最新6第六章曲线与曲面
图形学第6章曲线曲面
P(0) 2 2 1 P(1) 3 3 2 p(0) 0 0 1 p' (1) 1 0 0
1 P(0) P(1) 1 M h Gh 0 p(0) 0 p' (1)
x(t ) p(t ) y (t ) t n z (t )
a n t 1 a1 a0
cn T C b1 c1 b0 c0 bn
t [0,1]
将边界条件带入该矩阵方程，得
C Ms G
Q(0) P(1)
几何连续性
0阶几何连续性：与0阶参数连续性相同.是指曲线的几何位 置连接，即
p(1) Q(0)
1阶几何连续性：是指一阶导数在相邻段的交点处成比例， 则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
p (1) Q(0)
2阶几何连续性：是指在相邻段的交点处一阶、二阶导数均 成比例，则相邻曲线段在交点处曲率相等。
要设置足够的边界条件来得到所有系数的值。
描述参数曲线的边界条件有： 端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三次参数曲线， 用其端点矢量P(0),P(1).端点切线矢量
则三次Hermite样条曲线：
p (0), p(1)
p(t ) [t 3 t 2
ax b x t 1] cx d x
a y az a b b y bz 3 2 [t t t 1] T C c y cz c dy dz d
对上式求导，得
p(t ) [3 t 2 2t a b 1 0] c d
将边界条件代入，得
[建筑制图官方课件] 曲线和曲面
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第六章曲线和曲面§6-1曲线§6-2曲面的形成§6-3回转面§6-4非回转直纹曲面§6-5平螺旋面曲线的投影特性曲线由点运动而形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。
凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。
凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。
⒈曲线的割线和切线与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。
如图所示，割线CD与曲线AB相交于K、G两点。
进行投射时，割线的投影cd必与曲线的投影ab 交于K、G 两点的投影k和g。
当割线CD 绕其中一交点K转动并始终与曲线AB接触时，另一交点G 便沿着曲线经G１逐渐接近点K，最后与点K重合。
此时割线CD 变为切线EF，与曲线AB相切于点K。
它们的投影也从割线cd变为切线ef，与ab 相切于点k。
⒉曲线的交点和重影点曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在某一点处相交，其投影也在该交点的投影处相交。
圆柱螺旋线当一个动点M 沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线O 等速旋转，动点的轨迹是一根圆柱螺旋线。
直线旋转时形成一个圆柱面，圆柱螺旋线是该圆柱面上的一根空间曲线。
当直线旋转一周，回到原来位置时，动点M 移到位置M 1，在该直线上移动的距离MM 1，称为螺旋线的导程，以Ph 标记。
只要给出圆柱的直径Φ 、螺旋线的导程Ph 以及动点移动的方向，就能确定该圆柱螺旋线的形状。
M ●M 1●导程圆柱螺旋线OO§6-2曲面的形成圆柱面的形成圆锥面的形成球面的形成曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
由于母线的不同，或者约束条件的不同，形成不同的曲面。
只要给出曲面的母线和母线运动的约束条件，就可以确定该曲面。
§6-3 回转面某由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的曲面，称为回转面。
圆柱面例【教材例6-2】给出圆柱面上点A 的V 投影a′，求作它的其余两投影。
曲线与曲面
圆锥表面取点
方法一：素线法。 方法一：素线法。 方法二：纬圆法。 方法二：纬圆法。
a' 1'
a"
a 1
球体的投影分析
球体的三个投影为直 径相等并等于球体直 径的圆。但这三个圆 并不是球体上同一个 圆周的投影。
纬圆法
球体表面上取点
PV (c' ) a' b' c" a" b"
c a (b )
圆环的投影分析
有导线导面的直纹曲面
直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形 成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时， 又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲 面叫做有导线导面的直纹曲面。 直导线
导平面
曲导线
3.2 曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
第三章 曲线与曲面
3.1 曲线与曲面 3.2曲面立体的投影 曲面立体的投影 3.3平面截割平面体 平面截割平面体 3.4直线与曲面立体相交 直线与曲面立体相交 3.5平面体与曲面体相交 平面体与曲面体相交 3.6两曲面体相交 两曲面体相交
3.1 曲线与曲面
（一）曲线
曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲 抛物线等）。 线、抛物线等）。
解题步骤： 1、进行线面分 析，判断截交 线的形状和特 点。 2、作特殊位置 点的投影。 3、作一般位置 点的投影。 4、画截交线。 5、整理轮廓。
第六章 曲线曲面投影方法
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
第六节 曲面与曲线(xrc)
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上
以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中、v 都
是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋 线．试建立其参数方程．
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
2、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
如何将曲线
化为参数方程？
的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
(*)
(1) 先从一般方程(*)中消去某个变量，比如z， 得方程H(x,y)=0，写出该方程在xOy面的参数方程 x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某 个方程解出z=z(t)，最后在确定t的变化区间，就得 到了曲线的参数方程.
