2-2谐振与频率特性

Y1 RC C
Y2 RL L
1 RC − RL − jω L 1 jω C 1 Y1 = = ， Y2 = = 2 2 1 1 + R j ω L 2 2 R ω L + ( ) L L RC + RC + ( ) jω C ωC 1 ωC ωL = 2 当 时，电路发生并联谐振。 2 1 2 RC +( ) 2 RL + (ω L) ωC L 2 − RL 1 谐振频率为：ω 0 = ⋅ C L 2 LC − RC C L L 2 2 （注意： RL 与RC 应同时大于或小于 ， 且不能等于 ） C C
2 因此，总能量为：W = WL + WC = LI 2 = CU C
u C (t ) = 2
sin(ω 0 t − 90 o ) = − 2U C cos ω 0t
Ø 谐振（串联谐振能量图）
ü 电感（磁场）能量与电容（电场）能量的变化正好相反， 但两者的（电磁场）能量和为常数。 iL (t ) = 2 I sin ω 0 t WL WC u C (t ) = − 2U C cos ω 0 t iL ωt uC WL = LI 2 ⋅ sin 2 ω 0 t WC = LI 2 ⋅ cos 2 ω 0 t W = LI 2
2 + (ω L) 2 RL
Y1 + Y2 = 所以，
RC
2 RC
1 2 ) +( ωC
=
C L
即，针对任意频率均谐振。
【例2.4】 右图所示电路，分析其谐振参数。 u
C
C1
L
解：等效阻抗为 Z = jX =
1 1 // （jω L + ） jω C1 jω C
X
1 2 (ω LC − 1) = − j 2ω ω LCC1 − (C + C1 )
电路分析与电子技术基础
谐振与频率特性 （5.8、8.5 ~ 8.6）
n 谐振与频率特性
ü 谐振：正弦稳态电路中的一种特殊现象。 谐振电路具有选频特性，在通信和电子电路中被广泛应用。 （广播、电视接收机的选台...） 电路也可能因谐振现象而被破坏。 ü 频率特性：电路参数、特性等与频率之间的关系。 同一元件（电路），只要激励源的频率不同（即使幅值和相位均 相同），就有可能获得不同的输出响应。
i
R uR uL uC L C
UL
I U UR
UC ü 串联谐振 ~ 电压谐振
Ø 谐振（串联谐振能量）
ü 定义：i (t ) = 2 I sin ω t 则串联谐振时的电感电流和电容电压分别为： iL (t ) = 2 I sin ω 0 t I u Z
i
R uR uL uC L C
ω 0C 因此，电感和电容上的能量分别为： 1 2 1 2 2 2 2 WL = Li = LI ⋅ sin ω 0 t ， WC = C u C = CU C ⋅ cos 2 ω 0t 2 2 1 2 由于 ω 0 = ，所以： LI 2 = CU C （常数） LC
2 因此，总能量为：W = WC + WL = CU 2 = LI L
Ø 谐振（并联谐振能量图）
ü 电感（磁场）能量与电容（电场）能量的变化正好相反， 但两者的（电磁场）能量和为常数。 u C (t ) = 2U sin ω 0 t WC WL iL (t ) = − 2 I L cos ω 0 t uC
ρ= ü 特征导纳：谐振时的电纳（感纳或容纳）：
Q= ü 品质因数：谐振时的电纳（感纳或容纳）与电导之比： （电纳电流/电阻电流、电纳无功功率/电阻有功功率）
Ø 谐振（并联谐振特点）
i ü 纯电导特性，LC 相当于断路。 Y = Ymin = G iR R iL L × u Y 电流 IR 和电压 U 达极大值，电路消耗最大功率值。 ü 相量关系（右图）： &L 和 I &C 大小相等，方向相反； 谐振时， I &=I &R + I &L + I &C = I &R = U &G I ü 电感和电容电流可能很大， 但由于两者的无功电流正好抵消， 所以整体电路的无功分量为零。 IL ü 并联谐振 ~ 电流谐振 IC iC C
【例2.5】 右图所示电路。 已知：U = 240V， L = 40mH，C = 1μF 。 （电流表内阻忽略不计） 求：谐振频率ω0 ，以及此时电流表 A1 、A2 的读数。 u 解：谐振时，L 与 C 发生并联谐振。 1 ω0 = = 5000rad/s 所以，谐振频率为： LC
