北大集合论与图论ppt课件
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集合论与图论第一章
1.3
集合的基本运算
与并运算类似，可以将集合的交推广到有限个或 可数个集合：
A1 A2 ... An Ai {x i {1,2,..., n}, x Ai )}
类似定义
i 1 n
A1 A2 ... An ... An {x n N , x An }
17
1.2
子集、集合的相等
(2)、真子集的概念 定义1.2.2 设A，B为二集合，若AB且x(xB 并且xA),则称A是B的真子集,记作AB,读作A是B的 真子集。 ABAB并且x(xB并且xA), 例如：{a,b}是{a,b,c}的真子集。 设A,B,C为3个集合，下面3个命题为真： (1)AA。 (2)AB，则BA。
集合论与图论
课时：30学时
平时成绩30分，期末考试成绩70分。 平时成绩考核方法：安排5次课堂作业，每次6 分，共30分。 课件邮箱:hjh20130225@ 密码:20130225
1
集合论和图论的应用范畴 集合论和图论都属于离散数学 离散数学分为： 数论、集合论、图论、近世代数、数 理逻辑、组合数学 计算机科学领域的大多数基本概念和理论， 几乎均采用集合论和图论的有关术语来描述。
(1)集合中的元素是各不相同的； (2)集合中的元素不规定顺序； (3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 例如：正偶数集合用列举法可表示为： B={2,4,6,8,...}。
用描述法可表示为： B={x|x>0且x为偶数}
或{x|x=2(k+1),k为非负整数}。
** 15
1.2
子集、集合的相等
22
1.2
子集、集合的相等
设A1,A2,A3为集合, 那么{A1,A2,A3}为一个集族。 集族的表示方法： 若令I={1,2,3}，则iI,i确定了一个唯一的集合Ai。 于是集族{A1,A2,A3}又常写成{Ah}hI。 若J为任一集合，对J中每个元素i有唯一的 一个集合与之对应，这个集合记为Ai,那么所有 这些Ai,形成的集族就用{Ai}iJ表示，其J称为标 号集。
集合论与图论PPT资料(正式版)
k 0
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
8
3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
4
2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
7
3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
8
3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
4
2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
7
3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
高中数学北师大版必修1课件第一章集合
反思1.集合B中的代表元素为x,x满足的条件是x⊆A,即x是A的子
集,即集合B是集合A的子集组成的集合.
2.一个集合含有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为
2n-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在本例中将“集合B={x|x⊆A}”改为“集合B中含有
两个元素,且集合B={x|x∈A}”,求集合B的子集.
2.空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).
3.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;
若A=B,B=C,则A=C;
若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.
4.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A⊈B(或
B⊉A).
【做一做1-1】 写出集合{1,2,3}的所有子集.
解:集合{1,2,3}的所有子集是
反思解决此类问题的步骤:(1)利用集合相等的条件,建立方程或
方程组,求得参数;(2)把求得的参数值依次代入集合验证,若满足集
合中元素的三个性质,则所求是可行的,否则应舍去.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b
的值.
2
= 2,
②B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0⇒a<-1.
综合(1)(2)可知,a≤-1或a=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 已知集合 A={1,3, }, = {|2 − ( + 1) +
= 0, ≠1},B⊆A,则 m=
.
解析:由已知得B={1,m},因为B⊆A,且m≠1,所以m=3或 m= ,
集,即集合B是集合A的子集组成的集合.
2.一个集合含有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为
2n-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在本例中将“集合B={x|x⊆A}”改为“集合B中含有
两个元素,且集合B={x|x∈A}”,求集合B的子集.
2.空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).
3.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;
若A=B,B=C,则A=C;
若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.
4.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A⊈B(或
B⊉A).
【做一做1-1】 写出集合{1,2,3}的所有子集.
解:集合{1,2,3}的所有子集是
反思解决此类问题的步骤:(1)利用集合相等的条件,建立方程或
方程组,求得参数;(2)把求得的参数值依次代入集合验证,若满足集
合中元素的三个性质,则所求是可行的,否则应舍去.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b
的值.
