第三章 拉氏变换(2)

(n) n ℓ [ f ( t )]= s F(s) 5. 微分定理
t
6. 积分定理
t
[ f
( n)
F (s) (t )] n s
7. 终值定理 lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
8.初值定理
9.卷积定理
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
⑴ 比较系数法求解：比较等式两边阶次相同的项的系数 例3 已知 解
F ( s)
F ( s)
s 1 ( s 2)(s 3)
求 f ( t)
s 1 k ( s 3) k2 ( s 2) k k 1 2 1 ( s 2)(s 3) s 2 s 3 ( s 2)(s 3)
4. 相似定理
若 [ f (t )] F ( s) 则 [ f ( )] F (s ) 函数变量在时域中缩小（扩大）α倍时，则在复域中 扩大（缩小）α倍
1 已知 [sin t ] s 2 1 则
t
[sin t ]
1
( )2 1
s

1


s
2 2
ℓ[ f
(n)
(t)]=s F(s)
n
用微分定理求常数k的拉氏变换
k [kt ] 2 s
6. 积分定理
k k [k ] s 2 s s
— 函数积分的拉氏变换 设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义， 且ℓ[ f (t)]=F(s)，则 函数一重积分的拉氏变换：
F ( s ) f ( 1) (0) [ f (t )dt] s s

[e
t
f (t )] e
0
t
f (t )e dt
st
f (t ) e
0

( s ) t
dt F ( s )
求
[e
t
cost ]
[e
t
s [cos t ] 2 s 2
cost ]
s (s )2 2
m i si t n 1 n st i 1 i ssk n 1

k

1 st f (t ) e [ s( s 1) 2 ]'
s 0
lim
s1
d 1 2 st s 1 e 2 ds s ( s 1 )

1 st e 3s 2 4 s 1
f ( t) f (t) f (t-α)
0
t
函数在时域中延时，在复域中衰减 求e-β(t-α)的拉氏变换。其中，α、β均为正实数
[e
t
1 ] s
[e
( t )
]e
s
1 s
举例 求幅值为1，宽度为α的矩形波的拉氏变换
f (t)
1 0
α
t
解：矩形波的函数为：f (t) =1(t)-1(t-α)
求 f ( t)
解： 函数有两个单极点0和-3，一个三阶重极点-2。函数展开有
k11 6k12 1
6k11 4
{
1 18 2 k11 3 k1
k12
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) 2 18 s 6 3 s 18 s
e 6t 2 1 f (t ) t 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i F ( s )( s si )
式中，si 为F(s)的单极点，sk 为F(s)的一个n阶重极点
s 例1：已知 F ( s ) s 2 1 ，求 f (t)。
令分母B(s)=s2+1=0，得F(s)的两个单极点：s1=j，s2=-j
s st s 则 f (t ) s 2 1 e 2s
8. 初值定理
若函数 f (t)和 f '(t)均符合拉氏变换定义，且
lim f (t )
t 0
f (t ) lim sF ( s ) 存在，则有 lim t 0 s
例
1 已知 F ( s ) [ f (t )] 2 s 1
试问能否用初值定理和终值定理求出 f(0)和 f (∞)
1
cost
s st e s j 2s
s j
1 jt ( e e jt ) 2
例2
1 求 F ( s) s( s 1) 2
的反变换
解，由上式可知，F(s)有一个单极点s1=0和一个二阶 重极点s2=1。 f (t ) A(s ) e 1 lim d (s s ) A(s) e B' ( s ) (n 1)! ds B( s )
k1 ( s 3) k2 ( s 2) (k1 k2 )s 3k1 2k2 s 1
{k
3k1 2k2 1
1
k2 1
{k
k1 1
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F ( s)
1 2 s2 s3
例4
解
s4 求 F ( s) 2 的反变换 s ( s 6)
s s0
单极点、重极点
2. 求拉氏反变换的方法
① 直接求解法
m
A( s ) F ( s) B( s )
则
n A( s ) st ( s sk ) B( s) e
A( si ) sit 1 d n1 f (t ) e lim n1 s (n 1)! sk ds i 1 B' ( si )
0 t
卷积从不同的观点出发，对其含义有不同的解释。下图 是图解法给出卷积含义的一种解释。 h(t) g(t)
t
0 g(τ) h(t-τ)
t
0
g(τ) h(t-τ) 0 t τ
从控制系统的角度来说，当g(t)为 系统在单位脉冲函数作用下的输 出量时，h(t)为任意输入量，则 相应于h(t)的输出量等于h(t)与g(t) 的卷积。
lim f (t ) lim sin t
t t
所以不能用终值定理判断 f (∞)存在并求出它的值。
9. 卷积定理
（1）定义：函数的卷积是求两个函数相交的积分。若函数g(t)和
h(t)为已知，则它们的卷积定义为： g (t ) h(t ) g ( )h(t )d
2. 卷积定理
t sin t
ℓ[f(t)]=F(s), ℓ[g(t)]=G(s), 则 ℓ[f(t)*g(t)]=G(s)H(s)
2.延时定理 ℓ[f (t)]=F(s) 则ℓ[f (t-α)]=e-αsF(s) 3. 衰减定理 ℓ[e-αtf (t)=F(s+α) 4. 相似定理 [ f ( )] F (s )
1 [1(t )] s
[1(t ] e
s
1 s
1 e s 1 s ( 1 e ) [ f (t )] [1(t ) 1(t )] s s s
3. 衰减定理
证明：
函数在时域中衰减，则在复域中偏移
若ℓ[f(t)]=F(s)，则ℓ[e-αtf (t)]=F(s+α)。其中α为实数
其中 f ( 1) (0) f (t )dt t 0
函数二重积分的拉氏变换：
[ F ( s ) f ( 1) (0) f ( 2 ) (0) f (t )dt] 2 2 s s s
特别地，当初始条件为0时，则有
F ( s) [ f (t )dt ] s

