高等代数选讲
《高等代数选讲》课程教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲浙江教育学院《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码:22026总学时数:50课程类型: 专业选修课适用对象: 数学与应用数学专业四年制本科二、课程性质和目标1、课程的基本特性高等代数选讲是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程，一般在大学三年级开设，要求学生已学过高等代数课程并取得优异成绩. 2、课程的教学目标高等代数选讲是数学专业的专业选修课. 通过本课程的教学，使学生对高等代数的基础知识、基本概念和性质有深刻的理解和认识，并掌握综合运用各知识的方法和技巧，为考研作准备.三、课程教学方法与手段课堂讲授+习题课训练四、课程教学内容、要求及重点、难点第一章多项式(一)主要教学内容第一节数域第二节一元多项式第三节整除的概念第四节最大公因式第五节因式分解定理第六节重因式第七节多项式函数第八节复系数与实系数多项式的因式分解第九节有理系数多项式第十节多元多项式第十一节对称多项式(二)学习目的要求1(掌握数域的概念.2(掌握一元多项式的概念、多项式的整除及其性质.3(掌握两个多项式的最大公因式的概念及其性质. 4(理解多项式的因式分解定理.15(掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理 6(理解有理系数多项式的因式分解. (三)重点和难点重点:多项式的整除及其性质，两个多项式的最大公因式的概念及其性质，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式的因式分解.难点:多项式的因式分解定理，有理系数多项式的因式分解.第二章行列式(一)主要教学内容第一节引言第二节排列第三节 n级行列式第四节 n级行列式的性质第五节行列式的计算第六节行列式按行(列)展开第七节克兰姆法则第八节拉普拉斯定理、行列式的乘法规则 (二)学习目的要求1(掌握n级行列式的定义及其性质. 2(能利用n级行列式的性质来计算行列式. 3(理解克兰姆法则(三)重点和难点重点:n级行列式的定义及其性质.难点:行列式的计算.第三章线性方程组(一)主要教学内容第一节消元法第二节 n维向量空间第三节线性相关性第四节矩阵的秩第五节线性方程组有解的判别定理第六节线性方程组解的结构第七节二元高次方程组(二)学习目的要求1(理解 n维向量空间的概念及性质.2(掌握向量的线性相关性及其性质.3(掌握矩阵秩的概念及其相关性质.4(理解线性方程组有解的判别定理及线性方程组解的结构.(三)重点和难点重点: 向量的线性相关性，矩阵的秩.难点:矩阵的秩，线性方程组解的结构. 第四章矩阵2(一)主要教学内容第一节矩阵概念的一些背景第二节矩阵的运算第三节矩阵乘积的行列式与秩第四节矩阵的逆第五节矩阵的分块第六节初等矩阵第七节分块乘法的初等变换及应用举例 (二)学习目的要求1(掌握矩阵的运算以及矩阵乘积的行列式与秩.2(掌握逆矩阵的概念及求法.3(理解分块矩阵的概念及性质.4(掌握初等矩阵及性质.(三)重点和难点重点:矩阵的运算，逆矩阵及求法.难点:分块矩阵，分块乘法的初等变换. 第五章二次型(一)主要教学内容第一节二次型及其矩阵表示第二节标准形第三节唯一性第四节正定二次型(二)学习目的要求1(掌握二次型的定义及其矩阵表示.2(理解二次型的标准形及唯一性3(掌握正定二次型及其判别条件. (三)重点和难点重点:正定二次型及其判别条件.难点:二次型的标准形及唯一性，正定二次型的判别. 第六章线性空间(一)主要教学内容第一节集合、映射第二节线性空间的定义与简单性质第三节维数、基与坐标第四节基变换与坐标变换第五节线性子空间第六节子空间的交与和第七节子空间的直和第八节线性空间的同构(二)学习目的要求1(掌握线性空间的定义、性质.32(掌握线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质.3(理解线性空间的基变换与坐标变换.4(理解线性空间的子空间，子空间的交、和、直和的有关性质.5(理解线性空间的同构.(三)重点和难点重点:线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质，子空间的交、和、直和的有关性质.难点:线性空间的基变换与坐标变换，子空间的直和. 第七章线性变换(一)主要教学内容第一节线性变换的定义第二节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵第四节特征值与特征向量第五节对角矩阵第六节线性变换的值域与核第七节不变子空间第八节若当标准形介绍第九节最小多项式(二)学习目的要求1(掌握线性变换的定义、运算、线性变换的矩阵.2(掌握线性变换(矩阵)的特征值与特征向量的定义、性质及其求法.3(掌握矩阵对角化的条件及如何对矩阵对角化.4(理解线性变换的值域与核、不变子空间的概念及相关性质.5(了解若当标准形.(三)重点和难点重点:线性变换(矩阵)的特征值与特征向量，矩阵的对角化. 难点:线性变换的值域与核、不变子空间. 第八章 ,矩阵 , (一)主要教学内容第一节 ,矩阵 ,第二节 ,矩阵在初等变换下的标准形 ,第三节不变因子第四节矩阵相似的条件第五节初等因子第六节若当标准形的理论推导第七节矩阵的有理标准形(二)学习目的要求1(掌握,矩阵在初等变换下的标准形 ,2(掌握矩阵相似的条件3(掌握矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.44(理解若当标准形的理论推导三)重点和难点重点:矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.