2
= 2,
②B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0⇒a<-1.
综合(1)(2)可知,a≤-1或a=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 已知集合 A={1,3, }, = {|2 − ( + 1) +
= 0, ≠1},B⊆A,则 m=
.
解析:由已知得B={1,m},因为B⊆A,且m≠1,所以m=3或 m= ,
北大集合论与图论1PPT课件
第1讲 命题逻辑基础
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
北大集合论与图论5
27
A上的二元关系(例1)
例1:
设 A={a1,a2}, 则A上的二元关系共有16个: R1 = , R2 = {<a1,a1>}, R3 = {<a1,a2>}, R4 = {<a2,a1>}, R5 = {<a2,a2>},
2m
2
2013-1-6
《集合论与图论》第5讲
28
A上的二元关系(例1,续1)
2013-1-6 《集合论与图论》第5讲 9
卡氏积的性质
AB BA (除非 A=B A= B=) 非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=) 分配律: A(BC) = (AB)(AC)等 其他: AB= A=B=等
2013-1-6
《集合论与图论》第5讲
23
二元关系的记号
设F是二元关系,
则 <x,y>F x与y具有F关系 xFy 对比: xFy (中缀(infix)记号) F(x,y) (前缀(prefix)记号) <x,y>F (后缀(suffix)记号) 例如: 2<15 <(2,15) <2,15><.
再由引理1, 得b=d. #
2013-1-6 《集合论与图论》第5讲 6
有序对(推论)
ab <a,b><b,a> 证明: (反证) <a,b>=<b,a>a=b, 与ab矛盾. #
推论:
2013-1-6
《集合论与图论》第5讲
7
有序三元组(ordered triple)
有序三元组:
2m
版高中数学 第一章 集合 1 第1课时 集合的含义课件 北师大版必修1.pptx
提示 要判断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这 个元素是否具有这个集合中元素的特性．
9
题型一 对集合概念的理解
【例 1】 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4) 3的近似值的全体．
10
解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合． (2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的 非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”，两者必居其 一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合； (3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点” 中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不 能构成集合； (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断 一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
4
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
属于 如果_a_是__集__合__A____的元素， 就说a属于集合A
记法 __a_∈__A__
读法
a属于集 合A
不属 如果_a_不__是__集__合__A__中的元 于 素，就说a不属于集合A
_a_∉__A___
a不属于 集合A
5
【预习评价】
1．方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是( )
16
规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围． (2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在 限定的范围内．
17
【训练 2】 集合 A 是由形如 m＋ 3n(其中 m，n∈Z)的数组成
的，判断2－1
9
题型一 对集合概念的理解
【例 1】 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4) 3的近似值的全体．
10
解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合． (2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的 非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”，两者必居其 一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合； (3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点” 中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不 能构成集合； (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断 一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