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去x 得投影
y2 z2 2y z
第六章 曲线与曲面(11版)概要
7－34
40
第六章 曲线与曲面
§ 6-3 回转面
7－35
41
第六章 曲线与曲面
§ 6-3 回转面
7－38
42
第六章 曲线与曲面
§ 6-3 回转面
7－37
43
第六章 曲线与曲面
§ 6-3 回转面
四、环 面 （一）环面的投影 由圆母线外半圆绕轴旋转形成的回转面称为外环面；内半 圆绕轴旋转形成的回转面称为内环面。 在正面投影中，左、右两圆和与该两圆相切的两段直线是圆 环面正视转向线的投影，其中两圆是圆环面上最左、最右两 素线圆的投影，粗实线半圆在外环面上，虚线半圆在内环面 上（该半圆被前一半外环面挡住，故画成虚线），上、下两 段直线是内、外环面上下两条分界圆的投影。
10-3
5
第六章 曲线与曲面
§ 6-1 曲线
平面曲线投影的特性 ： 1.平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则在该投影面的投影， 反映曲线的实形。 2.平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则在该投影面的投影， 积聚成一直线。 3.平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质，即曲线的拐点、尖点 及两重点的投影后仍为曲线投影的拐点、尖点及两重点。
4. 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一般性质不变，即抛物 线的投影为抛物线、双曲线的投影为双曲线、椭圆的投影为椭圆等。
6
第六章 曲线与曲面
§ 6-1 曲线
7
第六章 曲线与曲面
§ 6-1 曲线
二、圆的投影 1. 倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆。 2. 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径，投影成椭圆上的一 对共轭直径 3. 倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中有一条直径为投影 面平行线时，则它们在该投影面的投影为椭圆的长、短轴。
第六章曲线和曲面-资料.ppt
2）三要素：直径
导程
旋向
右旋
左旋
圆柱螺旋线的画法
2、圆锥螺旋线画法
6.2曲面概述
一、曲面的形成和分类 1、形成：曲面可以看作为动线（直线或曲线）在一定的约束 条件下运动的轨迹。动线称为母线；其在任一位置称为素线。 约束母线运动的线或面，分别称为导线或导面。
2、分类 据母线是直线还是曲线：直纹面、曲线面； 据母线运动是否回转轴：回转面、非回转面；
① 平面曲线：曲线上所有点都在同一平面内。如： 圆、椭圆，抛物线等；
② 空间曲线：连续四点不在同一平面上的曲线。如： 圆柱螺旋线、两曲面体相贯线等；
为了能准确地画出曲线的投影，一般应把曲线上特 殊点的投影作出，以控制曲线投影的形状和范围。
特殊点：
① 本身上的特殊点：反曲点 、反折点；（控制形 状）
② 对投影面特殊点：最前、后、上、下、左、右点； （控制范围）
则点的投影在该线上
纬圆法 例 6-1
素线法 例 6-2
例 7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另
外两面投影
例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面
投影
圆锥台
斜置圆锥台的投影图
三、圆球
空间分析
投影图： 画轴线 画转向线
圆球投影图分析
正面转向线A 侧面转向线B 水平面转向线C
面
形
成
规
律
母线:圆或圆弧 轴线:圆的直径
母线:圆或圆弧 轴线:不经过圆心而
与之同平面的 直线
一、圆柱
空间分析
作图步骤： 画轴线 画底面和顶面的投影 画转向线
正面转向线 侧面转向线
圆柱投影图分析
底面——水平面 顶面——水平面 圆柱面
《曲面与曲线》课件
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更 深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁 、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带 来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如 受力、稳定性等。通过合理的曲面设计 ，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果， 如流动的空间、丰富的光影效果等。曲 面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为 人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定 。