难点:矩阵相似的条件.第九章欧几里得空间(一)主要教学内容第一节定义及基本性质第二节标准正交基第三节同构第四节正交变换第五节子空间第六节实对称矩阵的标准形第七节向量到子空间的距离、最小二乘法第八节酉空间介绍(二)学习目的要求1(掌握欧几里得空间的定义及基本性质.2(掌握欧几里得空间标准正交基的概念、性质及求法.3(掌握正交变换的定义及性质.4(理解欧氏空间的同构、子空间.5(理解实对称矩阵的标准形，掌握其求法.(三)重点和难点重点:欧几里得空间标准正交基、正交变换.难点:实对称矩阵的标准形的求法.五、各教学环节学时分配其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节 (一)多项式 2 46 (二)行列式 2 3 5 (三)线性方程组 2 3 5 (四)矩阵 3 47 (五)二次型 2 3 5(六)线性空间 2 4 6 (七)线性变换 2 4 6 (八),矩阵 ,2 2 4 (九)欧几里得空间2 4 6总计 19 31 505六、推荐教材和教学参考书教材:《高等代数》(第三版)，北京大学数学系与代数教研室前代数小组编著，高等教育出版社，2003.参考书:《代数学典》，樊恽等编著，华中师范大学出版社，1994《高等代数新方法》(下册)，王品超编著，中国矿业出版社，2003.大纲制订人:(史美华)制订日期: 2007年9月6。
《高等代数选讲》课程教学标准
《高等代数选讲》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《高等代数选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一。
本课程的目一是利用近世代数的思想，统领高等代数的原理和方法，二是为报考硕士研究生提供一个好的复习高等代数的平台，三是为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第六学期或第七学期。
这时，学生已学完高等代数，近世代数，这是学习《高等代数选讲》课程必要的基础知识。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用自编讲义作为主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、高等代数（上，下），陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南，福建教育出版社，19912、高等代数选讲，林亚南，厦门大学讲义，20033、高等代数原理和方法，黄洛生，福建人民出版社，19944、各相关学校的高等代数教材第三部分：教学内容纲要和课时安排第一讲多项式多项式理论自成一体，内容丰富。
首先要把握多项式代数与多项式函数两个不同的角度和联系。
多项式的代数运算（包括带余除法）及其引导出的概念性质是多项式代数的内容，而多项式的根及其分部的角度的讨论，是多项式函数的内容。
两个多项式相等的充分必要条件是它们作为函数相等的。
其次要掌握多项式理论中与数域扩充无关的整除，带余除法，最大公因式，互质等；而不可约多项式，因式分解等与数域扩充有关。
本讲的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：一多项式代数与多项式函数二最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质）三因式分解（与数域扩充有关的性质）第二讲行列式学习行列式理论，应重点掌握行列式的性质并用以计算行列式，熟练掌握一些基本的计算方法。
本讲的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：一行列式的定义与性质二行列式的计算第三讲矩阵初步掌握矩阵的运算（包括转置，方阵的迹）。
矩阵的初等变换是矩阵论的核心和精髓，必须很好地领会理解并应用。
高等代数选讲心得体会.doc
高等代数选讲心得体会.doc
高等代数选讲是学习数学的一部分，也是本学期的重要课程。
上课的过程中，老师不
仅讲解了高等代数的概念，还结合例题，帮助我们更加深入地掌握和理解高等代数。
首先，我主要学习到基本概念和方法。
老师把多元函数的分析和微积分的算法结合起来，辅以丰富的例子，使我们更好地理解和深入研究多元函数分析中各种级数和積分的性质，建立起多元数学抽象层次的理解能力，使我们有效地掌握了多元分析的方法。
其次，我还学习到了如何解决复杂的高等代数问题。
在老师开设的高等代数选讲课上，我们学习拆解复杂的问题，以便将大的题分解为多个有系统的小问题，然后分析每个小问题，最后总结出答案。
这样有计划的、分级分多的解决问题方法，极大地促进了我们解决
类似问题的能力。
最后，老师还教导了我们如何熟练地使用各种计算机软件以及数学分析和表示软件，
提高问题解决能力，以便更有效地表示和解释处理复杂数学难题。
总之，在高等代数选讲课上，老师给了我们许多重要的知识点，使我们对高等代数的
思想有了更深入的理解，对解决复杂的数学问题的技巧有了更多的了解，使我们有了有效
的计算机软件使用技巧，以便有效地解决问题。
因此，这门是课是我学习历程中很有价值
的课程。
高等代数选讲课程标准
高等代数选讲课程标准课程目标1：本课程是专业基础课高等代数的深化和提高。
通过本课程的学习，使学生对高等代数各个知识模块之间有一个系统的理解和掌握，对该课程中的基本概念、基础知识与基本理论等进行巩固、加深、提高，使学生对所学的高等代数知识能做到触类旁通。