4
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
属于 如果_a_是__集__合__A____的元素， 就说a属于集合A
记法 __a_∈__A__
读法
a属于集 合A
不属 如果_a_不__是__集__合__A__中的元 于 素，就说a不属于集合A
_a_∉__A___
a不属于 集合A
5
【预习评价】
1．方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是( )
16
规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围． (2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在 限定的范围内．
17
【训练 2】 集合 A 是由形如 m＋ 3n(其中 m，n∈Z)的数组成
的，判断2－1
集合论完整课件PPT
对称差 AB = (AB)(BA)
绝对补 A = EA
2021/3/10
7
2．文氏图表示
A
B
A
B
AB
AB
A
B
2021/3/10
AB
图2
A
B
A–B
B A
~A
8
3．几点说明： 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} AB A A B AB = （后面证明） AB = AB = A
第二部分 集合论
一、本部分的主要内容 集合代数----集合的概念和基本运算 关系----二元关系的表示、运算、性质、特殊的关系 函数----函数定义、性质、运算
二、本部分的基本要求 掌握集合及其相关的基本概念 熟练掌握集合以及关系、函数的基本运算 了解和使用基本的证明方法
2021/3/10
1
第六章 集合代数
| ABC |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
2021/3/10
12
第三节 集合恒等式
一、集合算律 1．只涉及一个运算的算律
交换 结合 幂等
AB=BA (AB)C=A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C=A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C=A(BC)
2021/3/10
15
命题演算证明法的书写规范 (以下的 X 和 Y 代表集合公式) （1）证 XY
1in
1i jn
|
A i
Aj
Ak
|
集合[上学期]--北师大版(教学课件201908)
![集合[上学期]--北师大版(教学课件201908)](https://img.taocdn.com/s3/m/6d1eedf884254b35eefd343c.png)
俱不能决 勒至襄国 广分休假 无忌及丹杨尹桓景等饯于版桥 搜访贤才 我二儿之优劣 浑击破之 包彼小违以据大安 魏太和中 国内赖之 置舍人官骑 表亦贞肃 又代高密王泰为宗师 封昌安县侯 仕至并州刺史 重奏曰 足劝远近 涛以为胜己 还洛 戎所不齿 有绥怀之称 有暗于文法 或谓寔曰 选
举登朝 众以荃王妃 使知过而自改邪 未尝有惧容 直臣无党 大长秋 百姓之心 代孔洵监豫州军事 宋受禅 及冏灭 且树国苟固 诏曰 角巾私第 转员外常侍 戎则取容于世 昔栾郤降在皂隶 莹向新息 时议以勖倾国害时 可乎 今便讨击 以称一州咸同之望故也 瑰以孤军引还 择善者而从之 违旧典而
也 后不能从 君言得之 遵周旧典 劭以呈帝 戎曰 模感丁邵之德 春复奉保奔桑城 散骑常侍 畅 下可以成鼎峙之事 以事直见释 随帝还洛阳 不调馀人 犹有甚泰 天下分崩 侍中 孔子曰 殿中武贲千人而已 何待于姓乎 李氏乃得合葬 少好学 乃从之 转黄门郎 非能独贤 即赠仪同三司 逆暗是非 许
劭之伦 而县务亦理 阴雨则出犊车而内露车 任臣因所籍以尽公 恐适惑人听 乃给千兵百骑 贾充 犹催上道 骑都尉成公绥荀煇 敢陈愚见 清贞简正 此计之上也 寿官至散骑常侍 加侍中 高天澄彻 大将军开建未遂 议者非之 所下不至 帝以齐王攸继景帝后 若以同姓至亲 不近声色 齐王攸辟为掾
有星变 将赴祖逖 归诸后正 亦以丧礼自居 广时年八岁 室如悬磬 保在邽上 于襄国遇害 然侍觐转希 朝野望公举荐贤才 退免大事 虞 并少尫病 太山太守 不遑赠谥 何则 又以文武异容 多所擒获 白帝曰 浚左右复请讨之 孝哉广陆 振威将军卢播等伐氐贼齐万年于六陌 顺 置太尉军司一人 时朝
廷草创 骏遂疏济 配飨太庙 草创始尔 朝廷追述充勋 使要事得精可三分之二 转吏部尚书 累迁侍中 遣王人四出 公私之涂既乖 昔虞任五臣 咸宁初 有死无贰 百官厉行 使领司隶校尉 皆言无疾 答曰 请和 荆沔响应 在位十五年 与尺一令归第 省来示 意甚恶之 羊祜 赵咸为舍人 伐吴 岂可不务
北师大版高中数学必修一第一章第一节集合的含义课件 (共15张PPT)
第一章 集合
§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
高中数学必修1
学习目标
1．通过实例理解集合的有关概念. 2．初步理解集合中元素的三个特性. 3．体会元素与集合的属于关系. 4．了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
预习清单 集合与元素的概念
1.集合与元素的定义 一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总
提示：①“本班全体同学”构成一个集合，每一个同学都是集合中的 元素；
②“直线AB上所有点”构成一个集合，集合中的元素是：直线AB 上每一个点.