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等 。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等 。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球 心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲 。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个 参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染
第六章 曲线与曲面
曲线的起点和终点值：
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
结论：
对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线，曲线的起点位于头两个控制点之间，终点位于最后两个控制点之间；
对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。
目的：解决Bezier曲线的不足（1972年，Gordon,Riesenfeld扩展Bezier曲线）；
1)控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次,n较大时特征多边形对曲线的控制减弱;
2)调和函数在整个区间内均不为零→不能作局部修改；
方法：用B样条函数代替Bernstein函数，从而：
1）改进了Bezier特征多边形与Bernstein多项式次数相关的问题；
参数曲线的分割：参数曲线被分割成具有任意长度的n条新的参数曲线，求第i条曲线的几何系数；参数曲线被等分成n段曲线，即参数变量的间隔相等；
参数曲线的复合：把几条参数曲线段连接在一起，形成一条复合的参数曲线；构造新曲线的几何系数B
有理参数多项式曲线
目的：为更方便地控制曲线的形状；
原理：基于齐次坐标的概念，产生了用有理参数多项式构造曲线、曲面；
非有理B样条、有理及非有理Bezier曲线、曲面是NURBS的特例；
NURBS存在问题：
比一般的曲线、曲面定义方法更费存储空间和处理时间；
权因子选择不当会造成形状畸变；
对搭接、重叠形状的处理相当麻烦；
象点的映射这类算法在NURBS情况下会变得不稳定。
4、常用参数曲线的等价表示
Hermite，Bezier，B样条三种非有理参数表示式的相互转换
第六章曲线与曲面
⎰∑====-∞→∞→tni i i n n dt dtt dP P P n L c 011)(lim )(lim Tdtdcdt dp dt dp dt dc dtdpdtdp T dc dp c T dtdp dtdpdt dp ift dcdpT c P dc dp c P t P c P t C r dt dpt r if P t P t t P P c ⋅=⇒===±==⇒≠→=∆∆=→∆=∆⇒→∆⇒⇒→∆⇒=∆-∆+=∆→∆对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长，:10:1lim )()(C 00)()(0曲线过于平坦如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：⇒⇒n dtdpdc dp)()()()(0)()(0c P P t P P t c c t t c c dtt dP dt dc dt dt t dP c t==⇒=⇒=⇒>=⇒=⎰可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数第六章 曲线与曲面一、 曲线、曲面参数表示的基础知识1、 参数曲线的概念：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的转变率；弧长：对正那么曲线P （t ）参数从0到T 的弧长；k dc z d dc y d dcx d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T TT T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222222''22'212100021210212121212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⇒==⇒===⋅∆∆=∆∆=∴=⋅∆∆=∆⋅∆=∆∆⇒=∆=∆⋂→∆→∆→∆⋂→∆⋂⋂ρϕϕϕϕϕ曲率半径：又又： 为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N1KN N N T :⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⋅⇒⇒⇒KN