课程目标2:通过本课程的学习，使学生具有更好的空间想象能力，具备更强的计算能力、分析问题解决问题的能力；加强数学的证明能力，进一步培养学生应用数学知识的能力。
加强本课程所涉及的抽象思维的重要思想方法的培养，为后续研究生阶段相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的基础。
课程目标3:了解高等代数的发展历史，提升学生的数学文化素养。
初步了解高等代数在中国的发展历史，并利用老一辈代数学家的典型事迹进行恰当的课程思政教育。
了解高等代数课程在数学专业中的基础地位和作用，了解高等代数课程在其他科学（如物理学、计算机科学、经济学等）的作用和联系。
课程目标4:培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。
同时，通过课前预习、课堂启发、课后作业等方式，提升学生的数学思维能力和逻辑推理能力以及学生自主学习与职后发展的能力。
三、课程目标与毕业要求的关系八、课程目标达成度评价参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下:根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况；根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况,参考优秀专业经验，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
十一、推荐教材及参考书目1.推荐教材北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2019.2.参考书目张禾瑞,郝一新,《高等代数》（第五版），北京：高等教育出版社，2007.姚慕生吴泉水谢启鸿编著，《高等代数学》（第三版），上海：复旦大学出版社,2019年。
高等代数选讲讲义
高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月目录第一讲 带余除法 (1)第二讲 不可约多项式 (5)第三讲 互素与不可约、分解 (9)第四讲 多项式的根 (13)第五讲 典型行列式 (17)第六讲 循环行列式 (21)第七讲 特殊行列式方法 (26)第八讲 解线性方程组 (31)第九讲 分块矩阵与求秩 (36)第十讲 矩阵的分解与求逆 (40)第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系 (45)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (51)第十三讲向量的线性相关与自由度 (56)第十四讲双线性型与正定二次型 (61)第十五讲线性空间及其几何背景 (66)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (71)第十七讲线性变换的核与象 (76)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (81)第一讲 带余除法定理1（带余除法）∀f (x ), g (x )≠0 ∈P [x ]，则有f (x )=g (x )s (x )+r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2 g (x )|f (x )⇔r (x )=0(x －a )|f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。
边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。
反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。
根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。
可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。
例1 a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]|g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x ))所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x ))令 r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。
高等代数选讲复习资料
高等代数选讲复习资料 一、单项选择题1 、如果AA -1=A -1A =I ，那么矩阵A 的行列式|A |必有（ A ）。
A 、|A |≠0 B 、|A |≠1 C 、|A |=0 D 、|A |=12、设A ，B 为数域F 上的2n 阶方阵，下列等式不成立的是（ A ）。
A 、|A +B |=|A |+|B | B 、|A |=|-A | C 、|kA |=k 2n |A | D 、|AB |=|A ||B |3、A 为正交矩阵，则A =（ B ）。
A 、0B 、1C 、-1D 、24、A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ C ） （A ） CB = A -1 （B ） AC = B -1 （C ） AB = C -1 （D ） BA = C -15、设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足A 2+2A =0，则下列矩阵哪个可逆（ C ）。
