固体力学的基本概念(4)
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物体的变形有哪些最基本的形式？
长度的变化 微元长度的变化比 角度的变化 微元线段夹角的变化 物体内部各点变形情况(程度)不同
24
3.2 应变的概念
y a p P x A P y B b
p A
a
x
变形前的微元线段 变形后的微元线段 正应变 ( normal strain ) —— 线应变
lim paPA PA 0
ah 22 即有 z 22 y b ah 22 这是一条过原点的直线方程。 tan 22 b ah 22 由应力方程可得，在 z 22 y 的区域内，应力为拉应力。 b ay z 0 k 正应力为零即 22 2 2 h b
19
B h
z
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
D D
C
A B
1 22 5 44 AD AD sec 1 2 24 cos AD 1
故有
xx 0, yy 0, xy xy
分析和讨论
角度来定义切应变？
为什么
要用直角的变化量来定义切 应变？能不能用线段偏移的
28
x L
例5 如图的 直杆沿轴线方向的应变可表示 如图的直杆沿轴线方向的应变可表示 平均应变是最大 为 a x ，证明杆中的 ，证明杆中的平均应变是最大 应变 的三分之二。 应变的三分之二。 [解] 由于应变是沿轴线单调递增的，因此 最大应变在 x L 处：
z y
FN dA 0 N
A A
M z dA
A A
T r dA
A A
14
P m d
h = 80 d = 60
例1 如 图的轴和套之间紧密配合，外套固 如图的轴和套之间紧密配合，外套固 定。 如果接触层的切应力超过 10 MPa 紧 配合就会脱开， 而且 已知轴向力 P 所引 而且已知轴向力 起的最大轴向切应力为 6.2 MPa ， 那么， 作用于轴上的转矩 m 最大允许多大？ 分析 由于轴向力的作用，轴与套
16
例2 如图矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布 , 如图矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布, 上沿应力为100 MPa， 下沿应力为零。试问杆件截面上存在何 ，下沿应力为零。试问杆件截面上存在何 种内力分量，并确定其大小。 [解] 建立如图坐标系 z 距 y 轴为z的截面上各点 b = 40 正应力 z 50 取如图微元 面积 dA b dz z 取如图微元面积 y dA 正应力的合力
45°
10
不平衡
平衡
注意 尽管应力矢量及其分量也常用箭头表示，但它们
的概念是指定点在指定方位微元面上的力的分布集度。
10
3. 物体表面的应力
应力与压强有什么区别？
根据力平衡及应力定义，物体表面某处的应力，等于该处 外介质或其他变形体对物体的作用力的集度。
p (x) x0
) p (x0 0
p (x) x0
PA 0
PA
切应变 ( shearing strain )
—— 角应变
PA lim (APB apb) PA 0 0
PB PB 0 0
25
3.2 应变的概念
y B b
正应变 ( normal strain )
p P A a
xx lim PA PA 0 0
x
同时，应力矢量还与过该点所取的 微元面的方位有关。 记微元面的法线方向单位矢量为 n， 时间为 t 。 修改
6
'
dA'
3.1.1 应力的定义 2. 应力的特点
正应力和切应力对所作用的微元面及其邻域所引起的 变形效应不同。 正应力 切 应力 切应力
7
分析和讨论
K K
左右介质的拉伸作用
在变形体内部有一点 K，过 该点竖直微元面上的正应力与过 该点水平微元面上的切应力是同 一个应力吗？
2 2 国际单位制的应力单位是 Pa ( N / m 2 ) ，或 MPa ( N / mm 2 ) 。
5
3.1.1 应力的定义 2. 应力的特点
n ' n' d ' dF F' n
应力矢量与力矢量有什么区别？ 应力矢量与所在的点的位置有关。
d dF F
'
dA
) n, t ) p p ( x, y , z ,
x
max a L max
杆件的总伸长量 故平均应变
Δ L d x a x dx 2 aL L
0 0
L L
L L
0 0
3
ΔL 2 av a L av L 3
故有
av 2 av max 3 max
* 若已知某梁的一个横截面上的 例*
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
正应力分布满足方程
