第二章拉普拉斯变换
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st
1 jt jt st (e e )e d t 2j 0 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) cos t
控 制 工 程 基 础
(t≥0)
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5
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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6
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
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第二章
拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t )] F ( s )，对于任意常数a(实数或复数)，有
Le
控 制 工 程 基 础
at
f t F s a
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第二章
控 制 工 程 基 础
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2
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第二章
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t )， t 0 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为
控 制 工 程 基 础
L[ f (t )] F ( s ) f (t ) e dt
st 0
象函数(Image Function)
控 制 工 程 基 础
数学表达式为
e at
0 t
r ( t) = (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。
其拉氏变换为
at
eat
图2-1-5 指数函数
1 L[e ] e e dt 0 sa 1 at at st L[e ] e e dt 0 sa
at
st
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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
L[ f
(n)
(t )] s F ( s )
n
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第二章
拉普拉斯变换
七、积分性质(Integration Property)
若L[ f (t )] F ( s)则 L
其中 f
控 制 工 程 基 础
(-1)
0
t
( 1) F ( s ) f (0) f (t )dt s s
st
其拉氏变换为
L[cos t ] cos te dt
0
1 jt jt st (e e )e d t 2 0 s 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
(八) 幂函数 幂函数（Power Function）的数学表达式为
r (t ) t
任意连续函数
其拉氏变换为
L[ (t )]
0
(t ) e st dt 1
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第二章
u(t )
1
拉普拉斯变换
（二）单位阶跃函数
单位阶跃函数(Unit Step Function )又称位置函数通常用 u(t ) 或1(t)来表示。 其变化曲 线如图2-1-2所示。 数学表达式为
f (t ) Me ( M和k为实常数)
kt
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4
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第二章
拉普拉斯变换
如果复变函数 F ( s ) 是时间函数 f (t ) 的拉氏变换，则f (t ) 称为 F ( s ) 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
控 制 工 程 基 础
f (t ) L [ F ( s )]
1
0
t
控 制 工 程 基 础
图2-1-2 单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 t0
u(t ) 的拉氏变换为 L[u (t )]
0
u (t ) e dt e dt
st st 0
1 s
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第二章
拉普拉斯变换
（三）单位斜坡函数
单位斜坡函数(Unit Ramp Function)又称速度函数，其变 化曲线如图2-1-3所示。
原函数(Original Function )
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3
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第二章
拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t ) 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t ) 是分段连续的；
控 制 工 程 基 础
(3)当t→﹢∞时， f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数， 即
则
L[ f 2 (t )] ，
F2 ( s )
控 制 工 程 基 础
L[ af1 (t ) bf 2 (t )]
aF1 ( s ) bF2 ( s )
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第二章
拉普拉斯变换
例2-2
求 L[1 e 2t cos3t t 3 (t )] 。
解：
控 制 工 程 基 础
L 1 e 2 t cos3t t 3 (t )
L1 L e 2 t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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第二章
控 制 工 程 基 础
r (t )
t
0 数学表达式为 r (t ) t
其拉氏变换为
ห้องสมุดไป่ตู้ st
t0 t0
o
图2-1-3 单位斜坡函数
t
L[ r (t )] r (t ) e dt te st dt
0 0
1 st 1 st 1 (te ) e dt 2 s s 0 s 0
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第二章
拉普拉斯变换
( 1) ( 2) (n) f (0) f (0) f (0) 0 当初始条件为零时，
t 1 L f (t )dt F ( s ) 0 s
控 制 工 程 基 础
t t t 1 n L f (t )( dt ) n F ( s ) 0 0 0 s
r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ，
则 kr kc 。
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第二章
拉普拉斯变换 a和b为常数
若有
L[ f 1 (t )] F1 ( s )
控 制 工 程 基 础
L f t
T 0
0
f t e st dt
st 2T st
f t e dt f t e dt
T
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
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第二章 r(t)
拉普拉斯变换
（四）单位加速度函数
单位加速度函数（Unit Acceleration Function）又称抛物函数(Parabolic Function)，其变化曲线如图2-1-4。
控 制 工 程 基 础
0 数学表达式为 r (t ) 1 2 t 2
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第二章
拉普拉斯变换
八、初值定理(Initial Value Theorem)
若 L[ f (t )] F (s) ，且 lim sF ( s ) 存在，则
(t )
1
控 制 工 程 基 础
0
图2-1-1 单位脉冲函数
t
t 0 (t ) 0 t 0
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第二章
拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质
控 制 工 程 基 础
(t ) dt
0
0
(t ) dt 1
(t ) f (t ) dt f (0)
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s )
，对任意实数 a ,则
as
控 制 工 程 基 础
L[ f (t a )] e
F (s)
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第二章
拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t ) 是以T 为周期的周期函数,即 f (t T ) f (t ) ， 则有
推论 若
L[ f (t )] F (s) ，则
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) n dt ( n 1) (0) 0 时，有 特别地，当 f (0) f (0) f
其拉氏变换为
t0 t0
0
t
图2-1-4 单位加速度函数
L[r (t )] r (t ) e dt
st 0
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
