第二章拉普拉斯变换
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第二章 拉普拉斯变换
例5 求正弦函数 f (t ) sin k t
解 ℒ
st
(k R) 的拉氏变换
则
1 f (t ) 0 sin k t e dt 0 sin k t de s t s 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
f (t T ) f (t ) (t 0)
当 f (t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1 ℒ f (t ) s T 1 e
T
0
f (t )e s t dt
这是求周期函数拉氏变换公式
2.2 拉普拉斯变换的性质
2.2.1 线性性质 ℒ [ f 2 (t )] F2 ( s) ， , 常数 设 ℒ [ f1 (t )] F1 ( s) ， 则
Re s 0
n t 例4 求幂函数 n 1 的拉氏变换。
解: ℒ t 0
n
n 1 t e dt s n 1
n st
Re s 0
当 n 为正整数时,
n! ℒ t s n 1
n
Re s 0
0
2 k k sin k t e s t dt 2 2 s s
0
sin k t e s t dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
2.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 可以证明:若 f (t ) 是周期为 T 的周期函数,即
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉普拉斯变换
k 解：已知 L[sin kt ] = 2 由位移性质得 2 s +k
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
拉普拉斯变换
L[ f
(n)
(t )]
( n 2)
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) s f s L [ f (t )] s n 1i f ( i ) (0)
n i 0 n 1
(0) f
( n 1)
(0)
L [ t m ] 和 L cos kt ， 练习： 利用（2.4）式，求
s 1
①
(m 1) m (m)
② Γ(1) 1
由上述性质，可知当 m为正整数时，有 (m 1) m ! ，
从而当 m 为正整数时，有 （Re (s) > 0）。
m! L [ t ] m 1 s
m
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换
注：广义函数 (t )是用“分布”的概念定义的。具体说 来， ) f (t ) (t 满足条件：对任意连续函数 , 成立着 b 当 0 [ a, b] 0 f (t ) (t )dt f (0) 当0 [a, b] a
解：由
(t )
L (t )
的性质，可得
0
(t ) e st dt e st
t 0
1
注意：上式意味着积分区间包含了它的端点。
书上的附录Ⅱ（见 p106）给出了一些常见函数的拉氏变换。 请特别记住以下结果：
①
1 L 1 s
②
(m 1)
s m 1
§2.3 拉普拉斯逆变换（ p72）
定理：若 s1、s2、…、sn 是F(s) 所有奇点，且当 s→∞时F(s)→0。则有
f (t ) L1[ F ( s)] Res[ F ( s) e st , sk ]
(n)
(t )]
( n 2)
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) s f s L [ f (t )] s n 1i f ( i ) (0)
n i 0 n 1
(0) f
( n 1)
(0)
L [ t m ] 和 L cos kt ， 练习： 利用（2.4）式，求
s 1
①
(m 1) m (m)
② Γ(1) 1
由上述性质，可知当 m为正整数时，有 (m 1) m ! ，
从而当 m 为正整数时，有 （Re (s) > 0）。
m! L [ t ] m 1 s
m
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换
注：广义函数 (t )是用“分布”的概念定义的。具体说 来， ) f (t ) (t 满足条件：对任意连续函数 , 成立着 b 当 0 [ a, b] 0 f (t ) (t )dt f (0) 当0 [a, b] a
解：由
(t )
L (t )
的性质，可得
0
(t ) e st dt e st
t 0
1
注意：上式意味着积分区间包含了它的端点。
书上的附录Ⅱ（见 p106）给出了一些常见函数的拉氏变换。 请特别记住以下结果：
①
1 L 1 s
②
(m 1)
s m 1
§2.3 拉普拉斯逆变换（ p72）
定理：若 s1、s2、…、sn 是F(s) 所有奇点，且当 s→∞时F(s)→0。则有
f (t ) L1[ F ( s)] Res[ F ( s) e st , sk ]
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换
械的
控位
移
制定
理理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一 常数a,有
L[eatf (t)] F(s a)
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机微
械分
控
定 理
制
理
论
设f(t)的拉氏变换为F(s),
则 L[df (t)] L[ f '(t)] sF(s) f (0 )
dt
其中f(0+)由正向使t 0时的f(t)值。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法Leabharlann 一、复数和复变函数机
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
械
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
控
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果 不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比
制 较大小.