h
b
y
k
ay z 22 ，式中 k 、a 为正 2 2 h b
的常数。 ① 求正应力为零的点的 轨迹方程； ② 求最大拉应力与最 大压应力的数值。
ah 22 即有 z 22 y b ah 22 这是一条过原点的直线方程。 tan 22 b ah 22 由应力方程可得，在 z 22 y 的区域内，应力为拉应力。 b
在变形体内过任意点的相互垂直的两 个微元面上，垂直于交线的切应力分量必 然会成对地出现，其数值相等，方向则共 同指向或共同背向两微元面的交线。
21
重要公式
分析和讨论
切 应力互等定理与材料力学性能有关吗？ 切应力互等定理与材料力学性能有关吗？ 下列情况是切应力互等定理所表述的内容吗？
Chapter 3
Basic Concepts in Solid Mechanics
第 三 章 固体力学的基本概念
1
本章基本内容 3.1 应力的概念 3.2 应变的概念 3.3 材料力学的性能 3.4 材料的简单本构模型 3.5 构件的安全性 本章内容小结
2
本 章 基 本 要 求
初步掌握 固体力学最基本的概念：应力、应变 初步掌握固体力学最基本的概念：应力、应变 和本构关系，并能进行简单的计算。准确理解切应 力互等定理。 了解常用工程 材料在拉伸压缩时的力学性能， 了解常用工程材料在拉伸压缩时的力学性能， 了解材料力学性能研究的主要方面。 初步掌握 Hooke 定律的含义，了解弹性模量和 Poisson 比的概念。
h = 100 M FN N x
FN dA N
A A
h h2 2
h h2 2
(z 50)b dz 200 kN
h h2 2 h h2 2
正应力对 y 轴的合力矩
M yy z dA
A A
z ( z 50)b dz
3.33 kN m
17
z
ay z 0 k 正应力为零即 22 2 2 h b
18
z
* 若已知某梁的一个横截面上的 例*
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
正应力分布满足方程
h b
y
k
ay z 22 ，式中 k 、a 为正 2 2 h b
的常数。 ① 求正应力为零的点的 轨迹方程； ② 求最大拉应力与最 大压应力的数值。
该横截面上正应力呈线性分布，其概貌如图。
20
3.1.2 切应力互等定理 ( theorem of conjugate shearing stress )
B
在这一对力的作用下，微元体 平衡吗？
dz
dx
A
如何才能使微元体平衡？
对 AB 取矩
dy
(dydz ) dx (dxdy ) dz
ay z k 22 22 h b b h 最大拉应力出现在 A , 处。 2 2
y A
b
tt max max
k a 1 2b h
ah 22 在 z 22 y 的区域内，应力为压应力。 b
b h k a 1 c c 最大压应力出现在 B , 处。 max max 2b h 2 2
) p (x0 0
p ( x00 )
p ( x00 ) cos p ( x00 ) sin
11
0
3. 物体表面的应力
根据力平衡及应力定义，物体表面某处的应力，等于该处 外介质对物体的力作用集度。
重要结论
若物体的某部 分表面没有任何外力作用（称之为 若物体的某部分表面没有任何外力作用（称之为
22
分析和讨论
悬臂梁自由端承受 集中力作用。在其横截 面的上边沿上，有可能 存在着如图方向的切应 力吗？
悬臂梁自由端承受 悬臂梁自由端承受 集中力偶矩作用。在其 集中力偶矩作用。在其 横截面的角点上，有可 横截面的角点上，有可 能存在着如图方向的切 能存在着如图方向的切 应力吗？ 应力吗？
23
3.2 应变的概念
26
分析和讨论
A α
图示 A 点的切应变分别为多少？
A
A
下面的结论中哪些是错误的？
A B C
AB 段有应变，BC 段有位移。 AB 段有位移，BC 段无应变。
AB 段有位移，BC 段有应变。 AB 段无位移，BC 段无应变。
27
例4 边长为 1 的正方形发生如图的形变， 为很小的数。求正方形的应变。 [解] 显见 xx 0, xy xy 考虑 AD 的变形 忽略二阶微量
3
3.1 应力的概念
1
2
3
F
3
1
杆件破坏取决于其内力在截面上分布的集度
2
内力（轴力、扭矩、剪力和弯矩 ） 不是构件是否会破坏的标志性物理量。 构件内部某截面分布力的集度才是 衡量构件是否破坏的标志性量。 如何定义物体内部某截面上的分布 力的集度？ 这种分布力的集度有何特点？
4
3.1.1 应力的定义 1. 定义
n
应力矢量 ( stress vector )
dA
d dF F p
ΔF lim p Δ ΔA A 0 0 ΔA p p ( x, y , z )
