数学建模股票的选择和最有价值投资方案

基金公司投资问题模型摘要：针对投资公司提出的问题，首先求出每支股票过去若干年的时间加权年收益率，对其求均值和方差，利用变异系数从各种投资股票中选出最有投资价值的股票和投资价值较高的10支股票。

接下来根据2012年最后两个月股票每日价格的上涨（下跌）计算一步转移概率矩阵，利用马尔柯夫随机过程理论预测2013年每支股票的上涨概率。

其次参照层次分析法的求解模型，权衡收益率和风险，对这10支股计算合理的投资权重，做出10种股票的最佳投资策略，合理分配投资金额，降低投资风险，获得更大的效益。

最后在已知预期收益率的前提下，根据马克维兹的均值——方差模型，问题可转化为二次规划求解，利用LINGO软件求出最终结果。

关键字：时间加权收益率变异系数马尔柯夫随机过程理论层次分析法马克维兹的均值——方差模型二次规划基金公司投资问题模型一、问题重述某基金管理公司现有50000万元于2013年1月1日投资附表1中列出的50种股票，于2013年12月31日之前全部卖出所持有的股票。

请你为该基金公司提出投资方案。

公司经理要求回答以下问题：1. 以我国经济形势与行业变化的分析为背景，从附表所罗列的50种股票寻中 寻找一个你认为最有投资价值的股票做一估值报告。

2. 从附表所罗列的50种股票选出10种股票进行投资，请你预估这10种股票2013年的上涨幅度或者通过其他途径获取这10种股票的上涨幅度。

3. 通过建立数学模型确定最优投资组合的决策，也就是确定在选出的10种股票的分别投资多少万元投资组合的总风险是多少4. 基金公司经理要求至少获得25%预期收益，最小风险是多少5. 请你为基金公司经理撰写一份投资报告。

二、模型假设与符号说明模型假设1. 投资期间社会政策无较大变化经济发展形势较稳定；2. 投资期间的交易费用不计；3. 基金公司在年初投资股票，年末获得收益，期间不的撤资或追加投资；4. 基金投资公司期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的 总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资公司在决策中只关心投资的期望收益率和方差。

5. 投资公司都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的股票；在同一收益率水平下，选择风险较低的股票。

符号说明i S （i=1,2,...n ） ：各种可投资的股票 ()i S E ：i S 若干年的收益率的均值（期望收益率） ()i D σ ：i S 若干年的收益率的方差i CV ：i S 的变异系数（亦称方差系数、标准差系数、标准离差率）μ：期望收益率向量 ∑：协方差矩阵ij C ：协方差矩阵∑的第i 行第j 列的元素n Y ：一种股票的第n 天的价格 T P ：股票价格的一步概率转移矩阵 A ：回报风险判断矩阵 m ax λ：A 的最大特征值 X ：m ax λ对应的特征向量 W ：X 的归一化向量的转置 1B ：10个投资项目的回报判断矩阵 2B ：10个投资项目的风险判断矩阵 1P ：1B 对应的最大特征值的特征向量 2P ：2B 对应的最大特征值的特征向量 F ：已知投资权重的风险值2min σ：已知收益率情况下的风险值三、问题分析证劵投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。

由于投资的收益率受证券市场波动的影响因而可以将其看作一个随机变量。

我们用一定时期（一年）内股票的时间加权收益率X 的期望值E(X)来衡量该种股票投资的获利能力，期望值越大，股票的获利能力越强；股票的风险用该种股票投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来衡量，方差越小，投资的风险越小。

投资者在选择投资策略时，有三种情况：（1）投资公司只能在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略；（2）公司在愿意承受的风险水平的情况下追求使收益率尽可能大的投资目标；（3）权衡收益与风险的利弊，综合考虑。

