极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？
2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？
答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。

如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：
ρθρ
θy
sin x
cos =
=
3、 参数方程{
cos sin x r y r θθ
==表示什么曲线？
4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？
5、 极坐标系的定义是什么？
答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.
ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就
确定了。

ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。

显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
参数方程极坐标
Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点（1）
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2）
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
(3) {
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程
(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
例1、方程22
22
t t
t t
x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2t t
与2t
-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()
()2
2
2222224t t
t t x y ---=--+=-，
即有22
4y x -=，又注意到 202222222t t t t t y -->+≥⋅=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为
2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
练习1、与普通方程2
10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）
222
sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t
===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩ 解析：所谓与方程2
10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；
对于B 化为普通方程为2
10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2
10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，
，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.
而已知方程为2
10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.
练习2、设P 是椭圆2
2
2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .
分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足2
2
2312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组
222312
2x y x y t
⎧+=⎨
+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.
解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足22
2312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t
⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由
()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，
解得：t ≤≤所以2x y +
，
最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直
角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222
cos sin x y x y
y tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪
⎨⎨==
⎩⎪⎩
或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2、极坐标方程2
4sin
52
θ
ρ⋅=表示的曲线是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由2
1cos 4sin
422cos 522
θ
θ
ρρρρθ-⋅=⋅
=-=
，化为直角坐标系方程为
25x =，化简得225
54
y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.
练习1、
已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则极点到该直线的距离是
解析：极点的直角坐标为()0,0o
，对于方程sin 4222πρθρθθ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=
，因此点到直线的距离为2
练习2、极坐标方程2
cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）
A ．2
01y y +==2
x 或 B ．1x = C ．2
01y +==2
x 或x D ．1y =
分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==
===或，因此选C.
练习3、点M
的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3
π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈
解析：2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标，因此选C.
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方
程为θθρsin 6cos 2+=．
（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θ
sin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x
∴曲线1C 的普通方程为10)2(2
2=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22
+=
∵θρθρρsin ,cos ,2
2
2
==+=y x y x
∴y x y x 622
2
+=+，即10)3()1(2
2
=-+-y x
∴曲线2C 的直角坐标方程为
D
A
F
E
O
B
C
10)3()1(22=-+-y x
（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C
∴两圆相交
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C
∴22
2
)10()2
23(
)2
(=+d ∴22=d
∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.
已知曲线C ：θ⎩⎨
⎧θ
+=θ
+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
解析：（Ⅰ）02322
2=--+y x y x
（Ⅱ）(
)
θ+θ=ρsin cos 32
（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：⎩⎨
⎧=+=）y x 为参数θθ
θ
(sin cos 1上求一点，使它到直线2C
：
12(112
x t t y t ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

解：直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0
设所求的点为P （1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=
2
|
122sin cos 1|-+++θθ
=|sin(θ+
4
π
)+2| 当234ππ
θ=+时，即θ=4
5π
时，d 取最小值1
此时，点P 的坐标是（1-
22，-2
2）
练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ（θ∈R ）
的圆心为(,)P x y ，求2x
y 的取值范
解：由题设得4cos ,
3sin x y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数，θ∈R ） 于是.
28cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，
所以
2x y -
练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,
54253t
y t x （t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为：
θρρsin 22=
又 θρθρρsin ,cos ,
2
22===+y x y x .
所以，曲线C 的直角坐标方程为：
0222=-+y y x .
（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(3
4
--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ， 则5=
MC
∴15+=
+≤r MC MN
（5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆42
2=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩． （2）把直线3
12112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t t +
++=++-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
练习1、求直线415
315x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长.解：将方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
，2)4
π
ρθ=+分别化为普通方程：
3410x y ++=，220,x y x y +-+=
217
2.
105
d d -=-=211211圆心C （，－），半径为＝，弦长＝2r 222100
（6）、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例6、已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为5543623A B C πππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
，，，，，,判
断三角形ABC 的三角形的形状，并计算其面积.
分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解析：如图，对于55366
AOB BOC AOC πππ
∠=∠=∠=
，，， 又5,43OA OB OC ===
222
2cos AC OA OC OA OC AOC
=+-⋅⋅∠(2
2
55432543cos
6
π
=+-⨯⨯ B
A
O x C
133
=
，AC
∴
，BC
同理，，AC BC
∴=，ABC
∴∆为等腰三角形，5
AB OA OB
===
又，所以AB边上的高
2 h==
,
1
5
2
ABC
S
∆
∴==
练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时
针方向排列），求点P的轨迹方程.
解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则
直线5
x=的极坐标方程为cos5
ρθ=，设A（
ρ，
θ），
P(),ρθ，因点A在直线cos5
ρθ=上，
00
cos51
ρθ
∴=<>
OPA
∆为等腰三角形，且
120
OPA OP OA
ρρ
∠=︒==
，而，，以及30
POA
∠=︒
00
302
ρθθ
∴==-︒<>
，且，把<2>
代入<1>，得点
P的轨迹的极坐标方程为：()
cos305
θ-︒=.
Ⅲ趁热打铁
1．把方程1
xy=化为以t参数的参数方程是（）
A．
1
2
1
2
x t
y t-
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
B．
sin
1
sin
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
C．
cos
1
cos
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
D．
tan
1
tan
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
解析：D 1
xy=，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制
2．曲线
25
()
12
x t
t
y t
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
为参数与坐标轴的交点是（）
A．
21
(0,)(,0)
52
、B．
11
(0,)(,0)
52
、C．(0,4)(8,0)
-、D．
5
(0,)(8,0)
9
、
解析：B 当0
x=时，
2
5
t=，而12
y t
=-，即
1
5
y=，得与y轴的交点为
1
(0,)
5
；
当0
y=时，
1
2
t=，而25
x t
=-+，即
1
2
x=，得与x轴的交点为
1
(,0)
2
3．直线
12
()
2
x t
t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
为参数被圆229
x y
+=截得的弦长为（）
A．
12
5
B
C
D
y
P A
O x
解析：B
1
12
2
1
x
x t
y t
y
⎧
=
⎪
=+
⎧⎪
⇒
⎨⎨
=+
⎩⎪=
⎪⎩
，把直线
12
2
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
代入229
x y
+=得222
(12)(2)9,5840
t t t t
+++=+-=
12
12
5
t t-===
12
t-=
4．若点(3,)
P m在以点F为焦点的抛物线
2
4
()
4
x t
t
y t
⎧=
⎨
=
⎩
为参数上，
则PF等于（）
A．2B．3C．4D．5
解析：C 抛物线为24
y x
=，准线为1
x=-，PF为(3,)
P m到准线1
x=-的距离，即为4
5．已知曲线
2
2
()
2
x pt
t p
y pt
⎧=
⎨
=
⎩
为参数,为正常数上的两点,
M N对应的参数分别为
12,
t t
和，12
t t+=
且，那么MN=_______________。