垂直于截面的分量
正应力 ( normal stress )
平行于截面的分量
切应力 ( shearing stress )
正应力中，拉应力为正，压应力为负。
h
P
m m p m
m
之间存在轴向切应力。
max max
pp
由于转矩的作用，轴与套之间 存在着环周方向上的切应力。 两种切应力的合力应不超过所 限定的应力 max 10 MPa。 max 假定接触层周向切应力均布。
15
P m d
h = 80 d = 60
例1 如 图的轴和套之间紧密配合，外套固 如图的轴和套之间紧密配合，外套固 定。 如果接触层的切应力超过 10 MPa 紧 配合就会脱开， 而且 已知轴向力 P 所引 而且已知轴向力 起的最大轴向切应力为 6.2 MPa ， 那么， 作用于轴上的转矩 m 最大允许多大？ [解] 环周方向切应力的允许值
pa PA PA
pb PB yy PB lim PB 0 0 PB
切应变 ( shearing strain ) 变形后的微元线段 变形前的微元线段
xy lim ( ) xy PA PA 0 0
PB PB 0 0
线应变中，拉应变为正，压应变为负。 切应变以直角的减小为正，增大为负，并用弧度表示。 正应变和切应变均为无量纲量。
2 2 2 2 7.85 MPa m max P m max P
h
P
m m p m
m
max max
pp
转矩的允许值
d d m m dA m dA m m 2 2 A A A A
π hd m d 2 3.55 kN m m
自由表面），那么这部 分表面上的正应力和切应力均为零。 ），那么这部分表面上的正应力和切应力均为零。
自由表面
自由表面
12
4. 杆件横截面上的内力和应力的关系
z y z y
z yLeabharlann z yFN dA N
A A
FSS dA
A A
13
4. 杆件横截面上的内力和应力的关系
z y z y
z y
K
上下介质的错切作用
8
分析和讨论
A
横截面的应力 梁的横截面有如图的应 力。因而横截面边沿上 A 点 处也有应力。由于 A 点同时 也在侧面上，是否因此侧面 上也就有了应力？
侧面的应力
9
分析和讨论
微元体的应力分量本身直接构成平衡关系吗？ 单位::MPa MPa
10
平衡吗
？
45°
10
10 2
平衡吗
？
长度的变化 微元长度的变化比 角度的变化 微元线段夹角的变化 物体内部各点变形情况(程度)不同
24
3.2 应变的概念
y a p P x A P y B b
p A
a
x
变形前的微元线段 变形后的微元线段 正应变 ( normal strain ) —— 线应变
lim paPA PA 0
ah 22 即有 z 22 y b ah 22 这是一条过原点的直线方程。 tan 22 b ah 22 由应力方程可得，在 z 22 y 的区域内，应力为拉应力。 b ay z 0 k 正应力为零即 22 2 2 h b
19
B h
z
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
D D
C
A B
1 22 5 44 AD AD sec 1 2 24 cos AD 1
故有
xx 0, yy 0, xy xy
分析和讨论
角度来定义切应变？
为什么
要用直角的变化量来定义切 应变？能不能用线段偏移的
28
x L
例5 如图的 直杆沿轴线方向的应变可表示 如图的直杆沿轴线方向的应变可表示 平均应变是最大 为 a x ，证明杆中的 ，证明杆中的平均应变是最大 应变 的三分之二。 应变的三分之二。 [解] 由于应变是沿轴线单调递增的，因此 最大应变在 x L 处：
z y
FN dA 0 N
A A
M z dA
A A
T r dA
A A
14
P m d
h = 80 d = 60
例1 如 图的轴和套之间紧密配合，外套固 如图的轴和套之间紧密配合，外套固 定。 如果接触层的切应力超过 10 MPa 紧 配合就会脱开， 而且 已知轴向力 P 所引 而且已知轴向力 起的最大轴向切应力为 6.2 MPa ， 那么， 作用于轴上的转矩 m 最大允许多大？ 分析 由于轴向力的作用，轴与套
16
例2 如图矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布 , 如图矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布, 上沿应力为100 MPa， 下沿应力为零。试问杆件截面上存在何 ，下沿应力为零。试问杆件截面上存在何 种内力分量，并确定其大小。 [解] 建立如图坐标系 z 距 y 轴为z的截面上各点 b = 40 正应力 z 50 取如图微元 面积 dA b dz z 取如图微元面积 y dA 正应力的合力