降低风险的有效途径是组合投资方式。

由于已知的数据和该公司的情况有限，综合各种因素，将第三种作为首选的投资方案。

问题(1)和问题(2)的分析最有投资价值的股票即时间加权收益率的期望值E(X)大且方差D(X)小且投资方向与我国未来经济形势大致相符的股票。

从每支股票过去若干年的数据中算出每年的时间加权收益率（下面简称收益率），然后计算出它们的期望，即期望收益率。

再计算出它们的方差，从而得出标准差。

最后用股票变异系数对股票进行排序。

股票变异系数=时间加权收益率的标准差/期望收益率，且股票变异系数越小，表示股票相对风险小，收益率高，越有投资价值。

预测股票未来的上涨幅度，我我们用马尔柯夫随机过程理论进行预测。

问题（3）和(4)的分析问题(3)：确定投资的10支股票后，若想合理分配投资资金，需通过适当的方法计算出每支股票的权重，根据权重乘以总投资额，即得该股票的投资金额。

该问题可通过层次分析法计算股票的投资权重，从而解决问题。

问题(4)：在预期收益不低于25%的情况下使股票投资的风险最小，可采用著名的马克维兹均值—方差模型。

由于均值—方差模型是一个二次规划问题，可用现成的的软件（如）进行求解。

四、模型建立与求解问题（1）和（2）的模型建立与求解由对问题（1）和（2）分析，通过对每支股票过去若干年数据，利用复利的思想，计算出每年的时间加权收益率，公式(1)如下:)()()()(1111......11R 121T -+=-+++=∏=nt t n R R R R （1）其中T R 为每支股票每年的时间加权收益率，t R 为股票日收益率。

一支股票过去若干年的收益率的期望()i S E （i 表示第i 支股票） 一支股票过去若干年的加权收益率的方差()i D σ （i 表示第i 只支票） 在知道每支股票收益率的期望()i S E 和方差()i D σ后，给出一个变异系数CV ，用它来度量股票的相对风险。

计算公式如下：()()i i i S E D CV σ==期望收益率标准差（2）CV表示第i支股票的变异系数。

i为了筛选出最具投资价值的股票，由投资价值的俩个因素：收益率高（期望收益率度量）和风险小（方差度量），计算出每支股票的CV，找出最具投资价值的十支股票。

由于给出原始数据的年份不统一，我们截取重叠年份较多即2008--2012年的数据，则对原始数据处理后得出表（1）。

由上表数据给出筛选的标准：若i CV <0,表示近些年该股票的收益下降，排除；i CV >0且越趋向1，表示该股票变异特性弱，风险小，收益率高。

所以， 选择股票600000浦发银行作为2013年最有投资价值的股票。

十支股票的上涨幅度建立模型与求解：我们要预计股票的上涨幅度，可根据转移概率矩阵，用马尔柯夫预测方法进行预测。

设n Y 表示一种股票的第n 天的价格，令1n D --=n n Y Y ，以-1，0，1分别表示n D <，，<=n D <=，n D >。

连续观察该种股票2014年的最后40天的变化。

假设｛n D ，n>=1}具有齐次马尔柯夫性，求｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵。

其中 该日成交量该日成交额=n Y假设40个数据中-1→-1有a 次，-1→0有b 次，-1→1有c 次， 0→-1有d 次，0→0有e 次，0→1有f 次， 1→-1有g 次，1→0有h 次，1→1有i 次。

所以，｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++++++++++++++++=i h g i i h g h i h g g f e d f f e d e f e d d c b a cc b a b c b a a T P当n 比较大时，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=l kj l k jl k j nTP ，即按照这个趋势发展下去，长期趋势比较稳定，其中：j 表示该股票下跌的概率； k 表示该股票持平的概率； l 表示该股票上涨的概率；由统计的数据对每支股票运用该模型预测出2013每支股票股票的上涨幅度， 如表（2）。