理 共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
证明技巧：可利用微分定理来进
行证明
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机
械
终 值
控定
制理
理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值
定理表示为：
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机 拉普拉斯(Laplace)变换:
械 时域的微分方程
复数域的代数方程
控 优点：1、用图解法预测系统性能；
制
2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量
和稳态分量。
理
第二章 拉普拉斯变换
1. 常用函数的拉氏变换
(1) 指数函数
0
t0
f
(t
)
Aet
t0
（2.6）
式中，A和α为常数。
其拉氏变换为
L[ Aet ] Aetestdt A e( s)tdt A
0
0
s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换
(2) 阶跃函数
f
(t
)
0 A
t0 t 0
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ Asin t] A (e jt e jt )estdt 2j 0
A 2j
s
1 j
A 2j
s
1 j
A s2 2
（2.17）
类似地， Acost（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：
L[ Acost] As s2 2
（2.18）
(5) 脉动函数
A
f
t
图2.1 单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换
单位阶跃函数 u(t)
0
t0
u(t) 1
t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u(t)] estdt 1
0
s
（2.11）
实际上，发生于t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时，
把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t) Au(t) 。
从拉氏变换 F(s)求时间函数 f (t) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
L1[F (s)] f (t) 1
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第二章 拉普拉斯变换
t
的 Fourier 变换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平 Re s c 面 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。 ,
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零，
(1)
(2) (3)
[1] = [ u ( t ) ]
[ ( t ) ] 1; [t m ]
s m!
m 1
1 s
;
(4)[eat源自]1 sa
2
;
s ; .
(5)
Γ ( m 1) s
m 1
[ cos a t ]
[
sin a t
;
(6)
]
s a a s a
2
2
2
特点 变换的结果均为分式函数。
3、复数的向量表示法 4、复数的三角表示法 5、复数函数
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铃
2
1、复数域
1.1 虚单位:
实例 : 方程 x 1 在实数集中无解
2
.
对虚数单位的规定:
( 1 ) i 1;
2
(2) i 可以与实数进行四则运算
3
虚数单位的性质:
i i;
1 4 2 2
i 1;
4n 2
1,
i
4n 3
i.
4
1.2 复数的代数形式的定义:
对于 x , y R , 称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
实部 记做：Rez=x
第二章 拉普拉斯变换
非重根si：
二重根sj：
1.对F(s)的分母做因式分解后，将F(s)分 解为三部分：
2.利用留数定理确定待定系数：
由此得到F(s)的常用函数组合：
3.利用Laplace变换的线性性质和复移位性 质，反变换F(s)得到f(t):
三、象函数包含有共轭复根
• 共轭复根的特点是两个根具有相同的实部 和符号相反的虚部，如： • 共轭复根在象函数的分母中可以表示为：
的形式，其中
。
的形式，其中
。
6. 初值定理： 若 和 均可以进行Laplace变
换，且
存在，则：
7. 终值定理： 若 和 且
均可以进行Laplace变换，
存在，则：Байду номын сангаас
说明：该定理只适用于像函数 在复平 面右半平面和虚轴上（除坐标原点外）没有 极点的情况。即： 的根不能是 正实数或纯虚数
第二章
第3小节
的
推论：若
，则
同理：
4. 延迟性质： 时间函数 数等于 若 在时间轴上平移 的像函数 ，则： ,其像函 。 乘以指数因子
5. 复移位性质： 原函数 乘以指数 ，其像函数等于 的像函数 在复数域平移a，其中a 为实常数可取正、负值。 若 ，则：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例：电阻、电感、电容串联 构成的电路如图，其中， 各元件初始状态皆为0，即：
当电压源上产生单位阶跃函 数的电压后，电路的输出会 产生怎样的响应函数。
解： 1. 列写电路的微分方程 输入信号： 输出信号： 串联电路：
2. 对微分方程进行拉氏变换 零初始条件下：
3.求解拉氏变换后的代数方程：
第二章拉普拉斯变换.ppt
K11 (s s1)r
(s
K12 s1)r1
...
K1r s s1
F2 (s)
(s s1)r F(s) K11 (s s1)K12 ... (s s1)i1K1i ...
(s s1)r1K1r (s s1)r F2(s)
K11
s2 2
cost 1 d sin t dt
线性、微分定理
Lcost
1
s
s2
2
s2
s
2
Example 3
sin t 1 d cost dt
线性、微分定理
?