A 、A B 、A -I C 、A +I D 、A -2I6、若矩阵A ，B 满足AB =I ，则（ C ）。
A 、A 不可逆或B 不可逆 B 、A 不可逆且B 不可逆C 、A 可逆且B 可逆D 、以上结论都不正确 7．设向量组123,,ααα线性无关。
124,,ααα线性相关，则（ D ）。
（A ）1α必可由234,,ααα线性表示 （B ）2α必可由134,,ααα线性表示 （C ）3α必可由123,,ααα线性表示 （D ）4α必可由123,,ααα线性表示 8．3R 中下列子集不是3R 的子空间的为（ A ）。
（A ）321231{(,,)|1}w x x x x =∈=R （B ）33123123{(,,)|}w x x x x x x =∈==R （C ）311233{(,,)|0}w x x x x =∈=R （D ）34123123{(,,)|22}w x x x x x x =∈=-R 9．下列集合中，是3R 的子空间的为（ B ），其中123(,,)x x x α'= （A ）{}10x α< （B ）{}1230x x x α-+=（C ）{}11x α=- （D ）{}1231x x x α++=10．已知矩阵A 的特征值为1,2,3-，则B A I =+的特征值为（ A ）。
高等代数选讲电子教案
an1 ⋯ ann
D ≠0。
AB
例 21．设 A, B,C, D 都是 n 阶方阵，并且 AC = CA ，试证明：
= AD − CB 。
CD
例
22．设有分块矩阵
A C
B D
，其中
A,
D
可逆。证明：
A
（1）
B = A − BD −1C D ； （2） A
B = A D − CA−1B 。
CD
CD
例 23．设 A 为 n 阶可逆矩阵，α ， β 为 n 维列向量，则
b b b ⋯ an
例 9．设 ak ≠ 0, k = 1,2,⋯, n, 计算
1 + a1 1
1⋯
1
1
2 2 + a2 2 ⋯
2
2
3
3 3 + a3 ⋯
3
3
⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯
n −1 n −1 n −1 ⋯ n −1 + an−1 n − 1
n
n
n⋯
n
n + an
例 10．计算行列式
a0 1 1 ⋯ 1 a1 0 ⋯ 1) 1 0 a2 ⋯ ⋯⋯⋯⋯
（1） A + αβ ′ = A (1+ β ′A−1α ) ；
（2） A + αβ ′ 为可逆阵 ⇔ 1+ β ′A−1α ≠ 0 。
例 24．若η 是 n 维单位列向量，即η′η =1，那么 Ε − 2η′η = −1。
A 例 25．设 AB = BA ，试证明：
−B = A2 + B2 。
BA
b2 ⋯
a2 j+1 ⋯
⋯ ⋯
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
高等代数选讲
高等代数选讲
高等代数是数学中最丰富多彩的一部分，涵盖着无穷无尽的知识，其研究成果对数学和其它科学知识的发展有着重要意义。
本文将深入探讨高等代数的各种解题方法，从而获得更多的智慧。
高等代数的选讲：
概述
高等代数，也称作抽象代数，是高等数学的学科类别之一。
它是由解决方程组的方法在数学中可到处使用，它主要涉及到数论、组合数论和代数学等分支。
高等代数主要用来描述和解决问题，比如求解一元三次方程、分析函数、分析函数逼近以及求解矩阵的特征根等。
物理意义
高等代数之于物理学的关系还是挺紧密的，比如利用代数去处理相对论有关的问题，给方程组求拓展等。
无论是量子力学、热力学还是天体运动等，都会用到部分高等数学知识。
应用
随着现代科技迅速发展，高等代数及应用逐渐渗入到我们的日常生活中，无论在金融理财、证券分析、科研、产业分析，还是单纯的数学趣味游戏等，都需要高等数学来支持。
数学思想
高等数学的学习能够开发学生的抽象思维能力，让学生从数学研究中获得真知灼见，从而获得对其他科学之外的新视野。
通过这种抽象思维，无论数学和任何其他学科的概念，都可以被视为抽象的符号和关系，这让学生有更好的理解和启发，发掘更多科学之间的联系，形成一种全新的思维方式。
结论
总之，高等代数无疑是一种十分宝贵的数学思维体系，它可以帮助学生提升几何思维、分析问题能力以及在物理研究中更好的利用代数方
法，同时，其能与现代科技紧紧相联，是满足未来发展的研究和应用趋势的重要数学工具。
高等代数选讲-第3章-线性方程组
证明 因为 u1 , u2 ,, ut 是 AX B 的解，所以
A(c1u1
Au1 c2u2
B
,Au2ct uBt ),c,1
Aut Au1
B, 于是 c2 Au2
ct
Aut
c1B c2B ct B
(c1 c2 ct )B B
即 c1u1 c2u2 ct ut 也是 AX B 的解.
且含有 4 3 1 个解，而
1 1 0
1
3
(1
2
)
( 2
3
)
1
0
0
1
1
1
即为 AX 0 的基础解系.
2
3
1
1
2
1 2
2
1 2
即为 AX
B 的特解. 1
0 1
于是该 方程组 的通解 为
2
1 2
c
0 1
（ c 为 任意常
1数）
明：1 ,2 ,,m 线性无关.
证明：设存在一组数 k1 , k2 ,, km , 使得
k11 k22 kmm
若
km
0,
则 m
k1 km
1
k2 km
2
km1 km
m
1
,
与已知矛盾，于是 km 0, 依次类推可得：
km 0, km1 0,, k2 0, k1 0
所以 1,2 ,,m 线性无关.
