成都七中2017年外地生招生考试数学试题

成都七中2017年外地生招生考试数学试题

（时间120分，满分150分）

一、填空题（1—6题每题5分，7—12题每题7分，13—18题每题8分，共120分）

1. 若 ，则 ________．

2. 设 ，且 ，则 ________．

3. 如图，在长方体 中，已知 ， ，

，则三棱锥 的体积为________．

4. 将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与

点数 相差 的概率为________． 5. 抛物线 ， 与坐标轴恰有 个交点，这个 交点组成的筝形面积为 ，

则 ________． 6. 设

，则

________．

7. 已知关于 的方程

的两实数根为 ，则

________．

8. 化简

________．

9. 已知 为正整数，若 ，则 的最小值为________． 10. 如图，在边长为 的正 中， 分别在边 上，且

，

， 相交于点 ，则 所在圆的半

径为________．

11. 若 ，且 ， ，则 ________．

12. 在 中，边 上的高为 ，点 为 的中点，则 的最小值为________． 13. 方程

的所有实数解的和为________．

14. 若方程 的根也是方程 的根，则

________．

15. 将 个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装 个苹

果，一种可以装 个苹果，一种可以装 个苹果，要求每种规格都要有，且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为________．

16. 如图，在圆心为 的圆中，点 分别位于圆 的直径 两侧，若

的面积是 的面积的两倍，又 ，则 ∠ ________．

17. 设 ，若 为完全平方数，则整数 的个数为________．

18. 从 中任选 个数，使得所选的 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三

个数（要求互不相等），则满足条件的的 最小值是________． 二、解答题（第19题12分，第20题18分）

19. 已知曲线

与直线 相交于 两点， 两点在曲线

上，四

边形 是正方形． (1) 求 的值．

(2) 若点 在函数

的图象上，且 ，求 的面积．

20.已知关于的方程，其中都是实数．

(1)若时方程有两个不同的实数根，且，求实数的值．

(2)若方程有三个不同的实数根，且，求实数和的值．

(3)是否同时存在质数和整数使得方程有四个不同的实数根，且

？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由．

参考答案

一、填空题

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

二、解答题

19. 解：(1) 联立得，，所以正方形的中心为，于是

，代入得．……6分

(2) 因为，所以点落在的垂直平分线上，联立解得或

．的中点，．

当时，，．

当时，，．

所以的面积为．……12分（掉一解扣2分）

21.解：(1) ，方程为，，，

，．，即，解得或，因为，所以．……6分（多一解扣2分）

(2) 显然，方程可写成，因为方程有三个不同的实数根，结合与的图象知，，．是，即的两根，

，，，．

，，所以．……12分

(3) 存在．

方程有四个不同实数根，由(2)知．

不妨设是方程的两根，是方程的两根，则，，，，

，，所以

．……14分

注意到是质数，，因为，所以．

．

方法1：

，，无解．

，，无解．

，，．

，，．

，．

所以存在满足条件的，当时，当时．

方法2：，所以．

设，则，其中，

，，，于是

，即，

所以，的所有可能取值为．

所以存在满足条件的，当时，，当时，．

……18分