45°
10
不平衡
平衡
注意 尽管应力矢量及其分量也常用箭头表示，但它们
的概念是指定点在指定方位微元面上的力的分布集度。
10
3. 物体表面的应力
应力与压强有什么区别？
根据力平衡及应力定义，物体表面某处的应力，等于该处 外介质或其他变形体对物体的作用力的集度。
p (x) x0
) p (x0 0
p (x) x0
PA 0
PA
切应变 ( shearing strain )
—— 角应变
PA lim (APB apb) PA 0 0
PB PB 0 0
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3.2 应变的概念
y B b
正应变 ( normal strain )
p P A a
xx lim PA PA 0 0
x
同时，应力矢量还与过该点所取的 微元面的方位有关。 记微元面的法线方向单位矢量为 n， 时间为 t 。 修改
6
'
dA'
3.1.1 应力的定义 2. 应力的特点
正应力和切应力对所作用的微元面及其邻域所引起的 变形效应不同。 正应力 切 应力 切应力
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分析和讨论
K K
左右介质的拉伸作用
在变形体内部有一点 K，过 该点竖直微元面上的正应力与过 该点水平微元面上的切应力是同 一个应力吗？
2 2 国际单位制的应力单位是 Pa ( N / m 2 ) ，或 MPa ( N / mm 2 ) 。
5
3.1.1 应力的定义 2. 应力的特点
n ' n' d ' dF F' n
应力矢量与力矢量有什么区别？ 应力矢量与所在的点的位置有关。
d dF F
'
dA
) n, t ) p p ( x, y , z ,
x
max a L max
杆件的总伸长量 故平均应变
Δ L d x a x dx 2 aL L
0 0
L L
L L
0 0
3
ΔL 2 av a L av L 3
故有
av 2 av max 3 max
* 若已知某梁的一个横截面上的 例*
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
正应力分布满足方程
h
b
y
k
ay z 22 ，式中 k 、a 为正 2 2 h b
的常数。 ① 求正应力为零的点的 轨迹方程； ② 求最大拉应力与最 大压应力的数值。
ah 22 即有 z 22 y b ah 22 这是一条过原点的直线方程。 tan 22 b ah 22 由应力方程可得，在 z 22 y 的区域内，应力为拉应力。 b
在变形体内过任意点的相互垂直的两 个微元面上，垂直于交线的切应力分量必 然会成对地出现，其数值相等，方向则共 同指向或共同背向两微元面的交线。
21
重要公式
分析和讨论
切 应力互等定理与材料力学性能有关吗？ 切应力互等定理与材料力学性能有关吗？ 下列情况是切应力互等定理所表述的内容吗？
Chapter 3
Basic Concepts in Solid Mechanics
第 三 章 固体力学的基本概念
1
本章基本内容 3.1 应力的概念 3.2 应变的概念 3.3 材料力学的性能 3.4 材料的简单本构模型 3.5 构件的安全性 本章内容小结
2
本 章 基 本 要 求
初步掌握 固体力学最基本的概念：应力、应变 初步掌握固体力学最基本的概念：应力、应变 和本构关系，并能进行简单的计算。准确理解切应 力互等定理。 了解常用工程 材料在拉伸压缩时的力学性能， 了解常用工程材料在拉伸压缩时的力学性能， 了解材料力学性能研究的主要方面。 初步掌握 Hooke 定律的含义，了解弹性模量和 Poisson 比的概念。
h = 100 M FN N x
FN dA N
A A
h h2 2
h h2 2
(z 50)b dz 200 kN
h h2 2 h h2 2
正应力对 y 轴的合力矩
M yy z dA
A A
z ( z 50)b dz
3.33 kN m
17
z
ay z 0 k 正应力为零即 22 2 2 h b
18
z
* 若已知某梁的一个横截面上的 例*
2 ah ah 2 z z 22 y y b b
正应力分布满足方程
h b
y
k
ay z 22 ，式中 k 、a 为正 2 2 h b
的常数。 ① 求正应力为零的点的 轨迹方程； ② 求最大拉应力与最 大压应力的数值。
该横截面上正应力呈线性分布，其概貌如图。
20