a3
a4
0 0 0 a1 a2 a3 a4 a5
1 0 0 0 1
0
1
0
0
1
a1 a2 a3 a4 a2 a3 a4
0 0 1 0 1
0
《高等代数选讲》教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程说明课程代码：0741123120课程类别：专业必修课学时：72学时适用专业：数学与应用数学适用对象：本科考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
二、课程概述：本课程在数学与应用数学专业按照《代数学教学大纲》（高代部分）完成教学之后的必修课。
它设想将《高等代数》中由于课时太少而未学完且实际需要的内容继续学完，以使同学的知识面更广，理论更系统，更扎实，更完备，为同学继续学习新的学科和将来作一名合格的中学教师作好理论知识的准备。
本课程的主要内容有：多元多项式与对称多项式；行列式的拉普拉斯定理和乘法定理；结式和二元高次方程组的一般解法；矩阵的广其应用举例；二次型及其标准形，正定二次型及正定矩阵；线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形介绍，最小多项式； 一矩阵及若当标准形的理论推导；子空间的正交，实对称矩阵的正交相似（合同）对角化，向量到子空间的距离和最小二乘法，酉空间介绍。
三、教学目的：通过本课程的学习，进一步加深对原有知识的理解和应用，扩大同学的知识面，培养同学在学习和工作中乐于思考问题，善于提出问题和勇于寻找解决问题的方法和创新能力，提高同学的素质，为大学后继课程的学习，为愿意考研同学的考研考试，为愿意在工作中自学提高的同学的自学，也为将来在中学教学中作一名合格的教师打下坚实的基础。
四、学时分配表五、教学基本内容：第一章多元多项式（8学时）本章将一元多项式理论推广到n元多项式，并讨论一类应用较为广泛的n 元多项式－对称多项式。
教学要求：1．掌握两个一元多项式的最小公倍式的概念，最小公倍式与最大公因式的关系，最小公倍式的求法。
2．了解n元多项式、次数、齐式等概念，运算和运算律，齐式之积仍为齐式。
掌握字典排列法和首项定理，了解齐式排列法，按某一元的元次排列法及次数定理。
福建师范大学网络教育学位考试《高等代数选讲》学习小结论文小结
《高等代数选讲》学习小结《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
刚刚开始接触到高等代数的时候，对它一无所知，仅仅听其它同学谈论过线性代数这门课程。
在学习之前，我一直认为高等代数就是线性代数。
经过学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。
高等代数是我们数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，更加注重应用。
经过课程和书本的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是高等代数的一些思想，也从中收获不少。
下面就对高等代数的学习做一个回顾和总结。
一、行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为|A|=∑(−1)τ(j1j2⋯j n)a1j1a2j2⋯a njnj1j2…j n其中，i1i2⋯i n为1,2，…，n的一个排列。
从定义，我们可以看出，行列式是F n×n到F的一个映射。
高等代数选讲心得体会
高等代数选讲心得体会篇一：高等代数研究学习心得浅谈高等代数研究的学习如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。
这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。
高等代数是数学中主干部分，其在科学技术中应用非常广泛，无处不在。
例如：二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。
由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
那什么是高等代数，它和初等代数又有什么联系呢？初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分:线性代数初步，多项式代数。
高等代数又是怎样发展起来的呢？在高等代数中，一次方程组发展成为线性代数理论;而二次以上方程发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论-代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
高等代数考研选讲
高等代数考研选讲高等代数是数学中的一个重要分支，是研究各种代数结构及其性质的学科。
在考研中，高等代数是一个必修科目，考查学生对于代数基本概念、代数系数方程组解法、矩阵理论、群论等方面的掌握情况。
为了帮助考生更好地备战高等代数考研，我们来看一下高等代数考研选讲。
一、基本概念高等代数中有许多重要的概念，例如环、域、群、子群等。
这些概念都是代数学中不可或缺的基础内容。
在考研中，考试题目中通常会涉及这些概念，并要求考生熟练掌握它们的定义及性质。
二、代数系数方程组代数系数方程组是高等代数中的一个重要内容。
在考研中，会考查学生对于代数系数方程组的求解方法和理解程度。
在解代数系数方程组时，要熟练掌握高斯消元法、克拉默法则、行列式法则等基本方法和技巧，如何利用矩阵进行方程组的求解等。
同时，也要重点掌握如何应用线性方程组求解相关实际问题的方法和技巧。
例如，利用代数系数方程组解有关电路问题、统计学问题等等。
三、矩阵理论矩阵理论是高等代数中的重要内容。
在考研中，也会考查学生对于矩阵的基本概念、矩阵的性质、矩阵的逆、特征值、特征向量等方面的掌握情况。
在解题过程中，要善于运用矩阵的基本运算规律，应用矩阵的逆矩阵来解决方程组的求解问题，使得求解过程更为简单和高效。
四、群论群论是代数学中的一个强有力的工具。
在考研中，也会考查学生对于群的基本概念、群的性质、置换群、置换群的群作用、正规子群、左陪集、右陪集、群的同态、群的同构等方面的掌握情况。
在解题中，要注意掌握和应用群论的基本概念和原理，善于构造立体几何、置换群、正规子群、同态等问题，通过群论解决多种类型的代数问题。
五、综合运用高等代数的各个部分是相互联系和影响的，考研中的题目也经常会涉及到多个知识点的综合运用。
在解题的过程中，要注意分析题目的要求和条件，灵活运用各种方法和技巧，有时需要从不同的角度出发去寻找解题思路。
总之，高等代数是考研中重要的一门基础科目，能够为后续的科学研究打下坚实的基础。
高等代数选讲数域P上的一元多项式环
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
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例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n.
例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？ 例3 求g(x)=x4 +x2 +1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
定理 任何数域都包含有理数域.
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三、一元多项式旳基本概念
设P是一种数域, x是一种符号(或称文字).
定义2 设n是一非负整数, 形式体现式
an xn an1 xn1 a1 x a0
(1)
其中 a0 , a1, , an P, 称为系数在数域P中旳一元多
c为非零常数. 2. 若f ( x) | g( x), g( x) | h( x), 则 f ( x) | h( x).
