用矩阵的初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。

用矩阵的初等变换求逆矩阵

一、问题提出

在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）

二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）

我们已学习了矩阵初等变换的性质，如

1.定理

2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。

2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。

3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即

4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。

（1）

由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么

（2）

由（1）式 代入（2）式左边，

上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即

21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P

P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n

A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=

三，讲解例题

1. 求逆矩阵方法的应用之一

例 解：

四，知识拓展

2．求逆矩阵方法的应用之二

利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。

例 解：

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三

利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）

1112120,113A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设求。112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

（）2131r r r r +-112100032110001101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭

132322r r r r --30211012010133001101⎛⎫- ⎪−−→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭313r 1423310012010133001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭12r r -11423312133101A -⎛⎫-- ⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

设求。12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12121000000011030969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。

现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩阵方

程 的解，而对一般的矩阵方程

只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即

其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。

例

解：

五、小结

1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程

2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X?

贺建辉 2007-11-21

AX E =AX B =AX B =()A E ()()

122n n n n A B E A B -⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，若，求。123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭132X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪ ⎪⎝⎭