最后冲刺系列解析几何专题系列二解析几何中的定点定值问题

解析几何专题系列二：解析几何中的定点、定值问题

[考情分析 把握方向]

解析几何中的定值、定点、定直线问题是近几年高考命题的热点,这类问题也是高考题中的一大难点。此类问题动中有定，定中有动，并且常与轨迹问题、曲线系问题等问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识。考察数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。 高考年份 填空题

解答题

附加题

2010年 第9题 点到直线的距离为定值 第18题 证明直线过定点 2011年 第18题 证明直线垂直 2012年

第19题 证明定值问题

[备考策略 提升信心]

高考中重点关注以下几方面的问题：

1．直线方程、圆的方程、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系，重点是直线与圆的位置关系； 2．圆锥曲线的标准方程和几何性质，特别是椭圆的标准方程及几何性质，同时注意它们的图形特征； 3．轨迹问题求解的常用方法；数形结合思想以及函数与方程思想的应用； 4．求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高，考查趋于方程的变形运算。 [小题训练 激活思维]

1.已知椭圆2222:1x y E a b

+=(0)a b >>过定点(1,1)P ，圆22

:1C x y +=，直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，

且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r

，则直线l 与圆C 的位置关系是 。相切

2．若双曲线12

2=-y x 的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值是

。

12

3．已知O 为坐标原点，定点(1,0)A ，动点M 是直线:2l x =上的点，过点A 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为 。

4.已知椭圆22

22:1x y E a b +=(0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点M 在右准线l 上运动，记直线

FM OM AM ,,的斜率分别为321,,k k k ，若椭圆E 的离心率为2

1

，则=+231k k k

5.已知直线032:=++-a y ax l 及点)4,3(P .当点P 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程是 .

变式1：0)()2(:=-++++b a y b a x b a l 变式2：032)2()3(:2

2

=-++++a a y a x a l

[核心问题 聚焦突破]

已知椭圆2222:1x y C a b +=经过点，离心率为1

2

，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与椭圆交于,A B 两

点，点,,A F B 在直线4x =上的射影依次为点,,D K E 。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l 交y 轴于点M ，且MA AF λ=u u u r u u u r ，MB BF μ=u u u r u u u r

，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+的值

是否为定值？若是，求出λμ+的值；否则，说明理由；

（3）连接AE ，BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，说明理由。

变式训练：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点为21,F F ，点P 为椭

圆上的动点，弦PB PA ,分别过点21,F F ，设B F PF A F PF 222111,λλ==，求证：21λλ+为定值.

[变式拓展 分类解密] 考点1：定值问题

例1：已知点M 是椭圆22

22:1x y E a b

+=(0)a b >>的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂

直的直线交椭圆E 于,A C 两点，点A 关于x 轴的对称点为B ，设直线BC 交x 轴于点N ，试判断

OM ON ⋅u u u u r u u u r

是否为定值？并证明你的结论。

y

x

N

M

B

A

O

变式训练1：如图，已知椭圆C ：2

214

x y +=，A 、B 是四条直线2,1x y =±=±所围成的两个顶点.（1）设P 是椭圆C 上任意一点，若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r

，求证：动点Q （ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的

方程；（2）若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求OMN ∆的面积是否为定值，说明理由。

⑴易求(21)A ，,(21)B -，. ………2分

设00()P x y ，,则22

0014x y +=.由OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ,得00

2()x m n y m n =-⎧⎨

=+⎩, 所以224()()14m n m n -++=,即22

12m n +=

.故点()Q m n ，在定圆221

2

x y +=上. …8分

⑵设11()M x y ，，22()N x y ，,则12121

4

y y x x =-.

平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,即22124x x +=. …10分 因为直线MN 的方程为21211221()()0x x x y y y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN 的距离为12212

2

2121||()()

x y x y d x x y y -=

-+-, …12分

所以OMN △的面积2222122112211212111

||2222

S MN d x y x y x y x y x x y y ==-=+-g

=2222

2221121211(1)(1)2442x x x x x x -+-+=2212112

x x +=. 故OMN △的面积为定值1. …16分

变式训练2：已知椭圆134:22=+y x C ，直线m x y l +=2:与椭圆C 交于B A ,两点，点)2

3,1(P ，（1）求弦AB 中点M 的轨迹方程；（2）设直线PB PA ,斜率分别为21,k k ，求证：21k k +为定值.

考点2：直线过定点问题

例2：已知椭圆14

:22

=+y x C ，过点)0,1(T 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，A 关于x 轴的对称点为A '，问直线B A '是否经过x 轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；不是，说明理由.