(整除旳传递性)
3. 若f ( x) | gi ( x), ui ( x) P[ x], i 1, 2, , r,则 f ( x) | [u1 ( x)g1 ( x) u2 ( x)g2 ( x) ur ( x)gr ( x)]
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二、例
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例1 设P {a b 2 | a, b Q},则P是数域,这个 数域用Q( 2)表示.
证 显然0,1 P. a b 2, c d 2 P, (a b 2) (c d 2) (a c) (b d) 2 P, (a b 2)(c d 2) (ac 2bd ) (ad bc) 2 P,
高等代数选讲智慧树知到答案章节测试2023年齐鲁师范学院
第一章测试1.是的重根的充分必要条件是，而（）A:对B:错答案:A2.如果，那么。
（）A:对B:错答案:A3.任意两个多项式不一定有最大公因式.（）A:对B:错答案:B4.以下关于多项式的结论，哪一项是不正确的（）。
A:如果，那么B:如果，那么C:如果，那么D:如果，那么，有答案:C5.如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。
（）A:对B:错答案:A第二章测试1.A:B:；C:；D:答案:D2.对于任何一个矩阵，我们都可以求行列式. （）A:对B:错答案:B3.以下哪个选项是4级偶排列．A:4123；B:1324；C:4321；D:2341．答案:C4.如果我们已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，并且它们的代数余子式依次分别为5，3，-7，4，那么D的值为A:-5B:5C:15D:-15答案:D5.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.如果是等价的向量组，那么有相同的秩。
（）A:错B:对答案:B2.A:错B:对答案:B3.任何n+1个n维向量不一定线性相关.（）A:对B:错答案:B4.A:向量组中任意个向量必定线性相关B:向量组中任意小于个向量的部分组线性无关C:向量组中任意个向量线性无关D:必定r<s答案:A5.A:对B:错答案:A第四章测试1.A:B:C:D:答案:B2.以下有关于初等矩阵的说法，正确的是（）A:所对应的行列式的值等于B:相加仍为初等方阵C:相乘仍为初等方阵D:都是可逆阵答案:D3.如果假设A、B、C都是n 阶方阵，那么下列哪个是正确的（）A:若A是非退化矩阵，从AB=AC可推出B=C；B:若BC，则必有ABACC:若A是非退化矩阵，则必有AB=BA；D:若AO，从AB=AC可推出B=C；答案:A4.以下选项中，哪个矩阵不是三阶初等矩阵（）A:B:C:D:答案:A5.A:或；B:；C:或；D:答案:C第五章测试1.若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。
《高等代数选讲》作业参考答案
《高等代数选讲》作业参考答案一．判断题1．× 2．× 3．× 4．√ 5．√ 6．× 7．√ 8．√ 9．√ 10．×11．√12．× 二．填空题1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001002000110011 2．3 3．0, 1, 2,…, n-1 4 ．(3, -2, 6) 5．(-3, -1) 6．n ,,2,1 7．)0,2,1,3(- 8．125,1λλ==- 9．n2,,2,2210．)1,27,29(-- 11．66arccos 12．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-360683036三．计算与证明1．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=3213213210101111),,(),,(x x x x x x x x x f λλλ由此矩阵的顺序主子式0>得011<<->λλ或。
2．令11,()0s s i k k βααβα=++=有则有),(),(),(11===∑∑==si i si i i k αβαβββ，由此可得0=β3．解：A 的特征多项式为：()()213335324664E A λλλλλλ---=-=-==--- 当T1=-2(2E-A)X=0=(1,1,0)λη时，的基础解系为：T2=(-1,0,1)η当T311=4(E-A)X=0=(,,1)22λλη时，的基础解系为：故令12311-121P=()=102011ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， ， 则有-1-2P AP=-24⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．证明：只要证明321,,ααα组成的矩阵行列式12-10-1301-10≠，同理可证3321,,R 为βββ 的基，过渡矩阵A 为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4/52/54/14/52/14/9472147A 5．解：基础解系为6．证明（1）τσττσστστσ+=+++=+222)( 故τσσττσστσστστστσστ=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒=+有00022从而0=στ（2）))(()(2σττσσττσσττσ-+-+=-+经整理有 =σττσ-+ 7．解：24432324322214321483)22()(),,,(x x x x x x x x x x x x x f ---++++==242444323224316)91638(3)42322()21(x x x x x x x x x x x -+++-++++ =24243243222134)34(3)22()(x x x x x x x x ++-++++ 令444334322211,34,22,x y x x y x x x y x x y =+=++=+=得242322214321343),,,(y y y y x x x x f +-+=８．证：对S 做归纳（1）S=1时，因为特征向量非零，所以1α线性无关。
