7、矩阵与解方程

p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。
poly2str(p,’x’) 得到多项式的习惯形式
例1 ans
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’)
p=[1 -5 6] x^2-5x+6
1、逆矩阵法（求逆法）
线
性 解： Matlab命令为
方
程
B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8];
组
rref(B)
ans=
1 0 3/10 0
解
0 1 -11/10 0
线
性
00
0
1
方
程
组 结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于
非零的情况，故方程组无解。
利用矩阵的LU分解求方程组的解 ，这种分解，在求解大型方 程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节 省内存。
LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为 下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的 乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。 命令 [L，U]=lu (A)
[L，U]=lu (A); X=U\(L\b)
取 x3 0

x
4

4
得

x1 x2

0 1
基础解系为
4
1

0

1


3

0
2


1

0
，

4

所以方程的通解为
解
x1 4 0
线 性 方

x2 x3 x4

例1： 求方程组的解
2x 3y 4
解

x

y

1
线 性
解： A=[2,3;1,-1];
方
b=[4;1]
程
X=inv(A)*b
组 ans X =
1.4000
0.4000
相当于
2 1
3 1
x

y

4
1

方程的解是：x=1.4, y=0.4
逆矩阵法（左除与右除法） AX=B X=A\B
的个数，那么方程组有无穷多个解。
例5-20 求齐次线性方程组的通解
x1 8x2 10x3 2x4 0 2x1 4x2 5x3 x4 0
解
3x1 8x2 6x3 2x4 0
线 解： Matlab命令为
性
A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
求A阶梯形的行最简形式
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
[V,D]=eig(A)
例1 ans
A=[1,-1;2,4]; [V,D]=eig(A)
V= -985/1393 985/1393
1292/2889 -2584/2889
方阵A的特 征向量矩阵
D=
2
0
0
3
方阵A的特 征值矩阵
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
解
后的恒等式“0=0”去掉；
线
2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非
性
零的数，那么方程无解。否则有解；
方 程
3、在有解的情况下：
组
如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量
的个数，那么方程组有唯一的解；
如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量
>> A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 5 6]; >> b=[1 0 0 0 1]'; >> [l,u]=lu(A); >> x=l\(u\b);
方
rref(A)
程
组
ans=
104 0
系数矩阵 行的最简形式
0 1 -3/4 -1/4
00 0 0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于

x1

4 x3
x 2

3 4
x3

1 4
x4
取
x3 1

x
4

3
得

x1 x2

4 0
方程的个数<未知量个数 有无穷多个解
例1： 求方程组的解
XA=B X=B/A
2x 3y 4
解

x

y

1
线 解： A=[2,3;1,-1];
性
b=[4;1]
方
X=A\b
程 组 ans X =
1.4000
0.4000
相当于 AX=b,X=A\b
方程的解是：x=1.4, y=0.4
2、初等变换法 在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：


1 2
B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B)
ans =
1
-1
0
-1
1/2
0
0
1
-2
1/2
0
0
0
0
0
例 求非齐次线性方程组的通解
4 x1 2 x2 x3 2

3
x1
1x2

2 x3

10
解
11x1 3 x2 8
矩阵的基本运算 矩阵特征值、特征向量 解线性方程组
矩阵的基本运算
注意
数乘 矩阵的左除 矩阵的右除 矩阵的行列式 矩阵的逆 矩阵的乘幂
k*A A\B A/B det(A) inv(A) A^n
矩阵行变换化简 rref(A)
k是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整数

k1

பைடு நூலகம்
0

1


3


k2
1

0

4

程
组
其中 k1, k2 是任意实数
例5-21 求非齐次线性方程组的通解 解： MATLAB命令为：


x1

x2

x3

x4

0
x1 x2 x3 3 x4 1


x1

x2

2 x3

3x4