解析：
1
4p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。

即x轴，
121
222
MN p t t p t
=-=
6．圆的参数方程为
3sin4cos
()
4sin3cos
x
y
θθ
θ
θθ
=+
⎧
⎨
=-
⎩
为参数，则此圆的半径为_______________。

解析：由
3sin4cos
4sin3cos
x
y
θθ
θθ
=+
⎧
⎨
=-
⎩
得2225
x y
+=故半径为5
7．分别在下列两种情况下，把参数方程
1
()cos
2
1
()sin
2
t t
t t
x e e
y e e
θ
θ
-
-
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
化为普通方程：
（1）θ为参数，t为常数；（2）t为参数，θ为常数；
解：（1）当0
t=时，0,cos
y xθ
==，即1,0
x y
≤=
且；
当0t ≠时，cos ,sin 11()()2
2
t t t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
sin cos 1θθ+=，即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2
t t
y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθ
θθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-⋅=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。

8
．过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值
解：设直线为cos ()2
sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
⋅==+ 所以当2
sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ⋅的最小值为
34，此时2
πα= 9．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩
为参数表示什么曲线？
解：显然tan y x
θ=，则22
2222
111,cos cos 1y y x x θθ+==+
2222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯
++ 即222222222111,(1)12111y y y y x x x x y y y x x x x x
+=⨯+=+=++++ 得21y y x x x
+=+，即220x y x y +--= Ⅳ 温故强化
1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ
=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）
A
．1(,2 B ．31
(,)42- C
． D
．
解析：B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12
y = 2．将参数方程222sin ()sin x y θθθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 解析：C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
3. 若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B -⎛⎝ ⎫⎭
⎪36，π，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。

（其中O 是极点）
解析：在极坐标系中画出点A 、B ，易得∠=︒AOB 150
()
∆∆AOB AB OA OB OA OB AOB AB S OA OB AOB OAB 中，由余弦定理，得：
222
2223323315018933233
2
6212123315094
=+-⋅∠∴=+-⨯⨯⨯︒=+=+=+=⋅⋅∠=⨯⨯⨯︒=cos cos sin sin 4．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________
解析： 直线为10x y +-=
，圆心到直线的距离d ==
，弦长的一半为2
=
5. 直线x x t y y t
=+=-⎧⎨⎩003（t 为参数）上任一点P 到()P x y 000，的距离为__________
解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 6. 若、是椭圆的焦点，为椭圆上不在轴上的点，则的重心F F x y P x PF F G 1222
122516
1+=∆ 的轨迹方程为____________。

解析：设()()()()G x y P F F ，，，，而，，，54303012cos sin θθ-
由重心坐标公式，得：()x y =+-+==++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪533353400343
cos cos sin sin θθθθ
θ（为参数） 消参，得点G 的轨迹方程为925916
122
x y +=
7. 若方程m m ρθρθθcos sin cos 22360+-=的曲线是椭圆，求实数的取值范围。

解析：将方程两边同乘以ρ，化为：
()()m ρθρθρθcos sin cos 22360+-=
即整理，得：若方程表示椭圆，则须满足：
mx y x x m m y m m 2222
2360
393
1+-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+= ()()9
30930303322m m
m m m m m >>≠⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⇒>≠⇒∈+∞且，，
8. 求椭圆x y P 22
94
110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值 解析：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
()()()()设，，则到定点（，）的距离为
P P d 32103120565535165222
2cos sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ=-+-=-+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+ 当时，取最小值cos )θθ=(35455
d 9．在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --
=的距离的最小值。

解析：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d =
3)33θθθθ=-=+- 当cos()13π
θ+=时，min 5
d =，此时所求点为(2,3)-。

10．求直线11:()5x t l t y =+⎧⎪⎨=-+
⎪⎩
为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -
的距离。

解析：将15x t y =+⎧⎪⎨=-+
⎪⎩代入0x y
--=得t =
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ =
=。