《高等代数选讲》课程教学大纲(本科)
《高等代数选讲》课程教学大纲课程编号：07202课程名称：高等代数选讲英文名称：Selected Topics of Advanced Algebra课程类型：专业课课程要求：选修学时/学分：32/2（讲课学时：32；实验学时：0；上机学时：0）开课学期：7适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学授课语言：中文课程网站：无一、课程性质与任务高等代数选讲是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门学科基础课；通过本门课程的教学，提高学生对已开设的代数类课程的思想、方法、技巧等方面的认识，进一步提高学生综合运用高等代数中的各种理论解决问题的能力，以满足学生进一步深造及今后工作的需要。
二、课程与其他课程的联系先修课程：《高等代数》，《近世代数》，《矩阵分析》，《泛函分析》三、课程教学目标1．通过本课程的学习，应使学生掌握高等代数的基本理论和知识、方法等。
掌握多项式理论及利用这一理论研究一元n次方程求根问题；熟练掌握行列式理论、矩阵理论及向量空间理论, 利用这些理论解决线性方程组的解的存在性问题、数量问题、解的结构(公式解,通解,一般解) 问题；掌握解决二次型标准化的方法，解决二次型相关问题；掌握线性变换理论及线性变换或矩阵的标准形问题；理解向量空间的进一步结果即欧氏空间，以及线性空间的不变子空间分解方法等内容。
巩固并提高学生的基础知识、专业知识和研究方法，使学生了解本专业及相关领域最新动态和发展趋势，使其能够利用代数学理论解决综合性的理论或实际问题。
（支撑毕业要求指标点4.1）2．培养学生的抽象思维能力、创造思维能力和计算能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练。
使学生具有综合运用代数的理论知识对实际问题进行建模，提高学生解决实际问题的能力。
培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，鼓励学生对同一问题提出多种解决方案，培养学生勇于创新的能力。
使部分有考研意愿的学生能够从容的应付研究生的入学考试。
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深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号23120039C
课程名称高等代数选讲
课程类别综合选修
教材名称高等代数选讲
制订人郭辉
审核方楚泽
2005年4月修订
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一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1. 课程类别：综合选修课
2. 适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）
3. 开设学期：第七学期
4. 学时安排：周学时2，总学时36
5. 学时安排：2学分
（二）开设目的
本课程是大学数学类专业重要基础课程—“高等代数”的深化和提高，其主要任务是使学生获得对“高等代数”各个重要的知识点（多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等）有一个系统的理解和掌握，弄清各个重要的知识点之间的有机联系。
它一方面对提高学生的数学思维能力，开发学生智能、培养学生创造性能力等具有重要的作用；另一方面还对学生的进一步深造（如报考研究生等）、
进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术知识提供必要的准备。
（三）基本要求
在学习本课程过程中，学生应特别注意培养自己的数学思维能力与逻辑推理能力，对
基本概念、基本理论有实质性的理解，并力求弄清各个重要的知识点之间的有机联系。
（四）主要内容
包括多项式理论和线性代数理论。
线性代数理论包括行列式、线性方程组、矩阵论、
向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等。
（五）先修课程
高等代数
（六）后继课程
大学数学类本科课程以及有关研究生课程等
（七）考核方式
开卷考查
（八）使用教材
自编投影稿
（九）参考书目
1．张禾瑞, 郝鈵新．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1999年，第4版．
2．北京大学数学系编．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1988年，第2版．
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二、教学内容
第一讲多项式
教学目的
多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，它在数学本
身和实际应用中经常被用到。
通过本章的系统学习，使学生掌握多项式理论的基本
概念和研究方法，提高运算能力和逻辑推理能力，为后继内容和后继学科的学习打
下坚实的基础。
主要内容
多项式的整除性；多项式的最大公因式；多项式的分解；重因式；多项式函数，多
项式的根；复数域和实数域上的多项式；有理数域上的多项式。
教学要求
（1）理解最大公因式和互素的概念，掌握辗转相除法；
（2）理解不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理；
（3）理解重因式的概念，及其与导数的关系；
（4）理解余式定理及综合除法；
（5）理解复数域和实数域上的多项式的分解定理；