3.1.2 切应力互等定理 ( theorem of conjugate shearing stress )
B
在这一对力的作用下，微元体 平衡吗？
dz
dx
A
如何才能使微元体平衡？
对 AB 取矩
dy
(dydz ) dx (dxdy ) dz
ay z k 22 22 h b b h 最大拉应力出现在 A , 处。 2 2
y A
b
tt max max
k a 1 2b h
ah 22 在 z 22 y 的区域内，应力为压应力。 b
b h k a 1 c c 最大压应力出现在 B , 处。 max max 2b h 2 2
) p (x0 0
p ( x00 )
p ( x00 ) cos p ( x00 ) sin
11
0
3. 物体表面的应力
根据力平衡及应力定义，物体表面某处的应力，等于该处 外介质对物体的力作用集度。
重要结论
若物体的某部 分表面没有任何外力作用（称之为 若物体的某部分表面没有任何外力作用（称之为
22
分析和讨论
悬臂梁自由端承受 集中力作用。在其横截 面的上边沿上，有可能 存在着如图方向的切应 力吗？
悬臂梁自由端承受 悬臂梁自由端承受 集中力偶矩作用。在其 集中力偶矩作用。在其 横截面的角点上，有可 横截面的角点上，有可 能存在着如图方向的切 能存在着如图方向的切 应力吗？ 应力吗？
23
3.2 应变的概念
26
分析和讨论
A α
图示 A 点的切应变分别为多少？
A
A
下面的结论中哪些是错误的？
A B C
AB 段有应变，BC 段有位移。 AB 段有位移，BC 段无应变。
AB 段有位移，BC 段有应变。 AB 段无位移，BC 段无应变。
27
例4 边长为 1 的正方形发生如图的形变， 为很小的数。求正方形的应变。 [解] 显见 xx 0, xy xy 考虑 AD 的变形 忽略二阶微量
3
3.1 应力的概念
1
2
3
F
3
1
杆件破坏取决于其内力在截面上分布的集度
2
内力（轴力、扭矩、剪力和弯矩 ） 不是构件是否会破坏的标志性物理量。 构件内部某截面分布力的集度才是 衡量构件是否破坏的标志性量。 如何定义物体内部某截面上的分布 力的集度？ 这种分布力的集度有何特点？
4
3.1.1 应力的定义 1. 定义
n
应力矢量 ( stress vector )
dA
d dF F p
ΔF lim p Δ ΔA A 0 0 ΔA p p ( x, y , z )
垂直于截面的分量
正应力 ( normal stress )
平行于截面的分量
切应力 ( shearing stress )
正应力中，拉应力为正，压应力为负。
h
P
m m p m
m
之间存在轴向切应力。
max max
pp
由于转矩的作用，轴与套之间 存在着环周方向上的切应力。 两种切应力的合力应不超过所 限定的应力 max 10 MPa。 max 假定接触层周向切应力均布。
15
P m d
h = 80 d = 60
例1 如 图的轴和套之间紧密配合，外套固 如图的轴和套之间紧密配合，外套固 定。 如果接触层的切应力超过 10 MPa 紧 配合就会脱开， 而且 已知轴向力 P 所引 而且已知轴向力 起的最大轴向切应力为 6.2 MPa ， 那么， 作用于轴上的转矩 m 最大允许多大？ [解] 环周方向切应力的允许值
pa PA PA
pb PB yy PB lim PB 0 0 PB
切应变 ( shearing strain ) 变形后的微元线段 变形前的微元线段
xy lim ( ) xy PA PA 0 0
PB PB 0 0
线应变中，拉应变为正，压应变为负。 切应变以直角的减小为正，增大为负，并用弧度表示。 正应变和切应变均为无量纲量。
2 2 2 2 7.85 MPa m max P m max P
h
P
m m p m
m
max max
pp
转矩的允许值
d d m m dA m dA m m 2 2 A A A A
π hd m d 2 3.55 kN m m
自由表面），那么这部 分表面上的正应力和切应力均为零。 ），那么这部分表面上的正应力和切应力均为零。
自由表面
自由表面
12
4. 杆件横截面上的内力和应力的关系
z y z y
z yLeabharlann z yFN dA N
A A
FSS dA
A A
13
4. 杆件横截面上的内力和应力的关系
z y z y
z y
K
上下介质的错切作用
8
分析和讨论
A
横截面的应力 梁的横截面有如图的应 力。因而横截面边沿上 A 点 处也有应力。由于 A 点同时 也在侧面上，是否因此侧面 上也就有了应力？
侧面的应力
9
分析和讨论
微元体的应力分量本身直接构成平衡关系吗？ 单位::MPa MPa
10
平衡吗
？
45°
10
10 2
平衡吗
？