Lsin t
1
s
s2
s
2
s2 / s2 2
cos
m
m1
s X c (s) an1s X c (s) a0 X c (s)
n
n1
用 s 替代微分，用1/s 替代积分
五、时域积分特性(定理)
f t Fs
n重f积t分dt n
s n
1
m1
F(s)
f
s nm1 (0 )
n (m)
1(t) F (s) 0 (t)e dt
st
s 1
2)e-at
eat F(s) 0eatestdt
sa 1
前一页 后一页
3)tn(n为整数)
tn F(s)
0t
nest dt
s
t n est
s
0
n
0t
n1est
第2章 拉普拉斯变换及其应用
j
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
5
第二章 拉普拉斯变换及其应用
•
由于0
f
(t)e是st d一t 个定积分，
将在t 新函数
中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复
变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
• 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
第二章 拉普拉斯变换及其应用
自动控制原理
1
第二章 拉普拉斯变换及其应用
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
2
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： • 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
s(s 1)
s s 1
19
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
例2-5 求典型一阶系统的单位阶跃响应的原函数。
T dc(t) c(t) r(t) dt
解：单位阶跃信号， r(t) 1(t) 则
R(s) 1 s
TsC(s) C(s) R(s) C(s) 1 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
B A
1
2
A
B
1
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
5
第二章 拉普拉斯变换及其应用
•
由于0
f
(t)e是st d一t 个定积分，
将在t 新函数
中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复
变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
• 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
第二章 拉普拉斯变换及其应用
自动控制原理
1
第二章 拉普拉斯变换及其应用
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
2
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： • 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
s(s 1)
s s 1
19
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
例2-5 求典型一阶系统的单位阶跃响应的原函数。
T dc(t) c(t) r(t) dt
解：单位阶跃信号， r(t) 1(t) 则
R(s) 1 s
TsC(s) C(s) R(s) C(s) 1 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
B A
1
2
A
B
1
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
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第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
拉普拉斯变换
三、一些常用函数的拉普拉斯变换
公式
1 1. L[u (t )] = (Re p > 0) p 1 − pb L[u (t − b)] = e (Re p > 0) p 1 at 2. L[e ] = (Re p > Re a ) p−a a 3. L[sin at ] = (Re p > Im a ) 2 2 p +a p L[cos at ] = 2 (Re p > Im a ) 2 p +a
(2) L[t sin t ]
5. 积分性
F ( p) L[ f (t )] = F ( p ) ⇒ L[ ∫0 f (u )du ] = , p ∞ f (t ) ∞ −1 若 ∫p F ( ρ )d ρ 存在 ⇒ = L [ ∫p F ( ρ )d ρ ] t f (t ) ∞ ⇔ L[ ] = ∫p F ( ρ )d ρ t
p →∞
f (0) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →0 p →∞
终值定理 若 L[ f (t )] = F ( p ), L[ f ′(t )]与 lim f (t )
t →+∞
存在，则
f (+∞) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →+∞ p →0
基本公式
+∞
1 α + i∞ pt ==== ∫α −i∞ F ( p)e dp = f (t )(t > 0) dp = idw 2π i
p =α + iw
二、求拉氏逆变换的方法
1、公式+性质法： 2、留数法：（p181定理）
f (t ) = L [ F ( p )] = ∑ Re s[ F ( p)e , pk ]
拉普拉斯变换
其中s j，f t t u t
0
0
f t e
j t
dt
f t e st dt
s 设F s G j
3
则F s
定义：
0
f t e st dt （s为复参量）
2.微分性质
若L f t F s ，则有L f t sF s f 0 .
证明： L f t
0
f t e-st dt
19
f t e
-st 0
sL f t f 0 .