i iC C
A1
= ω C = 1000 × 50μ
可求得：R = 6.9Ω ，L = 17.24mH 。
【例2.7】 右下图所示正弦交流电路（端口电压不变）。 已知：当开关 K 打开时电流表读数 10A ，功率表读数 600W ； 开关合上后，功率表读数 1000W ，伏特表读数 40V ，电流表读数不变。 R1 i * K 求：R1、 XC 、R2、XL 的值。 *W A 解：当开关 K 打开时， P 600 R1 = 2 = 2 = 6Ω I 10 XL u XC R2 iG2 G2 V
ü 电感电容组成一个孤立的封闭系统，电感电容中的储能发生等量互相 交换现象：电磁振荡。 ü 谐振电路 ~ 振荡电路
【例2.1】 右图所示电路。 已知：信号电压 U = 10V，角频率 ω0 = 5000rad/s ； 调节电容 C ，当 UC = 500V 时，imax = 100 mA 。 求：R、L、C 的数值，及品质因数 Q 。 解：当电流取极大值时，电路产生串联谐振。 此时：R = Q= Q= 由于： C= 所以： U 10 = = 100Ω I 100mA U C 500 = = 50 UR 10 ω 0L R = 1 ω 0 CR u
ü 串联谐振：发生在 RLC 串联电路中的谐振。 u ü （右图所示电路）正弦激励时，入端阻抗为： 1 Z = R + j (ω L − ) = R + j( X L − X C ) ωC 1 当ω L = 时，Z = R ，电路对外呈现纯电阻特性。 ωC ω0 = ü 谐振角频率 / 电路的固有频率： 1 LC Z
解：RLC 支路的等效导纳为： ωL R 1 Y= + jω C = 2 − − ωC) j ( 2 2 2 R + jω L R + (ω L) R + (ω L) 当电压表读数为最大时，电路发生并联谐振。 IS R 1 = = R 2 + (ω L) 2 U 50 ωL R + (ω L)
2 2
ωt
iL
WC = CU 2 ⋅ sin 2 ω 0 t
2 WL = LI L ⋅ cos 2 ω 0 t
W = CU 2
ü 电感电容组成一个孤立的封闭系统，电感电容中的储能发生等量互相 交换现象：电磁振荡。 ü 谐振电路 ~ 振荡电路
【例2.3】 右图所示电路，分析其谐振参数。 解：各支路导纳分别为： u Y
当开关 K 闭合时， 将 R2、XL 串联结构替换为 G2、BL 并联结构（右示）。 由于： P = I 2 R1 + U 2 G2 = 600 + 40 2 ⋅ G2 可求得：G2 = 0.25S ， I G2 = UG2 = 40 × 0.25 = 10A 发现： IG2 的数值与电流表读数一致。 说明此时 XC 与 BL 发生并联谐振，即：X C = 1 BL
I U IR
Ø 谐振（并联谐振能量）
i
u (t ) = 2U sin ω t ü 定义：
则并联谐振时的电容电压和电感电流分别为： u C (t ) = 2U sin ω 0t iL (t ) = 2 u Y
iR R
iL L
iC C
U sin(ω 0 t − 90 o ) = − 2 I L cos ω 0 t ω 0L 因此，电容和电感上的能量分别为： 1 1 2 2 2 2 2 WC = C u C = CU ⋅ sin ω 0 t ， WL = Li = LI L ⋅ cos 2 ω 0 t 2 2 1 2 由于 ω 0 = ，所以： CU 2 = LI L （常数） LC
i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R uR uL uC L C
ρ = ω0L = ü 特征阻抗：谐振时的电抗（感抗或容抗）：
1 L = ω 0C C ω 0L R = 1 ω 0 CR
Q= ü 品质因数：谐振时的电抗（感抗或容抗）与电阻之比： （电抗电压/电阻电压、电抗无功功率/电阻有功功率）
Ø 谐振（串联谐振特点）
