高中数学：算法的概念

第一步: 先假定这些实数中的第一个数为“最大值”。
第二步: 将这些实数中的下一个数与“最大值”比较,如果 它大于此“最大值”,这时就假定“最大值”是这 个实数。
第三步: 如果还有其他实数,重复第二步。
第四步: 一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就 是这有限个实数的最大值。
你会了吗？
写出求1+2+3+
第三步:重复第二步的报数方法取中间 数,直至得到正确结果.
什么是算法呢？
1、 6 5(4 2)
先去括号 再乘除 后加减
2、两个大人和两名儿 童一起渡河,渡口只有
什么是算法呢？
一条小船,一次只能渡 过一个大人或两名儿童,
他们四人都会划船,但 都不会游泳。请你帮他 们设计一个渡河方案。
第一步：两个小孩同船渡过河去；
2.算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任 意一个二元一次方程组),并且能重复使用; (2) 算法过程要能一步一步执行,每一步执行的 操作,必须确切,不能含混不清,而且在有限步之 内完成后能得出结果.
3.算法的基本特征: ➢明确性:算法对每一个步骤都有确切的,能有 效执行且得到确定结果的,不能模棱两可。
a1xb1yc1 a2xb2 yc2
① ②
(a1b2 a2b1 0)
写出解第二个方程组的算法：
第一步： ①× a2 － ②× a1 得
(a2b1 a1b2 ) y a2c1 a1c2 ③
第二步： 解③,得 y a2c1 a1c2 ④ a2b1 a1b2
第三步： 将④带入①得 x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
y a2c1 a1c2 a2b1 a1b2
第一步: 取 a1 3, b1 2, c1 3
a2 2, b2 1, c2 4
第二步：计算 x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
y a2c1 a1c2 a2b1 a1b2
第三步：给出运算结 果。
按照这样的理解,我们可以设计出很多具 体数学问题的算法.下面看几个例子:
写一写
写出 解方程组 3x2 y3 ① 的步骤 2x y4 ②
第一步：（消元）
①+②×2,得 7x ③11
第二步：（解一元一次方程）
解③得 x 11 7
第三步：（带入求解）
将 x 代11入①,得 y 6
7
7
变一变
3x2 y3 2x y4
课堂小结
3.设计算法的注意事项:
(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学 方法; (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况; (3)借助有关的变量或参数对算法加以表达; (4)将解决问题的过程划分为若干个步骤; (5)然后用简练的语言将各个步骤表示出来.
思考
现有有限个实数,怎样从中找出最大值？
评析:实际上,上述步骤就是在求 2 的近似值.
课堂练习
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个 数为半径的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数r；
第二步:计算圆的面积: S=πr2; 第三步:输出圆的面积S.
2.你要乘火车去外地办一件急事,请你写出从 自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法.
+100的一个算法
算法1： 第一步：将原式变形为 (1+100)+(2+99)+
第二步：计算101×50； 第三步：写出运算结果
+(50+51)；
算法2：第一步：取n=100； 第二步：计算 n(n 1)
2
第三步：写出运算结果
第一步：把9枚金币平均分成三组,每组三枚。
第二步： 先将其中的两组放在天平的两边,如果天平不 平衡,那么假金币就在轻的那一组；如果天平 左右平衡,则假金币就在未称量的那一组里。
第三步： 取出含假币的那一组,从中任取两枚金币放在 天平两边进行称量,如果天平不平衡,则假金币 在轻的那一边；若平衡,则未称的那一枚就是 假币。
例2.用二分法设计一个求方程 x2-2=0 的近似根 的算法.
算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所 求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005, 则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2-2,因为f(1)<0,f(2)>0,所以
设a=1,b=2.
