0.0160 0.0197 0.0025 0.0161 0.0354 0.0235 0.0380 0.0118 -0.0058 0.0925 0.0352 0.0433 0.0055 0.0354 0.0777 0.0515 0.0835 0.0258 -0.0128 0.2032 0.0233 0.0287 0.0036 0.0235 0.0515 0.0342 0.0554 0.0171 -0.0085 0.1348 0.0378 0.0466 0.0059 0.0380 0.0835 0.0554 0.0898 0.0278 -0.0137 0.2185 0.0117 0.0144 0.0018 0.0118 0.0258 0.0171 0.0278 0.0086 -0.0042 0.0676 0.0058- 0.0071- 0.0009- 0.0058- 0.0128- 0.0085- 0.0137- 0.0042- 0.0021 0.0334- 0.0920 0.1133 0.0143 0.0925 0.2032 0.1348 0.2185 0.0676 -0.0334 0.5318 在投资的期望收益率至少为25%的前提下，使投资的风险最小。因此可以建立组合股票投资决策的均值——方差模型：
min 2σ=*w1^*w1*w2+*w1*w3+*w1*w4+*w1*w5+*w1*w6+*w1*w7+*w1*w8+*w1*w9+*w1*w10
+*w2**w2**w2**w2**w2**w2**w2**w2**w2*w10
+*w3*w3+*w3*w4+*w3*w5+*w3*w6+*w3*w7+*w3*w8+*w3*w9+*w3*w10
+*w4*w4+*w4*w5+*w4*w6+*w4*w7+*w4*w8+*w4*w9+*w4*w10
+*w5*w5+*w5*w6+*w5*w7+*w5*w8+*w5*w9+*w5*w10
+*w6*w6+*w6*w7+*w6*w8+*w6*w9+*w6*w10
+*w7*w7+*w7*w8+*w7*w9+*w7*w10
+*w8*w8+*w8*w9+*w8*w10
+*w9*w9+*w9*w10
+*w10^2 （4）
.(1)*w1+*w2+*w3+*w4+*w5+*w6+*w7+*w8+*w9+*w10>=
(2)w1+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8+w9+w10=1
（3)w1>=0，w2>=0,w3>=0,w4>=0,w5>=0,w6>=0,w7>=0,w8>=0,w9>=0,w10>=0
用求解，输出结果：
Feasible solution found.
Total solver iterations: 11
Variable Value
σ
min2
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
W8
W9
W10
Row Slack or Surplus
1
2
3
因此，得
w1=, w2=, w3=, w4=, w5=
w6=,w7=, w8=, w9=, w10=
σ=
min2
σ=
最小投资风险为：min2
问题（3）层次分析模型的检验
λ=n，问题（3） n阶正互反矩阵为一致矩阵当且仅当其最大特征根
m ax
中的矩阵A和B均为一致矩阵。（矩阵A：最大特征跟=矩阵A的阶数=2，矩阵B：最大特征跟=矩阵B的阶数=10）。一致性越高，最大特征根对应的标准化特征向量就越能反映出各层次对上一层次的影响中所占的比重。
五、主要结果
问题（1）的结果：根据我们的的评判方法，结合50种股票最近五年的年平均收益和交易额以及变异系数，我们认为股票“600000浦发银行”为2013年最有投资价值的股票。
问题（2）的结果：
问题（3）的结果：
表（6）：10个投资项目的投资比例
十支股票的组合投资风险：F=
问题（4）（5）的结果：
=
最小投资风险为：min2
六、模型评价
模型优缺点
模型优点
问题（2）马尔柯夫链模型优点：经济预测的方法是多样的，马尔科夫预测方法是一种很典型的预测市场占有率的方法。问题（2）根据转移概率矩阵，用马尔科柯夫预测方法进行预测，并且其极限具有稳定性。
问题（3）层次分析模型优点：层次分析法是对复杂问题作出决策的一种简单易行的方法，它适用于错综复杂且难于定量分析的问题，它对决策分析提供
了一个有力且有效的工具。应用此模型通过MATLAB编程可计算出各个项目的最
佳投资比例，求解方便。
问题（4）马克维兹均值—方差模型优点：
马克维兹均值—方差模型的意义在于：在达到预期收益率不低于25%的情况下使组合证劵投资的风险最小。而模型又是一个二次规划问题，求解二次规划问题有现成的计算机软件（如LINGO等），求解方便。
模型缺点
问题（2）马尔柯夫链模型缺点：2013年股票上涨幅度预测时需要选取适量的数据，其一数据的选择需适量且具有代表性，其二数据处理时分界值的选择也比较麻烦。
问题（3）层次分析模型缺点：层次单排序及一致性检验，层次总排序及一致性检验的计算复杂程度稍大，尤其当其判断矩阵不满足一致性检验时需要不断的对其作适当修正。
问题（4）马克维兹均值—方差模型缺点：该模型的两个重要指标数学期望和方差都是指预期收益率的。如果预期收益率的计算有偏差，将会影响到最终所有的计算。我们采用时间加权平均来计算预期收益率。
模型改进
（1）在激烈的市场竞争中,股票价格受多种因素的影响,因此转移概率矩阵是经常发生变动的，我们可根据实际对转移概率矩阵进行修正，则计算更加精确。
（2）我们是在比较理想的情况下得出结果，事实上投资公司都具有一定的风险承受能力，可让投资公司提供该信息，再建立马克维兹均值—方差模型。
参考文献
[1] 杨桂元，李天胜，徐军编著 .数学模型应用实例.合肥：合肥工业大
学出版社，2007
[2] 李红艳，范军晖等.运筹学.北京：清华大学出版社，2012
[3] 同济大学数学系编.工程数学:线性代数(第5版).上海：高等教育出
版社，2007
[4] 百度文库.时间加权收益率. 智库文档.第三章证券投资组合理论--马克维兹的均值—方差模型. 谭浩，赵羚，严哲峰.1998大学生数学建模优秀论文投资和风险问题.