问题（3）和（4）的模型建立与求解画层次结构图：目标层准则层方案层其中1~10首先我们在准则层对方案层进行赋权（由统计数据得到的回报风险比重），我们采用两两比较判断法：在这张表中，a12=2/1,它表示回报与风险对投资比例的选择这个目标来说的重要之比为2:1.由此我们得到一个比较判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 1.0000 2.6660 0.37511.0000A并称之为正互反矩阵。

N 阶正互反矩阵()n n ij a A *=的特点是：1,/1;0==>ii ji ij ij a a a a ()n j i ,,2,1, =正互反矩阵一定存在一个最大的正特征值 m ax λ ，并且m ax λ所对应的特征向量 X 为正向量。

即 X AX max λ=，将 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 0.9363 0.3512X 归一化变为权向量 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 0.7272 0.2728W 。

[v,d]=eig(X)可求出最大特征值 2m ax =λ ，对应的特征向量经过归一化得，[]TW 0.7272 0.2728= 就是准则层对目标层的排序向量。

用相同的方法，给出第三层（方案层）对第二层（准则层）的每一准则比较判断矩阵，由此求出各排序向量（最大特征值所对应的特征向量并归一化）B1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 1.0000 0.8715 1.9346 0.9788 1.8286 1.6563 0.9773 0.7687 3.3004 0.1573 1.1474 1.0000 2.2198 1.1231 2.0981 1.9004 1.1213 0.8820 3.7869 0.1805 0.5169 0.4505 1.0000 0.5060 0.9452 0.85610.5052 0.3973 1.7060 0.0813 1.0216 0.8904 1.9765 1.0000 1.8681 1.6921 0.9984 0.7853 3.3718 0.1607 0.5469 0.4766 1.0580 0.5353 1.0000 0.9058 0.5344 0.4204 1.8049 0.0860 0.6038 0.5262 1.1680 0.5910 1.1040 1.0000 0.5900 0.4641 1.9927 0.0950 1.0233 0.8918 1.9796 1.0016 1.8711 1.6948 1.0000 0.7866 3.3772 0.1610 1.3009 1.1338 2.5167 1.2733 2.3788 2.1546 1.2713 1.0000 4.2935 0.2047 0.3030 0.2641 0.5862 0.2966 0.5540 0.5018 0.2961 0.2329 1.0000 0.0477 6.3563 5.5397 12.2976.2218 11.623 10.527 6.2119 4.8862 20.978 1.0000B2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 1.0000 0.8738 2.0304 0.9533 1.4495 1.5090 0.7801 0.6437 3.0409 0.3873 1.1445 1.0000 2.3237 1.0910 1.6589 1.7270 0.8928 0.7367 3.4801 0.4433 0.4925 0.4303 1.0000 0.4695 0.7139 0.7432 0.3842 0.3170 1.4977 0.1908 1.0490 0.9166 2.1299 1.0000 1.5206 1.5830 0.8183 0.6752 3.1899 0.4063 0.6899 0.6028 1.4007 0.6577 1.0000 1.0411 0.5382 0.4441 2.0978 0.2672 0.6627 0.5790 1.3455 0.6317 0.9606 1.0000 0.5169 0.4266 2.0151 0.2567 1.2819 1.1201 2.6028 1.2220 1.8581 1.9344 1.0000 0.8252 3.8981 0.4965 1.5535 1.3574 3.1543 1.4809 2.2519 2.3443 1.2119 1.0000 4.7241 0.6017 0.3289 0.2873 0.6677 0.3135 0.4767 0.4962 0.2565 0.2117 1.0000 0.1274 2.5817 2.2558 5.2419 2.46113.7422 3.8959 2.0140 1.6618 7.8506 1.0000和P1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 0.0724 0.0830 0.0374 0.0739 0.0396 0.0437 0.0740 0.0941 0.0219 0.4599 P2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 0.0927 0.1061 0.0457 0.0973 0.0640 0.0614 0.1189 0.1441 0.0305 0.2394最后，我们将由各准则层对目标的权向量W 和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。