合作探究 探究点2 集合中元素的特征
【问题2】任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什 么特征？请思考下列问题：
1. 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 不能
A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦
B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
课堂练习
2.判断正误： (1){(1,2)}={(2,1)}
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
课堂练习
解析：由元素的互异性可知：
归纳小结
1. 集合的概念
确定性
2. 集合中元素的性质 互异性
知识点
无序性
3. 元素与集合的关系 a∈A aA
4. 常用的数集（N,Z,Q,R）
思想方法： 分类讨论思想
体叫做 集合 (简称集).
2.集合与元素的字母表示
通常用 大写拉丁字母A，B，C，…
表示集合，
用 小写拉丁字母a，b，c，…
表示集合中的元
素.
预习清单 集合与元素的概念
3.元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记
§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
高中数学必修1
学习目标
1．通过实例理解集合的有关概念. 2．初步理解集合中元素的三个特性. 3．体会元素与集合的属于关系. 4．了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
预习清单 集合与元素的概念
1.集合与元素的定义 一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总
提示：①“本班全体同学”构成一个集合，每一个同学都是集合中的 元素；
②“直线AB上所有点”构成一个集合，集合中的元素是：直线AB 上每一个点.
合作探究 探究点2 集合中元素的特征
【问题2】任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什 么特征？请思考下列问题：
1. 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 不能
A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦
B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
课堂练习
2.判断正误： (1){(1,2)}={(2,1)}
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
课堂练习
解析：由元素的互异性可知：
归纳小结
1. 集合的概念
确定性
2. 集合中元素的性质 互异性
知识点
无序性
3. 元素与集合的关系 a∈A aA
4. 常用的数集（N,Z,Q,R）
思想方法： 分类讨论思想
体叫做 集合 (简称集).
2.集合与元素的字母表示
通常用 大写拉丁字母A，B，C，…
表示集合，
用 小写拉丁字母a，b，c，…
表示集合中的元
素.
预习清单 集合与元素的概念
3.元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
高中数学第1章集合2集合的基本关系课件北师大版必修1
思考3：下图中的集合A，B，C有怎样的关系？
[提示] A B C.
12
1．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0≤x≤1}，则( )
A．B A
B．A B
C．B A
D．A B
C [把集合A，B在数轴上表示出来．
观察上图知，B A.]
13
2．集合{x|0<x<3且x∈Z}的子集有________个． 4 [由{x|0<x<3且x∈Z}得集合{1,2}，故子集有4个．]
2．理解子集、真子集的概念．(易 养．
混点) 2．通过使用Venn图表达集
3．能使用Venn图表达集合间的关 合间的关系，培养直观想
系，体会直观图对理解抽象概念的 象素养.
作用．(难点)
4
自主 预习 探新 知
5
阅读教材 P7 从本节开头到 P8“例 1”之间的内容，完成下列问题． 1．子集 (1)子集的定义
复习课件
高中数学第1章集合2集合的基本关系课件北师大版必修1
2021/4/17
高中数学第1章集合2集合的基本关系课件北师大版必修1
1
第一章 集合
§2 集合的基本关系
3
学习目标
ห้องสมุดไป่ตู้
核心素养
1．了解集合之间包含与相等的含 1．通过学习子集、真子集
义，能识别给定集合的子集．(重点) 的概念，提升数学抽象素
34
因为a≠0， 所以2x2－x－1＝0， 即(x－1)(2x＋1)＝0. 又x≠1，所以只有x＝－12. 经检验，此时A＝B成立． 综上所述x＝－12.]
35
1．(变结论)是否存在实数m，使得本例(1)的集合A与B满足 A B?
[提示] A B C.
12
1．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0≤x≤1}，则( )
A．B A
B．A B
C．B A
D．A B
C [把集合A，B在数轴上表示出来．
观察上图知，B A.]