数学建模竞赛简介
数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”
数学建模的作用意义
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来, 随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用, 而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。 (2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才
数学建模常见评价模型简介
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
数学建模在经济学中的应用
数学建模在经济学中的应用 摘要：高校的经济学教学中经常会融入一些数学模型的思想，实际上数学模型的建立与经济学的教学和研究有着很大的内在联系，两者之间有着必然的关系，文本笔者将会从数学与经济学的关系出发，具体的介绍数学经济模型及其重要性，并对构建数学经济模型以及一些实例进行具体的论述。 关键词：数学模型；经济学；高校教学；应用 现如今的高校教学当中可以说数学建模与经济学之间有着密切的关系，任何一项经济学的研究和计算都离不开数学模型的建立，采用数学模型来辅助经济学的发展可以更加直观的让人们从中看出经济的发展形势。例如在经济学的宏观控制和价格控制中，都有数学建模的融入，利用数学建模可以有助于经济学实验的宏观经济分析，在一些实验和价格控制当中，都经常会涉及到数学问题在微观经济中数理统计的实验设计，这时候就体现出了数学建模对于经济学的促进性作用。下面笔者将会针对数学建模对于经济学的重要作用进行具体的分析。 1.数学经济模型对于经济学研究的重要性： 一般情况下，单独的依靠数学模型是不够解决所有的经济学问题，很多经济领域中的问题是需要从微观角度进行细致的分析才能够总结出其中的规律。要想利用数学知识来
解决经济学中所出现的问题，就一定要建立适当的经济学模型。运用数学建模来解决经济学中的问题并不是没有道理的，很多时候从经济学的角度仅仅能够知道问题的方向和目的，至于其中的过程并不能有着详细的分析，而利用数学模型就可以彻底的解决这一问题。数学建模可以通过自身在数字、图像以及框图等形式来更加真实地反映出现有经济的实际状况。 2.构建经济数学模型的一般步骤： 要想利用数学模型来更好的解决现有的经济学问题，主要分为两个步骤，第一先要分清楚问题发生的背景并且熟悉问题，然后要通过假设的形式来完善现有的经济学问题，通过抽象以及形象化的方式来构建一些合理的数学模型。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。这样可以得出一些有关经济类的数据，进而将建模中得到的数据与实际情况进行对比和分析，最终得出结果。 3.应用实例： 商品提价问题的数学模型： 3.1问题： 现如今经济学在很多的商场中都有所运用，例如同样的商品要想获得最大的经济效益，既要考虑到规定的售价，又要考虑到销售的数量，如果定价过低，则销售数量较多，如果定价较高，利润是大了，但是却影响了销售数量。怎样
数学建模简介
数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。
数学建模的介绍
一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结
数学建模背景
数学建模背景： 数学技术 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。[1] 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 2建模过程 模型准备 了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立 在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。 模型求解 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。 模型分析 对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值
第23卷第1期大 学 数 学Vol.23,№.1 2007年2月COLL EGE MA T H EMA TICS Feb.2007从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值 韩 明 (福建工程学院数理系,福州350014) [摘 要]分为三个部分,第一部分,诺贝尔经济学奖的概述;第二部分,数学建模在经济学中的应用情 况;最后一部分,展望经济科学的发展趋势. [关键词]诺贝尔奖;数学建模;经济学 [中图分类号]F224;O213 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2007)0120181206 1 诺贝尔经济学奖的概述 1968年瑞典银行为庆祝建行300周年,决定从1969年起同样以诺贝尔的名义,颁发经济学奖.这一奖项的全称是:“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德?诺贝尔的经济科学奖(The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel)”.除了奖金来源不同外,诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖完全相同. 获得当今世界上最具影响力的经济学奖项———诺贝尔经济学奖,几乎是每个经济学家的梦想.诺贝尔经济学奖从1969年第一次颁奖到2004年,已经有55人获此殊荣(同时获奖的人数最多不超过3人).1969年首届授予计量经济学的奠基人Regnar Frisch(挪威,1895-1979)和J an Tinbergen(荷兰, 1903-1994). 