K KN dc dT dc dT dcdTdc dT T ρ⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒⨯=⨯=⨯=⇒⇒⋅=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN RT B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,§曲率：曲线的弯曲转变率；§法矢量,,R C R B 0意点处的挠率等于的充要条件：曲线上任定理：曲线的平面曲线平均挠率为弧长处密切平面的夹角为参数邻域内取曲线上点，点的弧参数设曲线挠率反映曲线的钮挠性质不是常数非平面曲线副法矢量不变平面密切平面就是曲线所在平面曲线=∆∆⇒⎭⎬⎫∆∆∆+⇒⇒⇒=⇒⇒⇒c RQ c Q R C C Q dcdBdcdBθθ设给定函数f(x)在两个点的值：y1=f(x1),y2=f(x2); 要求：线性函数b ax x y +==)(ϕ近似代替)(x f y =；如选择a, b ，使2211)(,)(y x y x ==ϕϕ则)(x ϕ为f(x)的线性插值函数两点式点斜式21211212112121)()(y x x x x y x x x x x x x x y y y x --+--=---+=ϕ§挠率2、 插值、逼近、拟合与光顺 -函数逼近的重要方式； 函数逼近问题与插值问题； 插值函数；经常使用方式：线性插值，抛物线插值 线性插值：抛物线插值（二次插值）：§设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3;§要求：构造函数c bx ax x ++=2)(ϕ使该函数在节点Xi 处与f(x)在该点处的值相等；§逼近：-插值的问题？§型值点太多时→构造插值函数困难； §型值点多→误差大；-解决：选择低阶函数,在某种意义上逼近型值点→最正确逼近 §经常使用方式：最小二乘法-最小二乘法：逼近的成效由各点误差的平方和最小或加权的方差最小；§光顺：拐点不要太多-曲线的拐点太多→视觉效果差； -平面曲线的相对光顺条件： §1）具有二阶几何连续； §2）不存在多余拐点和奇异点； §3）曲率变化较小； 例：平面上的三次参数曲线段： 10332210332210≤≤+++=+++=t tb t b t b b y t a t a t a a x§相应拐点方程： ),,(),,(),,(,022*******b b b a a a r q p r qt pt ⨯==+-，式中§若p ≠0，则可以构造表达式：p r p q I /2)/(2-=§拟合：曲线、曲面的设计进程中，用插值或逼近方式是生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
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c'
g"
a'
e"
G
C
a' e'(g') c'
g" a"(c") e"
d' A E h"
b'
HD
f"
BF
b'
d' h"
f"
f'(h')
b"(d")
g(h)
a(b)
c(d)
(a) 立体图
e(f)
(b) 投影图
5. 圆柱面上点的投影
b'
b"
B
a'
a"
A
c'
c"
C
b(a)(c)
(a) 圆柱面上的一点
b(a)(c)
1．螺旋线的形成
2. 螺旋线的画法
3. 螺旋线的展开
Ph
6
60
30
0
12 9
90
§6.2 曲面的形成
一、常见曲面的形成 二、曲面的形成的另一些方法
一、常见曲面的形成
母线
轴 底面
素线
素线
圆柱面
轴 母线
母线 圆锥面
轴 球心
圆柱
底面
圆锥
球
二、曲面的形成的另一些方法
§6.3 回转面
一、回转面的形成 二、圆柱面 三、圆锥面 四、圆球面 五、圆环面 六、双曲回转面
6第六章曲线与曲面
§6.1 曲线
一、曲线的投影特性 二、圆的投影 三、圆柱螺旋线
2. 作圆的两面投影
c1
41
a1
31
o1
11
4'(3')
b1 21
d1
1' (2')
b
3Hale Waihona Puke 2y1cd
R
y2 y2
y1
4
1 a
三、圆柱螺旋线
1. 圆柱螺旋线的形成 2. 圆柱螺旋线的画法 3. 螺旋线的展开
一、回转面的形成
主子午线
轴线
母线 （子午线）
赤道圆
喉圆 纬圆
二、圆柱面
1. 圆柱面的形成 2. 圆柱的投影 3. 圆柱投影的画法 4. 圆柱的投影分析 5. 圆柱面上点的投影 6. 圆柱面上线段的投影 7. 圆柱面的应用实例
1. 圆柱面的形成
2. 圆柱的投影
3. 圆柱体投影的画法
4. 圆柱体的投影分析
(b) 投影图
6. 圆柱面上线段的投影
c' 2'
a' 1'
b'
a'' 1'' c''
2'' b''
(b)
2 c
a 1
7. 圆柱面的应用实例
（1）广东珠海体育馆 （2）广东肇庆星湖大酒店 （3）由圆柱面组成的屋面
（1）广东珠海体育馆
（2）广东肇庆星湖大酒店
（3）圆柱面组成的屋面
结束语
谢谢大家聆听！！！