保险精算第二章习题

1．证明()

n m

m n v v i a a -=-。

()11()m n

n m m n v v i a a i v v i i

---=-=-

2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初

付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7%。计算购房首期付款额A 。

120

12011000100079962.96(8.7%/12)

16000079962.9680037.04

v a i i

-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算i 。

7

18711110.08299

a a a i i ⎛⎫

=+ ⎪+⎝⎭

∴=

4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。

10

101015000112968.7123

a x a i x ⎛⎫

= ⎪+⎝⎭∴= 5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10

1

2

v =

，计算K 。

1020

101010

20

1010

1110002000100011111800

A a a a i i

B Ka K a i A B K ⎛⎫⎛⎫

=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫

=+ ⎪+⎝⎭

=∴=

6．化简()

1020

101a v v ++，并解释该式意义。

()102010301a v v a ++=

7. 某人计划在第5年年末从银行取出17000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

510

55111000200017000113.355%

a a i i i ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭⇒=

8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为

1

8k

+，计算V(2)。 112119111(2)11(1)(1)(1)(1)

9991101128

V i i i i i =+++++++++=+

++

9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

A.113n

⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.13n C.13n

⎛⎫

⎪⎝⎭

D.3n

1

211

213

n n n n n a v a v v i i v ∞=-==

11.延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t 时的年付款率为()2

1t +,t 时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（）

A.52

B.54

C.56

D.58

011

2

5|651125|65()(1)111()()11

(1)54

1t t dt a v t t dt

v t a t t e a t dt t δ=+=

==+⎰⇒=+=+⎰⎰

12．年金现值与积累值的关系是(1)n

n n s a i =+（√）

13．年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值为13180.80。（×） 14、某单位在20年内每年存入银行5000元，建立奖励基金，从存入最后一笔款后的第2年起每年提出用于奖励的款项并永远持续下去，假设利率为8%，求每次能提取懂得最大金额（期首存，期末取最大）

20

5000R a S ∞⋅=⋅ 15名词解释

永续年金

指收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金。 连续年金

指当年金收付间隔趋于无穷小时的年金。

16某年金第1年末给付200元，以后每隔1年增200元，利率10%，

求：①收付10年的年金现值

②第10年的年金终值

③若为永续年金，求永续年金现值

=22000 17证明：

2312

3

()m m m n m n m

n

m

m m n

a v v v v v v a v v v v v a v a +++=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+⋅+++⋅⋅⋅+=+⋅

18证明：

()()11111112005807.18n

n n n n n n n i n v i i nv a nv d i Ia i i i

Ia ⎛⎫- ⎪+⎛

⎫⎝⎭- ⎪-+⎝⎭--+=

==⨯= ()1

(1)(1)1(1)1200()15062.33

n

n n n n n i n

i i n n S n d i i Is i i i i

Is ++-+-+---+==

==⨯= ()()22001120020010%Ia ∞

⎡⎤

⨯==⨯+⎢⎥⎥⎦

11(1)m m n m n

m n

m n m m n m

m n m m n m n

a a v a v a i

v v v a v a i i

a a v a ++++=+⋅-=

-⋅-+⋅=+

=+⋅