正如著名经济学家、后来的瑞典皇家科学院院长Erik L undberg在首届颁奖仪式上的讲话所说:“过去四十年中,经济科学在经济行为的数学规范化和统计定量化的方向上已经越来越发展.沿着这样的路线的科学分析,通常用来解释诸如经济增长、商情周期波动以及为各种目的来对经济资源重新配置那样的复杂经济现象…….然而,经济学家对有关战略性的经济关系构造数学模型的企图,以至借助于时间序列的统计分析来定量地阐明它们,事实上已经被证实是成功的.经济研究的这条路线,也就是数理经济学和计量经济学,已经在最近几十年里刻画了这一宗旨的发展.……”“近二十年来,Frisch教授和Tinbergen教授正在沿着本质上是同样的路线在进行研究.他们的目的是对经济理论赋予数学上的严谨性,并使它具有允许经验定量和统计假设检验的形式.其本质目标之一是要使经济学摆脱模糊的、较为‘文学’的类型.例如在Frischt和Tinbergen的著作中,商情周期波动的原因的任意‘命名’已经被抛弃,代之以陈述经济变量之间相互关系的数学系统.”从Erik L undberg的这段讲话,我们能看出经济科学在1969年前四十年的发展概况. 我们从经济科学的发展概况中,似乎能感觉到数学所起的作用.那么诺贝尔经济学奖得主的工作中数学建模起什么作用呢?它对开展大学生数学建模竞赛活动和我国大学数学教育又有什么启发呢? 2 数学建模在经济学中的应用情况 本文简要地介绍诺贝尔经济学奖得主的主要工作,从中我们能看到数学建模的应用情况和数学建 [收稿日期]2005208210 [基金项目]福建工程学院教育科学基金项目(G B-06-20)
数学建模课程简介
《数学建模》课程简介 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 内容简介： 本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。 本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年为21人）。 推荐教材或参考书： “数学建模”，杨启帆、谈之奕、何勇编著，浙江大学出版社出版，2006年7月 《数学建模》教学大纲 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 一、教学目的与基本要求： 通过典型数学模型分析和课外建模实践，使学生基本掌握运用数学知识建立数学模型来研究科研问题或实际课题的基本技能与基本技巧，本课程教学除传授知识外还要求学生在实际建模中注意培养和提高自身的能力，以便提高自己的综合素质与实际本领。 二、主要内容及学时分配： 1.数学建模概论，3学时 2.初等模型，8学时：舰艇的汇合，双层玻璃的功效，崖高的估算，经验模型，参数 识别，量纲分析法建模，方桌问题、最短路径与最速方案等 3.微分方程建模，14学时：马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型，为什么要用三级火箭发 射人造卫星，药物在体内的分布，传染病模型，捕食系统的P-P模型，双种群生态 系统研究等
浅论数学建模在经济学中的应用
浅论数学建模在经济学中的应用 摘要：当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析 经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。 关键词:经济学数学模型应用 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起
来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。 2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。 3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。 4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因
线性规划与数学建模简介
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念
模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型
经济问题中的数学建模应用
经济问题中的数学建模应用 摘要：微分方程是一类应用十分广泛而且常见的数学模型。它在经济学，管理学和物理学中有着重要的辅助研究作用。在经济学中，通过数学建模把经济问题所涉及的重要特征进行合理的数学转化，即用数学语言对经济学中复杂、抽象问题进行表述，将实际问题与数学紧密的结合起来。 关键词：微分方程数学建模逻辑斯谛方程销售曲线经济应用0 引言 微分方程研究范围广、历史悠久，在牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y=f(x)的求解问题。当人们运用微分去解决经济学中的问题时，发现其对经济问题所做的定性分析和定量分析是严谨的、可信的，因此大量的微分方程涌现出来。现如今微分方程在经济学和管理学等实际问题中得到越来越广泛地应用。 1 逻辑斯谛方程 逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的，单调递增的，单参数k为上渐近线的s型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的s型变化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型。其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征是：在时间t很小时，呈指数型增长；而当t不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运