2 f 0 1 ， f 0 0 ， f t k cos kt 解：
由性质2有
2 L k cos kt f t L
s2 L f t sf 0 f 0
如u t ， cos kt ，t m 等函数都不满足傅氏积分定理中
的绝对可积条件,但它们满足拉氏定理中的条件2
9
事实上 u t 1 e 0t，M 1，c 0
cos kt 1 e ， M 1，c 0
0t
tm 由于 lim t 0，所以t 充分大后有t m e t t e 故t m 是按指数级增长的函数 M 1，c 1
k 0
2 k 1b
2 kb
f t e dt
-st
令t 2kb，则
2 k 1b
2 kb
f t e dt
-st
2b
第二章拉普拉斯变换
f (t )
F ( s)
解：将F(s)进行因式分解后得到
C3 C2 C1 C4 ( s 1) 2 s 1 s s 3 s2 2 C3 lim s F ( s) lim 2 3 s 0 s 0 ( s 1) ( s 3) s2 1 C 4 lim ( s 3) F ( s) lim 2 12 s 3 s 3 s ( s 1) s2 1 C 2 lim ( s 1) 2 F ( s) lim 2 s 11 s 11 s ( s 3) d d s2 3 C1 lim [(s 1) 2 F ( s)] lim [ ] 4 s 11 ds s 11 ds s ( s 3)
f (t )
的拉
拉氏变换的几 个基本定理
并称 4.位移定理 e at t 0 f (t ) at f(t) 称为 F(s) 的原函数。 L [ e f ( t )] F 0 at) 0 • 复域位移定理 (s
f(t)
0
n L t... f ( t ) dt s n F ( s) F(s) f(t) 的象函数或变换函数， n 为
s 0
0
2.1 控制系统的微分方程
例一
已知
f (t ) A，求F(s)。这里A是常数。
A s
解：因为A是常数，所以，根据线性定理则有
F ( s ) L[ A 1(t )] AL[1(t )]
例二
已知 f (t ) t ，求F(s)。
解：根据实域位移定理则有
e s F ( s) L[(t ) 1(t )] 2 s
将所求得的系数代入F(s)中
1 1 3 1 2 1 1 1 F ( s) 2 ( s 1) 2 4 s 1 3 s 12 s 3
拉普拉斯变换
t
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工程数学 --------- 积分变换
推论
1 Λ[∫ dt∫ dtL∫ f (t)dt] = n F(s) 0 0 0 s 象函数积分性质 ∞ f (t) − 1 Λ [∫ F(s)ds] = s t 或 ∞ f (t) ] = ∫ F(s)ds Λ[ s t 一般地 ∞ ∞ ∞ f (t) Λ[ n ] = ∫ ds∫ dsL∫ F(s)ds s s s t
Λ[ f (n) (t)] = snF(s) −sn−1 f (0) −L− f (n−1) (0)
特别地， 特别地， f (0) = f ′(0) =L= f (n−1) (0) = 0 ， 当 时 有
Λ[ f (t)] = s F(s)
(n) n
工程数学 --------- 积分变换
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F(s) = ∫ f (t)e−stdt
0 +∞
在 平 R s) > c一 存 ， 端 分 R s) ≥ c1 > c上 半 面 e( 定 在 右 积 在 e( 半 面 ， 绝 收 而 一 收 ， 且 R s) > c的 平 内 对 敛 且 致 敛 并 在 e(
F(s)为 析 数 解 积分变换 . 函 工程数学 ---------
F(s) = Λ[ f (t)]
工程数学 --------- 积分变换
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f (t)称 F(s)的 普 斯 变 (象 函 ), 记 为 拉 拉 逆 换 原 数 作
f (t) = Λ−1[F(s)]
注：
Λ[ f (t)] = Φ [ f (t)u(t)e−βt ]
工程数学 --------- 积分变换
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工程数学 --------- 积分变换
推论
1 Λ[∫ dt∫ dtL∫ f (t)dt] = n F(s) 0 0 0 s 象函数积分性质 ∞ f (t) − 1 Λ [∫ F(s)ds] = s t 或 ∞ f (t) ] = ∫ F(s)ds Λ[ s t 一般地 ∞ ∞ ∞ f (t) Λ[ n ] = ∫ ds∫ dsL∫ F(s)ds s s s t
Λ[ f (n) (t)] = snF(s) −sn−1 f (0) −L− f (n−1) (0)
特别地， 特别地， f (0) = f ′(0) =L= f (n−1) (0) = 0 ， 当 时 有
Λ[ f (t)] = s F(s)
(n) n
工程数学 --------- 积分变换
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F(s) = ∫ f (t)e−stdt
0 +∞
在 平 R s) > c一 存 ， 端 分 R s) ≥ c1 > c上 半 面 e( 定 在 右 积 在 e( 半 面 ， 绝 收 而 一 收 ， 且 R s) > c的 平 内 对 敛 且 致 敛 并 在 e(
F(s)为 析 数 解 积分变换 . 函 工程数学 ---------
F(s) = Λ[ f (t)]
工程数学 --------- 积分变换
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f (t)称 F(s)的 普 斯 变 (象 函 ), 记 为 拉 拉 逆 换 原 数 作
f (t) = Λ−1[F(s)]
注：
Λ[ f (t)] = Φ [ f (t)u(t)e−βt ]
工程数学 --------- 积分变换
第二章 拉氏变换
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
第2章第1节拉普拉斯变换
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
AEEC
航空工程实验中心
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。由F(s) 可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 t
f 2 ( ) d f1 (t )e st dt
令t , 则 L[ f1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0
f 2 ( ) d f1 ( )e s ( ) d
0
0
f 2 ( )e
s
1
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 1 1 ( 1) 1 ( 2 ) 2 L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 1 n L[ f (t )dt ] n F ( s) s 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
L[ h(t )] sL[ h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[ h(t )] L[ h (t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
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f (t ) Me ( M和k为实常数)
kt
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4
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第二章
拉普拉斯变换
如果复变函数 F ( s ) 是时间函数 f (t ) 的拉氏变换，则f (t ) 称为 F ( s ) 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
控 制 工 程 基 础
f (t ) L [ F ( s )]
1
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第二章
拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t )] F ( s )，对于任意常数a(实数或复数)，有
Le
控 制 工 程 基 础