1 s
n 1
n! [t ] n 1 s
7. 终值定理
若函数 f (t)和 f '(t)均符合拉氏变换定义，且 lim f (t )
t
f (t ) lim sF ( s ) 存在，则有 lim t s 0
注意本定理的使用条件，如正弦函数、余弦函数当 t→∞时，极限不存在
第三章 拉氏变换
拉氏逆变换
F ( s) f (t )e st dt —— 拉普拉斯变换公式
0

第二节 拉氏变换的几个定理
1. 线性定理
若 l [ f (t)] = F(s)，则 [kf (t )]
k[ f (t )] kF ( s)
若
f (t ) h(t ) g (t )
[ f (t )] F (s) [h(t )] H ( s)
且
[ g (t )] G( s) 则 F (s) H (s) G(s)
2. 延时定理
，
若 f (t-α)为f (t)的延时函数，其中α为任意正实数， 且 ℓ[f (t)]=F(s) 则 ℓ[f (t-α)]=e-αsF(s)
lim f (t ) lim sF ( s ) lim
t 0 s
s 0 s s 2 1
所以能够用初值定理求出 f (0)，并且 f (0)=0。
s lim sF ( s) lim 2 0 s 0 s 0 s 1
那么是否可以确定 f (∞)=0？
1 实际上， f (t ) 1 sin t 2 s 1
s si
s sk n 对于重极点对应的系数有 k11 F ( s )( s sk )
k1 p
1 s( s 3)(s 2) 3
1 d p 1 n F ( s )( s s ) k p 1 ( p 1)! ds ss
k
例5 已知
F ( s)
1 已知 [e ] s 则
t
[e
t
1 1 ] s s 1
5. 微分定理
— 导数的拉氏变换
设函数 f (t)及其各阶导数均符合拉氏变换定义，且 ℓ[ f (t)]=F(s)，则 一阶导数的拉氏变换 ℓ[ f '(t)]=sF(s)- f (0)； 二阶导数的拉氏变换 ℓ[ f "(t)]=s2F(s)-sf (0)- f '(0)； 特别地，当初始条件为0时，则有 ℓ[ f ' (t)]=sF(s)； ℓ[ f "(t)]=s2F(s)；
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 t * sint
解，依卷积的定义得 t sin t
t
sin(t )d
0
t
t
利用分部积分可得 cos(t ) 0 0 cos(t )d 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t)
F ( s)
n
n 1 p p 1 s sk
k1 p
s4 k1 k11 k12 k1s 2 k11s 6k11 k12 s 2 6k12 s F ( s) 2 2 s ( s 6) s 6 s s 2 ( s 6) s
{
k1 k12 0
ℓ[f(t)*g(t)]=G(s)H(s)
拉氏反变换
根据F(s)计算 f(t)，即
f (t ) 1[ F ( s)]
lim B ( s ) 0
s s0
1. 两个概念：函数的零点和极点 零点： 若s0是函数 B(s) 的零点，则有
，
简单地说，B(s)的零点就是方程B(s)=0的根，其中， B(s)是s的多项式。 A(s)和B(s)是s的多项式，并且B(s) 极点：若函数 F ( s ) A( s ) ， B( s ) 的阶次比A(s)的高， 则F(s)的极点就是B(s)的零点。即，若s0是函数F(s)的极点， 则有 lim F ( s )
t st 1 st lim e 2e s 0 s1 s s
1 e (t 1)
t
当函数含有较高阶次的重极点时，进行高阶导数运算就比 较麻烦。
② 查表法：把函数按分部积分法展开，然后整理成 “拉氏变换表”上表示的式子。
n k1 p A( s) m ki F ( s) B( s) i 1 s si p1 s sk n1 p
[
F ( s) f (t )dt ] 2 s
[ f
( n)
F (s) (t )] n s
用积分定理求函数 tn 的拉氏变换
tn n!
1(t )(dt)
0 0 0
t t
t
n
且t=0, f (t)=0
n
t n [1(t )] n n ! s