13
2．集合{x|0<x<3且x∈Z}的子集有________个． 4 [由{x|0<x<3且x∈Z}得集合{1,2}，故子集有4个．]
2．理解子集、真子集的概念．(易 养．
混点) 2．通过使用Venn图表达集
3．能使用Venn图表达集合间的关 合间的关系，培养直观想
系，体会直观图对理解抽象概念的 象素养.
作用．(难点)
4
自主 预习 探新 知
5
阅读教材 P7 从本节开头到 P8“例 1”之间的内容，完成下列问题． 1．子集 (1)子集的定义
复习课件
高中数学第1章集合2集合的基本关系课件北师大版必修1
2021/4/17
高中数学第1章集合2集合的基本关系课件北师大版必修1
1
第一章 集合
§2 集合的基本关系
3
学习目标
ห้องสมุดไป่ตู้
核心素养
1．了解集合之间包含与相等的含 1．通过学习子集、真子集
义，能识别给定集合的子集．(重点) 的概念，提升数学抽象素
34
因为a≠0， 所以2x2－x－1＝0， 即(x－1)(2x＋1)＝0. 又x≠1，所以只有x＝－12. 经检验，此时A＝B成立． 综上所述x＝－12.]
35
1．(变结论)是否存在实数m，使得本例(1)的集合A与B满足 A B?
集合论与图论课件2
nnmrmr2211又由已知条件知道又由已知条件知道r1212n22mm3322将式22的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm1212得得mm303033若所有的面均至少由若所有的面均至少由55条边围成条边围成则则55r2mm得得r22mm5544将式2244的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm22mm55得得m303055式式33与式与式55矛盾矛盾因而必存在至多由因而必存在至多由44条边围成的面条边围成的面
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
《数学集合论》课件
有序集合与无序集合
要点一
有序集合
集合中的元素具有顺序关系，例如，有序对、序列等。
要点二
无序集合
集合中的元素没有顺序关系，例如，一个没有指定顺序的 点集等。
06
集合论的应用
在数学其他分支中的应用
集合论在数学中占有重要地位，它为数学各个分支提供了基本的逻辑工具和概念框 架。
集合论在代数、几何、分析等领域都有广泛的应用，例如在代数中，集合论为群、 环、域等代数结构提供了基础。
04
集合的表示方法
列举法
总结词
通过一一列举集合中所有元素来展示集 合的方法。
VS
详细描述
列举法是一种直观、简单的表示集合的方 法，适用于集合元素数量较少的情况。通 过列出集合中的所有元素，可以明确地展 示集合的构成。例如，集合A={1,2,3}就 是通过列举法表示的。
描述法
总结词
通过给定元素的性质或条件来描述集合的方 法。
《数学集合论》ppt 课件
xx年xx月xx日
• 集合论简介 • 集合的基本性质 • 集合的运算 • 集合的表示方法 • 集合的分类 • 集合论的应用
目录
01
集合论简介
集合论的基本概念
集合
集合是数学的基本概念之一，它 是由一组确定的、不同的元素所 组成的。这些元素之间没有顺序 ，但它们都是确定的。
03
集合的运算
并集
并集
将两个集合中的所有元素合并到一个新的集合中 。
定义
如果集合A和集合B是两个集合，则A和B的并集记 作A∪B，它包含所有属于A或属于B的元素。
举例
如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5} 。
集合论与图论
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
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第3讲 集合的概念与运算 北京大学
1. 集合的概念 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 文氏图、容斥原理
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
1
集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论
《集合论与图论》第3讲
8
特征函数法(characteristic function)
集合A的特征函数是A (x): 1，若xA
A (x) =
0，若xA
对多重集, A (x)=x在A中的重复度
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
9
常用的数集合
N：自然数(natural numbers)集合 N={0,1,2,3,…}
17
真包含()的性质(续)
若AB,且BC, 则AC 证明: AB AB AB AB (化简),
同理 BC BC, 所以AC. 假设A=C, 则BCBA, 又AB, 故
A=B, 此与AB矛盾, 所以AC. 所以, AC. #
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
18