at
f t F s a
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第二章
控 制 工 程 基 础
L f t
T 0
0
f t e st dt
st 2T st
f t e dt f t e dt
T
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
(0) f (t )dt
0
t
t 0
推论 若
L[ f (t )] F (s)
则
t t t 1 1 ( 1) 1 ( 2) n L f (t )(dt ) n F ( s ) n f (0) n 1 f (0) 0 0 0 s s s 1 (n) f (0) s
推论 若
L[ f (t )] F (s) ，则
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) n dt ( n 1) (0) 0 时，有 特别地，当 f (0) f (0) f
控 制 工 程 基 础
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2
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第二章
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t )， t 0 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为
控 制 工 程 基 础
L[ f (t )] F ( s ) f (t ) e dt
st 0
象函数(Image Function)
控 制 工 程 基 础
数学表达式为
e at
0 t
r ( t) = (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。
其拉氏变换为
at
eat
图2-1-5 指数函数
1 L[e ] e e dt 0 sa 1 at at st L[e ] e e dt 0 sa
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第二章
拉普拉斯变换
( 1) ( 2) (n) f (0) f (0) f (0) 0 当初始条件为零时，
t 1 L f (t )dt F ( s ) 0 s
控 制 工 程 基 础
t t t 1 n L f (t )( dt ) n F ( s ) 0 0 0 s
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第二章
拉普拉斯变换
注:欧拉公式
控 制 工 程 基 础
e cos t j sin t
jt
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第二章
拉普拉斯变换
第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
控 制 工 程 基 础
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号 同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独 作用所产生的响应之和。如 r1 c1，r2 c2 ，则
st
1 jt jt st (e e )e d t 2j 0 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) cos t
控 制 工 程 基 础
(t≥0)
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第二章
拉普拉斯变换
八、初值定理(Initial Value Theorem)
若 L[ f (t )] F (s) ，且 lim sF ( s ) 存在，则
控 制 工 程 基 础
L 1 e 2 t cos3t t 3 (t )
L1 L e 2 t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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第二章
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第二章
拉普拉斯变换
主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介
控 制 工 程 基 础
第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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1
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第二章
拉普拉斯变换
第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏 变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。
L[ f
(n)
(t )] s F ( s )
n
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第二章
拉普拉斯变换
七、积分性质(Integration Property)
若L[ f (t )] F ( s)则 L
其中 f
控 制 工 程 基 础
(-1)
0
t
( 1) F ( s ) f (0) f (t )dt s s
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s )
，对任意实数 a ,则
as
控 制 工 程 基 础
L[ f (t a )] e
F (s)
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第二章
拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t ) 是以T 为周期的周期函数,即 f (t T ) f (t ) ， 则有
原函数(Original Function )
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3
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第二章
拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t ) 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t ) 是分段连续的；
控 制 工 程 基 础
(3)当t→﹢∞时， f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数， 即
r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ，
则 kr kc 。
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第二章
拉普拉斯变换 a和b为常数
若有
L[ f 1 (t )] F1 ( s )
(t )
1
控 制 工 程 基 础
0
图2-1-1 单位脉冲函数
t
t 0 (t ) 0 t 0
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第二章
拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质
控 制 工 程 基 础
(t ) dt
0
0
(t ) dt 1
(t ) f (t ) dt f (0)
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n ( n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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at
st
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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
0
t
控 制 工 程 基 础
图2-1-2 单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 t0
u(t ) 的拉氏变换为 L[u (t )]
0
u (t ) e dt e dt
st st 0