用逻辑斯谛方程加以解决。 利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程，建立数学模型，我们可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f(t)，由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t 时刻产品销售量的增长率与f(x)成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量n，统计表明与尚未购买的此新产品的潜在客户数量n-f(x)也呈正比，于是有=kx(n-x)符合逻辑斯谛方程的模型，于是有通解=kx（n-x）。 其中k为比例系数.分离变量积分，可以解得：x（t）= 当x（t*）0即销量x（t）单调增加.当x（t*）=时，=0；当x （t*）>时，0即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大，同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。 许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以分析家认为当产品推出的初期应小批量生产。当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产，但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。 2 收入与债务的问题 目前，欧债，美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待 人们去研究、去解决。但 是，社会对数学的需求并 不只是需要数学家和专门 从事数学研究的人才，而 更大量的是需要在各部门 中从事实际工作 的人善于运用数 学知识及数学的 思维方法来解决 他们每天面临的 大量的实际问题， 取得经济效益和社会效 益。他们不是为了应用数 学知识而寻找实际问题 （就像在学校里做数学应 用题），而是为了解决实 际问题而需要用到数学。 而且不止是要用到数学， 很可能还要用到别的学 科、领域的知识，要用到 工作经验和常识。特别是 在现代社会，要真正解决 一个实际问题几乎都离不 开计算机。可以这样说， 在实际工作中 遇到的问题， 完全纯粹的只 用现成的数学 知识就能解决 的问题几乎是 没有的。你所能遇到的都 是数学和其他东西混杂在 一起的问题，不是“干净 的”数学，而是“脏”的 数学。其中的数学奥妙不 是明摆在那里等着你去解 决，而是暗藏在深处等着
你去发现。也就是说，你 要对复杂的实际问题进行 分析，发现其中的可以用 数学语言来描述的关系或 规律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就称 为数学模型。 数学模型具有下列特 征：数学模型的一个重要 特征是高度的抽象性。通 过数学模型能够将形象思 维转化为抽象思维，从而 可以突破实际系统的约 束，运用已有的数学研究 成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一 个特征是经济性。用数学 模型研究不需要过多的专 用设备和工具，可以节省 大量的设备运行和维护费 用，用数学模型可以大大 加快研究工作的进度，缩 短研究周期，特别是在电 子计算机得到广泛应用的 今天，这个优越性就更为 突出。但是，数学模型具 有局限性，在简化和抽象 过程中必然造成某些失 真。所谓“模型就是模型” (而不是原型)，即是该性 质。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。 模型是客观实体有关属性的模拟。陈列 在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞 机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而 参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果 飞行性能不佳，外形再 像飞机，也不能算是一 个好的模型。模型不一 定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的 某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并 不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符 号、文字和数字来反映出该地区的地质结 构。数学模型也是一种模拟，是用数 学符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁
数学建模论文：浅谈数学规划模型在经济学中的应用
浅谈数学规划模型在经济学中的应用 一、 起因：经济学中的稀缺与效率 经济学研究的是一个社会如何利用稀缺的资源生产有价值的物品和劳务，并将它们在不同的人中间进行分配。经济学主要进行三点考虑；资源的稀缺性是经济学分析的前提；选择行为是经济学分析的对象；资源的有效配置是经济学分析的中心目标。经济学最基本的两大主题即是稀缺与效率，其首要任务是利用有限的地球资源尽可能持续地开发成人类所需求的商品及其合理分配，即生产力与生产关系两个方面。 简而言之，经济学研究的是如何利用有限的资源实现分配的效率，而线性规划模型的研究对象是——(1)在现有的资源条件下，研究如何合理地计划、安排，可使某一目标达到最大化；(2)在任务确定后，研究如何合理地计划、安排, 用最低限度的人、财等资源，去实现任务。——即线性规划可以以其特定的数学分析方法，实现体现在实际生产生活中的经济学的稀缺资源有效利用。 自1947年美国数学家丹捷格提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。它是运筹学的一个重要分支，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。 二、 过程：数学规划模型操作 线性规划问题，即是要解决在一组线性的等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题。 