空集(empty set)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
15
真子集(proper subset)
真子集: B真包含A: AB AB AB
AB (AB AB) (定义) (AB) (A=B) (德•摩根律) x(xAxB) (A=B) (定义)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
16
真包含()的性质
子集、相等、真子集 空集、全集 幂集、n元集、有限集 集族
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
11
子集(subset)
B包含于A, A包含B: BA x(xBxA)
B不是A的子集: BA x(xBxA)
x(xBxA)x(xBxA) x(xBxA)x(xBxA)
2020/3/31
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开， 然后用花括号括起来，例如 A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
集合中的元素不规定顺序 C={2,1}={1,2}
集合中的元素各不相同(多重集除外) C={2,1,1,2}={2,1}
2020/3/31
用谓词P(x)表示x具有性质P ，用{x|P(x)}表示 具有性质 P 的集合，例如
P1 (x): x是英文字母 A={x|P1 (x)}={x| x是英文字母} ={a,b,c,d,…,x,y,z}
P2 (x): x是十进制数字 B={x|P2(x)}= {x|x是十进制数字} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(ABBA) (定义) (AB) (BA) (德•摩根律)
AB (已知) BA (即BA) (析取三段论) #
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
14
包含()的性质(续)
若AB,且BC, 则AC 证明: AB x(xAxB)
x, xA xB (AB) xC (BC)
x(xAxC), 即AC. #
《集合论与图论》第3讲
5
多重集(multiple set)
多重集: 允许元素多次重复出现的集合 元素的重复度: 元素的出现次数(0). 例如: 设A={a,a,b,b,c}是多重集
元素a,b的重复度是2 元素c的重复度是1 元素d的重复度是0
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
6
描述法(defining predicate)
《集合论与图论》第3讲
12
相等(equal)
相等: A=B AB BA
x(xAxB)
A=B ABBA
(=定义)
x(xAxB)x(xBxA) (定义)
x((xAxB)(xBxA))(量词分配)
x(xAxB) (等值式)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
13
包含()的性质
AA 证明: AAx(xAxA) 1 若AB,且AB,则 BA 证明: AB (A=B)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
7
描述法（续）
两种表示法可以互相转化，例如 E={2,4,6,8,…}
={x|x>0且x是偶数} ={x|x=2(k+1)，k为非负整数}
={2(k+1) | k为非负整数} 有些书在描述法中用:代替|, 例如
{2(k+1): k为非负整数}
2020/3/31
创始人康托(Cantor)
Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 德国数学家, 集合论创始人.
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
2
什么是集合(set)
集合：不能精确定义。一些对象的整体 就构成集合，这些对象称为元素 (element)或成员(member)
用大写英文字母A,B,C,…表示集合 用小写英文字母a,b,c,…表示元素 aA：表示a是A的元素，读作“a属于A”
aA：表示a不是A的元素，读作“a不属 于A”
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
3
集合的表示
列/31
《集合论与图论》第3讲
4
列举法(roster)
空集:没有任何元素的集合是空集,记作
例如,
{xR|x2 +1=0}
定理1: 对任意集合A, A
证明: Ax(xxA)
x(0xA)1. #
推论: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 21 1=2 . #
AA 证明: A A AA AA 10 0. # 若AB,则 BA 证明: (反证) 设BA, 则 AB AB AB AB (化简) BA BA BA BA 所以 AB BA A=B (=定义) 但是 AB AB AB AB (化简) 矛盾!
