九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)

九年级上册数学 圆 几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；

（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）证明：连接CM ，

∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴

．

又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．

∴545(x )x 5)12152-

=--（，∴，解得10

OD 3

=

． 又∵D 为OB 中点，∴

1552

4

+∴D 点坐标为（0，154)．

连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得．

∴直线AD 为

．

∵二次函数的图象过M （5

6

，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=

154

． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15

4

交于点P ， ∴PD+PM 为最小．

又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15

4

的交点． 当x=

15

4时，45y (x )x 5)152

=

--（． ∴P 点的坐标为（15

4，56

）． （3）存在． ∵

，5

y a(x )x 5)2

=--（

又由（2）知D （0，154)，P （15

4，56

）， ∴由

，得

，解得y Q =±

103

．

∵二次函数的图像过M(0，5

6

)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，

又∵该图象过点D （0，15

4

)，∴，解得a=

512

． ∴二次函数解析式为

．

又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103

． ∴当y Q =103

时，，解得x=

1552-或x=1552

+；

当y Q =5

12

-

时，，解得x=

15

4

．

∴点Q 的坐标为（15524

-，103)，或（15524+，10

3)，或（154，512-）．

【解析】

试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．

（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OB

tan OAC AC OA

∠=

=，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析

式即可求得横坐标．

2．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．

（1）求证：△ABD ≌△AFE

（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．

【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π

【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24

S DE π

=

，所以利用二次函

数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，

∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ，

∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB = ， ∴BF=

42

cos cos45

AB ABF =∠=8，

设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8， ∵BE 2

=EF 2

+BF 2

， 82＜BE ≤413 ，

∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()22284

4S DE x x π

π⎡⎤==

+-⎣

⎦=()2

482

x ππ-+，

∵

2

π

＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．

点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.

3．如图①，一个Rt △DEF 直角边DE 落在AB 上，点D 与点B 重合，过A 点作二射线AC 与斜边EF 平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动，Q 为AP 中点，设运动时间为t 秒（t ＞0）• （1）当t=5时，连接QE ，PF ，判断四边形PQEF 的形状；

（2）如图②，若在点P 运动时，Rt △DEF 同时沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动，当D 点到A 点时，两个运动都停止，M 为EF 中点，解答下列问题：