高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

线面垂直
●知识点
1.直线和平面垂直定义
如果一条直线和一个平面的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.
2.线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.
判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
3.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.
逆定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
●题型示例
【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，
∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的
射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.
【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设
EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样
SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明
AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，
∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平
例1题图
面SBC的证明.
【规解答】
【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.
【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.
由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.
【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.
所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.
所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.
【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.
例3题图解(1)
【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面AB 1与BD 1垂直关系，这里要感三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.
【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：
（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.
利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面完成作解任务.
证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.
【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值围是 .
【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,
AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,
∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为
974)36(22222=++=+AH HD
【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.
例4题图
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭
⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A.DP ⊥平面PEF
B.DM ⊥平面PEF
C.PM ⊥平面DEF
D.PF ⊥平面DEF
4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交
B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直
C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直
D.过a 一定可以作一个平面与b 平行
5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l ⊥m
B.α⊥γ且m ∥β
C.m ∥β且l ⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )
A.1
B.2
C.552
D.5
53 7.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图
A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合
B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合
C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题
① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命．．题．
的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A.③与④
B.①与③
C.②与④
D.①与②
二、思维激活
11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .
12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.
(1)求证:VC ⊥AB ;
(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC
所成角的大小.
第11题图 第12题图
第13题图 第14题图
15.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面P AD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
第15题图
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD ＝2，侧棱PB＝15，PD ＝3.
(1)求证：BD⊥平面P AD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
(3)求点C到平面D′MB的距离.
第18题图
第4课 线面垂直习题解答
1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.
2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .
4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.
5.A 依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.
6.D 过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =5
5354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m 11.
2
3cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，
又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2． S △A ′B ′C ′=
2
3432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .
14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,
∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,
∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .
(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,
∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,
∴AB ⊥面DEC .
∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，
∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,
∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .
∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,
∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,
∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,
∴VC 与面ABC 所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，
则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .
∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .
(2)∵P A ⊥平面ABCD ，
∴P A ⊥AB .
又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD .
∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN .
又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .
(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .
又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.
∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，
∴MN ⊥平面PCD .
16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，
故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21
＝12.
又AB 2＝AD 2+BD 2，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，
即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12，
∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，
∴BD ⊥平面P AD .
(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD .
∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ，
又PE 平面P AD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.
∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23
23
3=⨯.
作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ，
∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.
又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，
tan ∠PFE ＝43
3223
==EF PE .
故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43
. 第15题图解
第16题图解
17.连结AC 1，∵1
111226
3A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，
∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，
∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.
∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M .
由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .
点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD 中，
∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝2
1BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2.
又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，
∴NP ⊥平面ABCD .
(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，
∴NP 、CC ′在同一平面，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ，
∴∠MCD 为该二面角的平面角.
在Rt △MCD 中可知
∠MCD ＝arctan 2
1，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝24
6a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.
∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213
131='⋅， ∴.3621a S a S h =⋅=。