ü 纯电阻特性，LC 相当于短路。 Z = Z min = R 电流 I 和电压 UR 达极大值，电路消耗最大功率值。 ü 相量关系（右图）： & L和U & C大小相等，方向相反； U 谐振时， & =U &R +U &L +U &C = U &R = I &R U ü 电感和电容电压可能很大， 但由于两者的无功电压正好抵消， 所以整体电路的无功分量为零。 Z u
n 谐振与频率特性
v 谐振电路 v 频率特性 v 滤波器
v 谐振电路
ü 任意无源一端口网络，端口电压电流一般是不同相的。 （入端阻抗或导纳与电路频率有关） ü 在某个特定频率时，端口电压电流可以是同相的。 （入端阻抗或导纳呈现纯电阻/电导特性） ü 谐振、谐振现象、谐振状态。
Ø 谐振（串联谐振）
iL L
RC
A2
RL
并联谐振时，LC 支路对外相当于断路，所以电流表 A2 读数为零。 &L和 I &C 大小相等，方向相反： 并联谐振时， I IL = U 240 = = 1 .2 A X L 5000 × 40m
即，电流表 A1 读数为 1.2A 。
【例2.6】 右图所示电路（电容 C 可调） 。 iS = 2 sin 1000t A ， 已知： 当 C = 50μF 时，电压表读数最大为 50V。 求：R、L 的值。 iS u R L C V
2 ω0 C 2
i
R uR uL uC L C
u
= 0.02H
U = 1Ω Pmax R = 50
ω 0L
Ø 谐振（并联谐振）
i ü 并联谐振：发生在 RLC 并联电路中的谐振。 ü （右图所示电路）正弦激励时，入端导纳为： 1 1 Y = − j( − ω C ) = G − j ( BL − BC ) R ωL 1 = ω C 时，Y = G ，电路对外呈现纯电导特性。 当 ωL ω0 = ü 谐振角频率 / 电路的固有频率： 1 LC 1 C = ω 0C = ω 0L L ω 0C G = 1 ω 0 LG u Y iR R iL L iC C
因此，当 ω 0 = 1 LC 时，电路发生串联谐振。
ω0
容性 感性
ω
C 右图所示电路，分析其谐振参数。 u C1 L
解：等效导纳为 Y = jB = jω C1 +
1 1 + jω C jω L
X
因此，当 ω 1 =
ω 2 LCC1 − (C + C1 ) = j 1 2 (ω LC − 1) ω0 ω1 ω ω 1 时，电路发生并联谐振。 CC1 L 容性 感性 容性 C + C1
所以，当开关 K 打开时，由于： U 60 + 40 2 R12 + X C = = = 10 I 10 可求得：XC = 8Ω，BL = 0.125S 。 则，R2 = 3.2Ω，XL = 1.6Ω。 说明此时 XC 与 BL 发生并联谐振，即：X C = 1 BL
i
R uR uL uC L C
1 RQ = 0.04 μF L = = 1H ω 0 RQ ω0
【例2.2】 右图所示电路。 已知：信号电压 u (t ) = 10 2 sin(2500t + 15o )V ， 调节电容 C 至 8μF 时，平均功率 Pmax = 100 W 。 求：R、L 的数值，及品质因数 Q 。 解：当平均功率取极大值时，电路产生串联谐振。 此时：L = R= Q= 1
BL
右下图所示正弦交流电路（端口电压不变） 。 已知：当开关 K 打开时电流表读数 10A ，功率表读数 600W ； 开关合上后，功率表读数 1000W ，伏特表读数 40V ，电流表读数不变。 求：R1、 XC 、R2、XL 的值。 解：当开关 K 打开时， U XC = 40V u XC R2 iG2 G2 i * *W A R1 K XL V
Y1 u Y RC C Y1 = 1 RC + 1 jω C
Y2 RL L
若 RL = RC =
L C
1 RC − RL − jω L jω C 1 = ， Y2 = = 2 2 1 + R j ω L 2 2 R ω L + ( ) L L RC + ( ) ωC 1 ωC ωL = ，则： 2 2 1 2 RL 2 + ω L ( ) RC + ( ) ωC + RL