一次函数及其图像知识点总结1

第一部分：变量与函数

1、 函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。

2、 函数的三种表示方法：

3、 学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特征及性质：

（1） 定义域（即自变量的取值范围或者说x 的取值范围） （2） 值域 （即因变量的取值范围或者说y 的取值范围）

（3） 图像与x 轴和y 轴的交点坐标及其意义（与x 轴的交点，表示当0,___y x ==；与y 轴的

交点表示当0,____x y ==）

（4） 极值点：包括最大值及最小值

（5） 单调性：

文字语言

数学语言

图像表现 单调递增

y 随x 的增

大而增大

1212x x y y >⇒>

爬 坡 型

1212x x y y <⇒< 单调递减

y 随x 的增

大而减小

1212x x y y >⇒<

下 坡 型

1212x x y y <⇒>

不等号的开口方向相同时，单调递增；不等号的开口方向相反时，单调递减

（6）、对称性研究：包括点关于x 轴、y 轴和原点的对称；以及图像的关于关于x 轴、y 轴和原点的对称。 （7）、位置关系：主要包括直线的平行与垂直。特别是平行，以及平移的研究：包括点的上、下、

左、右平移及及直线的上、下、左、右平移。

（8）、函数与方程、不等式之间的关系。 第二部分：函数的图像 1、 直角坐标系组成；以及各象限上点的特征。

2、 点的表示（横坐标，纵坐标）

注意：①不要丢了括号和中间的逗号；

②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y =

③同时要注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 3、 点(,)P a b 到x 轴的距离为________；到y 轴的距离为_______

A(2,1)

1

2

2

1

在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积：

-1

-1A(2,1)

12

21

-1

-1A(2,1)

122

1

-1

-1A(2,1)

12

21

4、 点的对称性研究：（如果忘记了，可以自己作一个直角坐标系研究一下）

(,)P a b 关于x 轴对称_________；关于y 轴对称__________；关于原点对称___________

思考：如何解决点关于y=x ，y=-x 对称，以及点旋转90°之后的坐标。

5、 点的平移：(,)P a b 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）

6、 两点之间的距离

①在同一条水平上线上的时候：求A 、B 两点之间的距离

B(4,3)

A(-2,3)

O

B(-2,2)

A(-2,3)

O

概括：

A 、

B 两点之间的距离为：12x x -或12y y -

②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。

A 、

B 两点之间的距离：221212()()AB x x y y =-+-

A 、

B 两点的中点坐标为：1212

(

,)22

x x y y ++ 7、 1）、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面

①确定x 的取值范围，特别要小心有些情况下x 并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。 ②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。

③判断函数图像是直线、曲线、还是双曲线（可以通过x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）

④最后从函数与x 轴（未必一定会有）、y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如关于x 轴、y 轴、原点对称或者关于某一条直线对称等）；分段性；从而画出比较准确的草图。 2）、作图的一般步骤：列表、描点，连接

注意：在列表的过程中，我们应该去体会方程的解与函数图像上的点之间的关系；同时要学会如何判断一个点是否会在该函数图像上。

列表：并绘制出下列两个函数的图像。

x 当___x = -3 -2 -1 0 1 2 3

223y x x =--

___y = 12 5 0 -3 -4 -3 0 22y x =-

___y =

--8

-6

-4

-2

2

4

描出22y x =-图像上的点，我们挑出其中一个点（-2，-6）显然这个点在其函数图像上，同时这个点所表示的意义：当2x =-时，6y =-时方程22y x =-（或22y x -=-）这个二元一次方程的一组解。

3）、如何判断一个点是否在该函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的,x y 的值是不是方程的解。 如：判断点(4,6)是否在函数2

23y x x =--图像上，即相当于4,6x y ==是不是方程2

23y x x =--的解。或者说：当4x =，2

2

234243y x x =--=-⨯-是否会等于6。 4）、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标

如：22y x =-的图像上 已知点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4；求点A 、B 的坐标。 解析：A 点相当于问你，当 2x =时，____y =；B 点相当于问你：4y =-时，___x =。 第三部分：一次函数与反比例函数