张晓峒 VAR模型(1) 计量经济学

0⎤ 1⎥⎦
−
⎡(5 / ⎢⎣(1 /
8)L 4)L
(1/ 2)L⎤ (5 / 8)L⎥⎦ =
⎡1− (5 / 8)L
⎢ ⎣
−
(1
/
4)L
− (1/ 2)L ⎤ 1− (5 / 8)L⎥⎦
求解得
= (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0
Yt = A-1D + A-1BYt-1 + A-1FZt + A-1vt 令A-1D = c，A-1B = Π1，A-1F = H，A-1vt = ut，上式可写为
Yt = c + Π1 Yt-1 + H Zt + ut 而上式正是带有外生变量Zt的VAR模型。
附录：（file:B8c1） VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话 框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态解）。然后在工作文件中得到带有_0 （f）后缀的变量。 VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有 Model，则直接双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择 Dynamic solution（动态解）。然后在工作文件中得到带有_0（f）后缀的变量。
11.1 21.1
π 12.1 ⎤
π
22.1
⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
y1,t −1 y 2,t −1
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡u1t ⎢⎣u 2t
⎤ ⎥ ⎦
(8.2)
设
Yt
=
⎡ ⎢ ⎣
y1t y 2t
⎤ ⎥ ⎦
,
c
=
⎡ c1 ⎢⎣c2
⎤ ⎥ ⎦
,
Π1
=
⎡π ⎢⎣π
11.1 21.1
π π
12.1 22.1
⎤ ⎥ ⎦
,
ut
式输出方式。在 VAR 模型估计结果窗口点击 View 选 representation 功能可得到 VAR 的代数式输 出结果。
VAR 模型的特点是： （1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互 有关系的，把有关系的变量包括在 VAR 模型中；②确定滞后期 k。使模型能反映出变量间相互影 响的绝大部分。 （2）VAR 模型对参数不施加零约束。（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析 回归参数的经济意义。） （3）VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在 VAR 模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。 （4）VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR 模型含有三个变量 N = 3，最大滞后期 k = 3，则有 k N 2 = 3 × 32 = 27 个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数 的估计量误差较大。 （5）无约束 VAR 模型的应用之一是预测。由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有当期 变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。 （6）用 VAR 模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的 趋势，而对短期波动预测不理想。 （7）VAR 模型中每一个变量都必须具有平稳性。如果是非平稳的，则必须具有协整关系。 西姆斯（Sims）认为 VAR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向 因果关系的变量，也可以作为外生变量加入 VAR 模型。 VAR 模型与联立方程模型的关系： 实际上也可以认为 VAR 模型是由联立方程模型转化而来。对于任何一个联立方程模型，总可
(8.15)
L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690
因为 L 1，L 2 都大于 1，所以对应的 VAR 模型是稳定的。
3．VAR 模型稳定的另一种判别条件是，特征方程 | Π1 - λ I | = 0 的根都在单位圆以内。特征 方程 | Π1 - λ I | = 0 的根就是Π1 的特征值。
=
⎡u1t ⎢⎣u 2t
⎤ ⎥ ⎦
,
则 Yt = c + Π1 Yt-1 + ut 那么，含有 N 个变量滞后 k 期的 VAR 模型表示如下：
其中
Yt = c + Π1 Yt-1 + Π2 Yt-2 + … + Πk Yt-k + ut, ut ∼ IID (0, Ω)
Yt = (y1, t y2, t … yN, t)' c = (c1 c2 … cN)'
例 8.2 仍以 VAR(1)模型(8.14) 为例，特征方程表达如下：
| Π1 - λ I | =
⎡5 / 8 ⎢⎣1/ 4
1/ 5/
2⎤ 8⎥⎦
−
⎡λ
⎢ ⎣
0
0⎤ λ⎥⎦ =
⎡5 / 8 − λ
⎢ ⎣
1/ 4
1/ 2 ⎤ 5 / 8 − λ⎥⎦ = 0
即 (5/8 - λ)2 – 1/8 = (5/8 - λ)2 – ( 1/ 8) 2 = (0.978 - λ) (0.271 - λ) = 0
2
注意： （1）静态预测的效果非常好。动态预测的表现是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准 确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预测效果较差。综上所述，用VAR做样本外动态预测1， 2期则预测效果肯定是非常好的。 （2）当进行样本外预测时，要首先把样本范围扩大到相应区间。
8.2 VAR 模型稳定的条件
y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, …)
则无法捕捉两个变量之间的关Baidu Nhomakorabea。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数 N，一个是最大滞后阶数 k。
以两个变量 y1t，y2t 滞后 1 期的 VAR(1)模型为例， y1, t = c1 + π11.1 y1, t-1 + π12.1 y2, t-1 + u1 t
因 VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与 ut 是渐近不相关的，所以
1
可以用 OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。 VAR 模型估计的 EViews 5 操作（file:B8c1）： 打开工作文件，点击 Quick 键, 选 Estimate VAR 功能。作相应选项后，即可得到 VAR 的表格