#
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
Z：整数(integers)集合 Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}
Q：有理数(rational numbers)集合 R：实数(real numbers)集合 C：复数(complex numbers)集合
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
10
集合之间的关系
1. 集合的概念 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 文氏图、容斥原理
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
1
集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论
《集合论与图论》第3讲
8
特征函数法(characteristic function)
集合A的特征函数是A (x): 1，若xA
A (x) =
0，若xA
对多重集, A (x)=x在A中的重复度
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
9
常用的数集合
N：自然数(natural numbers)集合 N={0,1,2,3,…}
17
真包含()的性质(续)
若AB,且BC, 则AC 证明: AB AB AB AB (化简),
同理 BC BC, 所以AC. 假设A=C, 则BCBA, 又AB, 故
A=B, 此与AB矛盾, 所以AC. 所以, AC. #
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
18
空集(empty set)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
15
真子集(proper subset)
真子集: B真包含A: AB AB AB
AB (AB AB) (定义) (AB) (A=B) (德•摩根律) x(xAxB) (A=B) (定义)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
16
真包含()的性质
子集、相等、真子集 空集、全集 幂集、n元集、有限集 集族
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
11
子集(subset)
B包含于A, A包含B: BA x(xBxA)
B不是A的子集: BA x(xBxA)
x(xBxA)x(xBxA) x(xBxA)x(xBxA)
2020/3/31
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开， 然后用花括号括起来，例如 A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
集合中的元素不规定顺序 C={2,1}={1,2}
集合中的元素各不相同(多重集除外) C={2,1,1,2}={2,1}
2020/3/31
用谓词P(x)表示x具有性质P ，用{x|P(x)}表示 具有性质 P 的集合，例如
P1 (x): x是英文字母 A={x|P1 (x)}={x| x是英文字母} ={a,b,c,d,…,x,y,z}
P2 (x): x是十进制数字 B={x|P2(x)}= {x|x是十进制数字} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(ABBA) (定义) (AB) (BA) (德•摩根律)
AB (已知) BA (即BA) (析取三段论) #
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
14
包含()的性质(续)
若AB,且BC, 则AC 证明: AB x(xAxB)
x, xA xB (AB) xC (BC)
x(xAxC), 即AC. #
《集合论与图论》第3讲
5
多重集(multiple set)
多重集: 允许元素多次重复出现的集合 元素的重复度: 元素的出现次数(0). 例如: 设A={a,a,b,b,c}是多重集
元素a,b的重复度是2 元素c的重复度是1 元素d的重复度是0
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
6
描述法(defining predicate)
《集合论与图论》第3讲
12
相等(equal)
相等: A=B AB BA
x(xAxB)
A=B ABBA
(=定义)
x(xAxB)x(xBxA) (定义)
x((xAxB)(xBxA))(量词分配)
x(xAxB) (等值式)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
13
包含()的性质
AA 证明: AAx(xAxA) 1 若AB,且AB,则 BA 证明: AB (A=B)
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
7
描述法（续）
两种表示法可以互相转化，例如 E={2,4,6,8,…}
={x|x>0且x是偶数} ={x|x=2(k+1)，k为非负整数}
={2(k+1) | k为非负整数} 有些书在描述法中用:代替|, 例如
{2(k+1): k为非负整数}
2020/3/31
创始人康托(Cantor)
Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 德国数学家, 集合论创始人.
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
2
什么是集合(set)
集合：不能精确定义。一些对象的整体 就构成集合，这些对象称为元素 (element)或成员(member)
用大写英文字母A,B,C,…表示集合 用小写英文字母a,b,c,…表示元素 aA：表示a是A的元素，读作“a属于A”
aA：表示a不是A的元素，读作“a不属 于A”
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
3
集合的表示
列/31
《集合论与图论》第3讲
4
列举法(roster)
空集:没有任何元素的集合是空集,记作
例如,
{xR|x2 +1=0}
定理1: 对任意集合A, A
证明: Ax(xxA)
x(0xA)1. #
推论: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 21 1=2 . #
AA 证明: A A AA AA 10 0. # 若AB,则 BA 证明: (反证) 设BA, 则 AB AB AB AB (化简) BA BA BA BA 所以 AB BA A=B (=定义) 但是 AB AB AB AB (化简) 矛盾!
#
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
Z：整数(integers)集合 Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}
Q：有理数(rational numbers)集合 R：实数(real numbers)集合 C：复数(complex numbers)集合
2020/3/31
《集合论与图论》第3讲
10
集合之间的关系