（6）掌握整系数多项式求有理根的方法及Eisenstein判别法；
（7）掌握带余除法；辗转相除法。
第二讲行列式
教学目的
行列式是研究代数学的有力工具。
通过本章的系统学习，使学生掌握行列式的性质
和计算行列式的一般方法，使学生的运算能力得到进一步的训练和提高，为后继章
节及后继内容的学习打下基础。
主要内容
行列式的展开；克拉默规则。
教学要求
（1）掌握n阶行列式的按行按列展开，能利用性质和展开计算一个n阶行列式；
（2）掌握克拉默规则。
第三讲线性方程组
教学目的
线性方程组是代数学的基础。
通过本章的系统学习，使学生掌握利用初等变换解线
性方程组的一般方法，线性方程组可解的判别法及解的结构，为后继章节及后继内
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容的学习打下基础。
主要内容
矩阵的秩，线性方程组可解的判别法；线性方程组的公式解。
教学要求
（1）了解线性方程组的公式解。
（2）理解系数矩阵、增广矩阵的概念；矩阵的秩的概念。
（3）熟练掌握矩阵的三种初等变换。
（4）熟练掌握线性方程组可解的判别法；掌握解的结构。
第四讲矩阵
教学目的
矩阵是代数学的基础，也是代数学本身的主要研究对象之一。
在数学本身和其它学
科中经常要用到它。
通过本章的系统学习，使学生掌握矩阵的一般理论和研究方法，
为后继内容和后继学科的学习打下坚实的基础。
主要内容
矩阵的运算；可逆矩阵，矩阵乘积的行列式；矩阵的分块。
教学要求
（1）熟练掌握矩阵的各种运算；
（2）掌握可逆矩阵的概念；掌握矩阵可逆的若干等价定理；
（3）熟练掌握求逆矩阵的两种方法。
第五讲向量空间
教学目的
向量空间是代数学的基础概念，其理论和方法已渗透到自然科学、工程技术的各个
领域。
通过本章的系统学习，使学生掌握向量空间的基本概念，研究向量空间的一
般方法，向量空间在研究齐次线性方程组中的重要作用。
同时使学生的抽象思维能
力得到训练和提高，为后继章节及后继内容的学习打下基础。
主要内容
子空间；向量的线性相关性；基和维数；坐标；向量空间的同构；齐次线性方程组
的解空间。
教学要求
（1）理解线性相关的概念；能判断一组向量的线性相关性；
（2）熟练掌握基、维数和坐标这三个概念；掌握过渡矩阵的概念。
（3）掌握齐次线性方程组的解的结构。
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第六讲线性变换
教学目的
线性变换是线性代数的主要内容之一。
引入线性变换关于基的矩阵，使抽象变为具
体；引入特征值和特征向量，研究矩阵对角化问题，使复杂变为简单。
通过本章的
系统学习，使学生掌握线性变换的基本概念，研究线性变换的一般方法，同时提高
抽象思维能力和创新思维能力，培养解决问题的能力。
主要内容
线性变换的运算；线性变换和矩阵；不变子空间；本征值和本征向量；可以对角化
的矩阵。
教学要求
（1）理解和掌握线性变换和矩阵的一一对应关系；
（2）理解不变子空间的概念；
（3）掌握本征值和本征向量的概念；
（4）掌握矩阵的相似关系；
（5）能熟练计算线性变换(或矩阵)的本征值和本征向量；
（6）理解和掌握矩阵可以对角化的充要条件；并将其对角化。
第七讲欧氏空间
教学目的
欧氏空间是特殊的向量空间，它的理论和方法在数学、物理和工程技术上都有重要
的应用。
通过内积的引入，使向量空间“度量”化，进一步系统研究欧氏空间的两大
变换----正交变换和对称变换，为后继学科及后继内容的学习打下基础。
同时提高学
生的抽象思维能力，培养解决问题的能力。
主要内容
向量的内积；正交基；正交变换；对称变换和对称矩阵。
教学要求
（1）理解内积和欧氏空间的概念；
（2）掌握规范正交基的概念；熟练掌握施密特正交化方法；
（3）掌握正交变换与正交矩阵的对应关系；
（4）掌握对称变换与对称矩阵的对应关系；
（5）能熟练地将一个对称变换（或对称矩阵）进行对角化。
第八讲二次型
教学目的
二次型也是线性代数的主要研究对象之一，二次型的理论在数学和自然科学的许多
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分支中都有广泛的应用。
通过本章的系统学习，使学生掌握二次型的基本概念，二
次型的各种类型，研究二次型的一般方法，同时提高抽象思维能力，培养解决问题
的能力。
主要内容
二次型和对称矩阵；复数域和实数域上的二次型；正定二次型；主轴问题。
教学要求
（1）理解二次型和对称矩阵的对应关系、二次型的秩的概念；
（2）理解矩阵的合同关系；能将一个二次型进行合同变换；
（3）理解惯性定理；
（4）掌握正定二次型和正定矩阵的概念；
（5）掌握二次型（或对称矩阵）正定的充要条件和判别法；
（6）能熟练地利用正交化方法将一个二次型（或对称矩阵）化为标准型。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章（讲）教学目的、教学要求、主要内容。
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三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为36学时，安排在第七学期，每周2学时，上课18周。
具体分配如下
第一讲多项式5学时
第二讲行列式3学时
第三讲线性方程组4学时
第四讲矩阵5学时
第五讲向量空间5学时
第六讲线性变换5学时
第七讲欧氏空间5学时
第八讲二次型4学时
（二）考核要求
1. 成绩评价
平时成绩（含考勤、课堂表现、作业）占30%，期末（卷面）成绩占70%。
2. 命题说明
题型应多样化，设计适当的开放性问题。
计算题(主要考查学生对高等代数基本方法的
具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对高等代数基本理论、基本方法的综合运用能
力)的比例约为1/3。
难、易题的比例约为35％难、65％适中。
涉及课堂内容的100％。
试卷采用A、B卷。
注：必须写明各学期教学的总时数及各章（讲）学时数。
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