（2）在单方程模型中，通常用反特征方程 Φ(L) = 0 的根描述模型的稳定性，即单变量过程 稳定的条件是反特征方程Φ(L) = 0 的根都要在单位圆以外；而在 VAR 模型中通常用特征方程 | Π1 - λ I | = 0 的根描述模型的稳定性。VAR 模型稳定的条件是，特征方程 | Π1 - λ I | = 0 的根都要在 单位圆以内，或相反的特征方程| I – L Π1 | = 0 的根都要在单位圆以外。
(8.11)
(1- φ1 L - φ2 L 2) yt = Φ(L) yt = ut
(8.12)
yt 稳定的条件是Φ(L) = 0 的根必须在单位圆以外。 2．对于 VAR 模型，也用特征方程判别稳定性。以 (8.3) 式，Yt = c + Π1 Yt-1 + ut，为例，改
写为
(I - Π1 L) Yt = c + ut
第 3 讲 VAR 模型与协整
1980 年 Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立 的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞 后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
8.1 向量自回归（VAR）模型定义 VAR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设 y1t，y2t 之间存在关系， 如果分别建立两个自回归模型
4．对于 k >1 的 VAR(k)模型可以通过附加伴随矩阵方程式的方法（companion form），改写成 1 阶分块矩阵的 VAR 模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。
给出 k 阶 VAR 模型，
Yt = c + Π1 Yt-1 + Π2 Yt-2 + … + Πk Yt-k + ut 再配上如下等式，
(8.16)
3
得 λ1 = 0.9786, λ2 = 0.2714。λ1，λ2 是特征方程 | Π1 - λ I | = 0 的根，是参数矩阵Π1 的特征值。因 为λ1 = 0.978, λ2 = 0.271，都小于 1，该 VAR(1)模型是稳定的。
注意：
（1）因为 L1=1/0.978 =1/λ1, L2 =1/0.27=1/λ2，所以特征方程与反特征方程的根互为倒数，L = 1/ λ。
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
Yt − 2 M
⎥ ⎥ ⎥
= ⎢0⎥
⎢⎢ M
⎥ ⎥
+⎢ 0 I L 0
⎢ ⎢
L
LO
L
0⎥
L
⎥ ⎥
⎢⎢⎢YtM−3
⎥ ⎥ ⎥
+⎢0⎥
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣Yt−k+1 ⎥⎦ Nk×1 ⎢⎣0⎥⎦ Nk×1 ⎢⎣ 0 0 L I
0 ⎥⎦ Nk×Nk ⎢⎣Yt−k ⎥⎦ Nk×1 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ Nk×1
(8.13)
保持 VAR 模型稳定的条件是| I - Π1L | = 0 的根都在单位圆以外。| I – Π1L| = 0 称做反特征方
程（reverse characteristic function）。（注意：第 2 章称特征方程）
例 8.1 以二变量（N = 2）的 VAR(1)模型
⎡ ⎢ ⎣
y2, t = c2 + π21.1 y1, t-1 + π22.1 y2, t-1 + u2 t
(8.1)
其中 u1 t, u2 t ∼ IID (0, σ 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是，
⎡ ⎢ ⎣
y1t y 2t
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ c1 ⎢⎣c2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡π ⎢⎣π
以把内生当期变量写在联立方程模型等号的左边，把内生滞后变量和外生变量写在联立方程模型
等号的右边，如下式。
AYt = D + BYt-1 +FZt + vt 其中Yt表示内生变量向量；Zt表示外生变量向量；vt表示联立方程模型的误差项向量；A，D，B， F为模型的结构参数。用A的逆阵，A-1左乘上式两侧，得
y1t y 2t
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡5 / ⎢⎣1 /
8 4
1/ 2⎤ 5 / 8⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
y1,t −1 y 2,t −1
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ u1t ⎢⎣u 2t
⎤ ⎥ ⎦
(8.14)
其中Π1
=
⎡5 / ⎢⎣1 /
8 4
1/ 5/
2⎤ 8⎥⎦
为例分析稳定性。反特征方程是
| I - Π1L | =
⎡1 ⎢⎣0
⎡π 11. j
Πj
=
⎢⎢π ⎢
21.
M
j
⎢⎢⎣π N1. j
π 12. j π 22. j
M π N 2. j
L π 1N. j ⎤
L O
π
2N.
M
j
⎥ ⎥ ⎥
,
L
π
NN .
j
⎥ ⎥⎦
j = 1, 2, …, k
(8.3) (8.4)
ut = (u1 t u2,t … uN t)', Yt 为 N×1 阶时间序列列向量。 μ为 N×1 阶常数项列向量。Π1, … , Πk 均为 N×N 阶参数矩阵，ut ∼ IID (0, Ω) 是 N×1 阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方 程对应的随机误差项之间可能存在相关。
(8.18)
其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令
Xt = (Yt Yt-1 … Yt-k+1) Nk×1'
C = (c 0 0 … 0) Nk×1'
⎡Π1 Π 2 L Π k−1 Π k ⎤
⎢ ⎢
I
0L 0
(8.17)
Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 …
Yt -k +1 = Yt - k +1 把以上 k 个等式写成分块矩阵形式，
⎡ Yt ⎤
⎢ ⎢
Yt −1
⎥ ⎥
⎡c⎤ ⎢⎢0⎥⎥
⎡Π1 Π 2 L Π k−1 Π k ⎤
⎢ ⎢
I
0L 0
0
⎥ ⎥
⎡Yt−1 ⎤
⎢⎢Yt
−2
⎥ ⎥
⎡ut ⎤
VAR 模型稳定的充分与必要条件是Π1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以 横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆），或特征
值的模都要小于 1。
1．先回顾单方程情形。以 AR(2)过程
yt = φ1 y t-1 + φ2 y t-2 + ut 为例。改写为