线性规划建模型的过程为： (1) 理解需要解决的问题，明确模型条件以及要达到的目标； (2) 针对问题定义一组决策变量，用x =(x 1, x 2, …, x n )T 表示某一方案。 (3) 用决策变量的线性函数形式表示出所要寻求的目标，称为目标函数。按问题的不同，要求目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化； (4) 用一组含有决策变量的等式或不等式来表示在解决问题的过程中所必须遵循的约束条件。 其标准形式为： 三、 应用：具体案例结合分析 1122min n n z c x c x c x =+++ 11112211211222221122..(1)n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 12,,,0n x x x ≥
数学建模在经济中的应用
数学建模在经济管理中的应用 数学方法对很多学科都产生了影响,经济管理也在其列.近年来兴起的经济理论公理化倾向,就是明显地受数学的公理化思想影响.美籍法裔经济学家和数学家、诺贝尔经济学奖得主德布罗指出:"坚持数学的严格性,使公理化理论不止一次地引导经济学家对新研究的问题有更深的见解,并使适合于这些问题的数学技巧用得更好.这就为向新方向开拓,建立了一个可靠的基地.数学中有很多具体的方法和技巧,这些方法对经济管理的思维可以产生深刻的影响. 当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。 2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。 3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。 4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程,直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来,又能够应用到实际问题中去的。 三、应用实例
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等） 来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。 他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂 在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题 化成一个数学问题，这就称为数学模型。 数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一个特征是经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数 学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。但是，数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓“模型就是模型”(而不是原型)，即是该性质。
数学建模与经济学的关系
数学模型与经济学的关系 摘要：随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。每一门学科要想成为一门科学，首先要经过数学的推理验证，构建相应的数学模型，经济学也不例外。本文主要阐述了最优价格模型在经济学中的指导意义，经济数学模型是研究经济学的重要工具，在经济应用中占有重要的地位。文章从经济数学模型的内涵、构建经济数学模型的方法、遵循的基本原则以及所要注意的问题进行了简要分析和论述。 数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 关键字：经济学数学模型最优价格 一.引言 科学与生产生活和数学模型的关系变得越来越紧密。工程师要建立数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算。城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。将数学方
法应用到实际问题中时，往往首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策或者控制，这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。 数学和经济的联系是十分紧密的，而对数学的应用往往要通过数学模型。无论现在还是以后的学习和工作，建立数学模型都将是一个解决问题的重要的方法。 二.最优价格模型 经济问题往往通过转化为数学模型来分析。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。它具有高度的抽象性，在经济上应用的范围很广。经济范畴和经济过程同样是质和量的统一。在对生产方式以及与之相适应的生产关系进行质的分析的前提下，对反映生产方式以及与之相适应的生产关系的经济范畴和经济过程进行量的分析，将有助于认识的深化，有助于理论的应用。从这一方面来说，马克思主义经济学所提示的原理和规律，不少都有可能用数学语言来表达，用数学模型来表示。马克思自己就曾经想运用数学方法来说明经济危机的规律性。马克思提出了运用数学方法的前提条件：首先，材料必须是足够的；其次，材料必须是经过检验的。 数学模型为西方经济学家提供了方便。西方经济学家在他们的研究中大量地运用数学模型，他们所用的数学方法几乎遍及纯数学的各主要分支。不可否认，数理分析的方法要比单纯文字说明、推理更方便、更精确，有时也更能说服人。大量的数学符号和算式推导，使经济过程和现象的表述较为简洁、清晰和直观。现在的数理经济学，金融数学，计量经济学等学科的蓬勃发展和其广阔的发展前景都说明了经济是必须要和数学结合起来研究的，而且经济学的研究史是一个从定性分析研究向定量研究转变的过程，并最终是严密的定量研究的趋势，而在定量研