第二步：令m=
ab 2
,
判断f(m)是否为0.若是,则
问题2 下面的步骤表述明确吗？
一：两腿并拢,挺胸抬头 二：左手托起女方右手,右手放在女
方腰部 三：先迈前腿 四：再迈后腿
…
问题3 你对以下的“算法”如何理解？
问： 要wk.baidu.com大象装冰箱,分几步？ 答：分三步：
第一步：打开冰箱门 第二步：把大象装冰箱 第三步：关上冰箱门
问题4
一位商人有9枚金币,其中有一枚 略轻的假币,你能用天平（无砝码）将 假币找出来吗？写出解决这一问题的 算法。
➢有限性:算法应由有限步组成,至少对某些输入 ,算法应在有限多步内结束,并给出计算结果．
➢有效性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的 步骤,每一步都只能有一个确定的继任者,只有执 行完前一步才能进入到后一步,并且每一步都确定 无误后,才能解决问题。
➢不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一 的,对于同一个问题可以有不同的解法
①
② (a1b2 a2b1 0)
a 第一步： ①× a2 － ②× 1 得
(a2b1 a1b2 ) y a2c1 a1c2 ③
第二步： 解③,得
y a2c④1 a1c2 a2b1 a1b2
第三步： 将④带入①得
x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
解方程组 3x2 y3 ① 2x y4 ②
问题1 这 两个解方程组算法
的适用范围有何不同？
---------------------------------------------------
3x2 y3 ① 2x y4 ②
第一步：
①+②×2,得 7x 11 ③
第二步：
解③得 x 11 7
第三步：
将 x 1代1入①,得 7
y6 7
a1xb1yc1 a2 xb2 yc2
课堂小结
1.知识结构
算法的概念
算法
算法的步骤
算法的特点
2.算法的特点:思路简单清晰,叙述复杂,步骤繁
琐,计算量大,完全依靠人力难以完成.而这些恰 恰就是计算机的特长,它能不厌其烦地完成枯燥 的、重复的繁琐的工作. 正因为这些,现代算法 的作用之一就是使计算机代替人完成某些工作, 这也是我们学习算法的重要原因之一.
例题讲解
例1.任意给定一个大于1的整数n,试设计一个 程序或步骤对n是否为质数做出判定. 第一步：判断n是否等于2.若n=2,则n是质数； 若n>2,则执行第二步.
第二步:依次从2～（n－1）检验是不是n的因
数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数； 若没有这样的数,则n是质数.
评析:这是判断一个大于1的整数n是否为质 数的最基本算法.
第一步:去车站；
第二步:买车票; 第三步:凭票上车对号入座.
3.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数. (P4 练习2)
第一步：依次以2~(n-1)为除数去除n,检 查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不 是,则不是n的因数.
第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
问题5
有人对歌德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能 写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：
第一步：检验6=3+3 第二步：检验8=3+5 第三步：检验10=5+5
。 。
利用。 计算机无穷地进行下去！
请问,利用这种程序能够证明猜想的正确性吗？ 这是一种算法吗？
1.算法定义的理解
在数学中,现代意义上的 “算法”通常是 指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的, 而且能够在有限步之内完成.
在中央电视台幸运52节目中,有一个猜商品 价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出 某种商品的价格,就可获得该件商品.现有一商品, 价格在0-8000元之间,采取怎样的策略才能在短 的时间内说出正确(大体上)的答案呢?
第一步:报“4000”；
第二步:若主持人说高了(说明答案 在 0~4000 之 间 ), 就 报 “ 2000”, 否 则 (答数在4000~8000之间)报“6000”；
一般地, 按照一定规则解决某一类问题的 明确和有限的步骤称为算法(algorithm)。
它是解决某一类问题的程序或步骤.
所谓 “算法”就是解题方法的精确描述. 从更广义的角度来看,并不是只有“计算”的 问题才有算法,日常生活中处处都有.如乐谱是 乐队演奏的算法,菜谱是做菜肴的算法,珠算口 诀是使用算盘的算法.
第二步：一个小孩划船回来； 第三步：一个大人独自划船渡过河去； 第四步：对岸的小孩划船回来； 第五步：两个小孩再同船渡过河去；
第六步：一个小孩划船回来；
第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去； 第八步：对岸的小孩划船回来； 第九步：两个小孩再同船渡过河去。
什么是算法呢？
简单地说,算法就是解决问 题的程序或步骤。
m为所求；若否,则继续判断f(a)·f(m)大于0还
是小于0.
第三步：若f(a)·f(m) >0,则令a=m；否则,令 b=m.
第四步:判断 |a-b|<0.005是否成立？若是,则a或 b(或任意值)为满足条件的近似根；若否,则返 回第二步.
于是开区间中的实数都是满足假设条件的 原方程的近似根.