黑龙江省讷河市中考数学总复习：二次函数

2021年黑龙江省讷河市中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）

1．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（）

A．﹣1≤t＜15B．3≤t＜15C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜15

【解答】解：∵对称轴为x＝1，

∴x=−b

2

=1，

∴b＝﹣2，

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x，

∴其顶点坐标为（1，﹣1）．

当x＝﹣3时，y＝9+6＝15，

x＝3时，y＝9﹣6＝3．

∵x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标，

∴当﹣1≤t＜15时，一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解．故选：A．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c 交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④

【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，

∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点B 位于（4，0）、（5，0）之间， ∴抛物线与x 轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，

即当x ＝﹣1时，y ＜0，也就是a ﹣b +c ＜0，因此②正确；

∵对称轴为x ＝2，

∴x ＝2时的函数值大于或等于x ＝m 时函数值，即，当x ＝2时，函数值最大，

∴am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，

即，m （am +b ）≤4a +2b ，因此③不正确；

∵直线y ＝﹣x +c 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于C 、D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5， ∴x ＝5时，一次函数值比二次函数值大，

即25a +5b +c ＜﹣5+c ，

而b ＝﹣4a ，

∴25a ﹣20a ＜﹣5，解得a ＜﹣1，因此④正确；

综上所述，正确的结论有①②④，

故选：C ．

3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （12，0），与y 轴的交点B 在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =32

．则下列结论：①x ＞3时，y ＜0；②4a +b ＜0；③−45＜a ＜0；④4ac +b 2＜4a ．其中正确的是（ ）

A ．②③④

B ．①②③

C ．①③④

D ．①②④

【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a ＜0，

∵对称轴为直线x =32，

∴x ＝0与x ＝3所对应的函数值相同，

∵当x ＝0时y ＜0，

∴x ＝3时y ＜0，

∴x ＞3时，y ＜0，

∴①正确；

∵x =32=−b 2a

， ∴b ＝﹣3a ，

∴4a +b ＝4a ﹣3a ＝a ＜0，

∴②正确；

∵抛物线经过点A （12，0）， ∴14

a +12

b +

c ＝0， ∴c =54a ，

∵B 在（0，0）和（0，﹣1）之间，

∴﹣1＜c ＜0，

∴﹣1＜54a ＜0，

∴−45＜a ＜0，

∴③正确；

4ac +b 2﹣4a ＝4a ×54a +（﹣3a ）2﹣4a ＝5a 2+9a 2﹣4a ＝14a 2﹣4a ＝2a （7a ﹣2），

∵a ＜0，

∴2a （7a ﹣2）＞0，

∴4ac +b 2﹣4a ＞0，

∴④不正确；

故选：B ．

4．如图所示的是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，其对称轴是x ＝﹣1，且过

点（﹣3，0），则下列选项中错误的是（ ）

A ．2a ﹣b ＝0

B ．a +b +c ＝0

C ．abc ＞0

D ．b 2≥4ac