函数综合练习题及答案

函数综合练习题及答案

又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，

即不等式的解集为(．

6．已知函数x

a

x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a

的取值范围。

[解析] 02)(2>++=

x

a

x x x f 在区间),1[+∞上恒成立；∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立； 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3，∴3<-a 即3->a

7．已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 [解析]

)(x f 是定义在)2,2(-上奇函数∴对任意x ∈)2,2(-有()()f x f x -=-

由条件0)12()1(>-+-m f m f 得(1)(21)f m f m ->--=(12)f m -

)(x f 是定义在)2,2(-上减函数∴21212m m ->->->，解得1223

m -<< ∴实数m 的取值范围是12

23m -

<<

8．设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a 2+a+1)

[解析]设0

∴f(－x 2)

.03

2

)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又

由f(2a 2+a+1)3a 2－2a+1.解之，得0

9．已知函数f(x)= - x 2+2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值。 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f

20 0≤a≤1时)

(

2

5

1

2

1

)

(

)

(2

max

舍

得

±

=

=

+

-

=

=a

a

a

a

f

x

f

30 a>1时，2

2

)1(

)

(

max

=

∴

=

=

=a

a

f

x

f

综上所述：a= - 1或a=2

10．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。

(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。

思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴

a

b

x

2

-

=与区间相对位置。

解

：设f(x)=x2+2mx+2m+1

(1)由题意画出示意图

2

1

6

5

5

6)1(

2

)1

(

1

2

)0(

-

<

<

-

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

+

>

=

-

<

+

=

⇔m

m

f

f

m

f

2

1

2

1

1

)1(

)0(

-

≤

<

-

⇒

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

<

-

<

>

>

≥

∆

⇔m

m

f

f

（2）

11：方程k

x

x=

-

2

3

2在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。

宜采用函数思想，求)1

1

(

2

3

)

(2<

<

-

-

=x

x

x

x

f的值域。)

2

5

,

16

9

[-

∈

k

12．已知函数22

()(21)2

f x x a x a

=--+-与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．解法一：由题知关于x的方程22

(21)20

x a x a

--+-=至少有一个非负实根，设根为

12

,x x

则

12

x x≤或

12

12

x x

x x

∆≥

⎧

⎪

>

⎨

⎪+>

⎩

，得

9

4

a

≤≤．

-1012

y

x

01

y

x