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第二章
r(t)
拉普拉斯变换
（五）指数函数
e at
指数函数(Exponential Function) 分为指数增长函数和指数衰减函数。 1 变化曲线如图2-1-5所示 。
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第二章
拉普拉斯变换
注:欧拉公式
控 制 工 程 基 础
e cos t j sin t
jt
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第二章
拉普拉斯变换
第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
控 制 工 程 基 础
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号 同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独 作用所产生的响应之和。如 r1 c1，r2 c2 ，则
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第二章
拉普拉斯变换
主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介
控 制 工 程 基 础
第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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1
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第二章
拉普拉斯变换
第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏 变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。
(0) f (t )dt
0
t
t 0
推论 若
L[ f (t )] F (s)
则
t t t 1 1 ( 1) 1 ( 2) n L f (t )(dt ) n F ( s ) n f (0) n 1 f (0) 0 0 0 s s s 1 (n) f (0) s
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n ( n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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1 s L[ f ( at )] F ( ) a a
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第二章
拉普拉斯变换
六、微分性质(Differentiation Property)
若L[ f (t )] F ( s )则
L[
d f (t )] sF ( s ) f (0) dt
控 制 工 程 基 础
f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设 f (0-) = f (0+) = f (0) 。
拉普拉斯变换
五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale) 时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换 特性(Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property)。
控 制 工 程 基 础
若 L[ f (t )] F ( s)，a 是任意常数，则
1 jt jt st (e e )e d t 2j 0 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) cos t
控 制 工 程 基 础
(t≥0)
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
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拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t )] F ( s )，对于任意常数a(实数或复数)，有
Le
控 制 工 程 基 础
at
f t F s a
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控 制 工 程 基 础
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拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t )， t 0 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为
控 制 工 程 基 础
L[ f (t )] F ( s ) f (t ) e dt
st 0
象函数(Image Function)
控 制 工 程 基 础
数学表达式为
e at
0 t
r ( t) = (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。
其拉氏变换为
at
eat
图2-1-5 指数函数
1 L[e ] e e dt 0 sa 1 at at st L[e ] e e dt 0 sa
at
st
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拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
L[ f
(n)
(t )] s F ( s )
n
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拉普拉斯变换
七、积分性质(Integration Property)
若L[ f (t )] F ( s)则 L
其中 f
控 制 工 程 基 础
(-1)
0
t
( 1) F ( s ) f (0) f (t )dt s s
st
其拉氏变换为
L[cos t ] cos te dt
0
1 jt jt st (e e )e d t 2 0 s 2 2 s
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拉普拉斯变换
(八) 幂函数 幂函数（Power Function）的数学表达式为
r (t ) t
任意连续函数
其拉氏变换为
L[ (t )]
0
(t ) e st dt 1
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u(t )
1
拉普拉斯变换
（二）单位阶跃函数
单位阶跃函数(Unit Step Function )又称位置函数通常用 u(t ) 或1(t)来表示。 其变化曲 线如图2-1-2所示。 数学表达式为
f (t ) Me ( M和k为实常数)
kt
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拉普拉斯变换
如果复变函数 F ( s ) 是时间函数 f (t ) 的拉氏变换，则f (t ) 称为 F ( s ) 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
控 制 工 程 基 础
f (t ) L [ F ( s )]
1
0
t
控 制 工 程 基 础
图2-1-2 单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 t0
u(t ) 的拉氏变换为 L[u (t )]
0
u (t ) e dt e dt
st st 0
1 s
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（三）单位斜坡函数
单位斜坡函数(Unit Ramp Function)又称速度函数，其变 化曲线如图2-1-3所示。
原函数(Original Function )
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拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t ) 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t ) 是分段连续的；
控 制 工 程 基 础
(3)当t→﹢∞时， f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数， 即
则
L[ f 2 (t )] ，
F2 ( s )
控 制 工 程 基 础
L[ af1 (t ) bf 2 (t )]
aF1 ( s ) bF2 ( s )
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拉普拉斯变换
例2-2
求 L[1 e 2t cos3t t 3 (t )] 。
解：
控 制 工 程 基 础
L 1 e 2 t cos3t t 3 (t )
L1 L e 2 t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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控 制 工 程 基 础
r (t )
t
0 数学表达式为 r (t ) t
其拉氏变换为
ห้องสมุดไป่ตู้ st
t0 t0
o
图2-1-3 单位斜坡函数
t
L[ r (t )] r (t ) e dt te st dt
0 0
1 st 1 st 1 (te ) e dt 2 s s 0 s 0
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( 1) ( 2) (n) f (0) f (0) f (0) 0 当初始条件为零时，
t 1 L f (t )dt F ( s ) 0 s
控 制 工 程 基 础
t t t 1 n L f (t )( dt ) n F ( s ) 0 0 0 s
r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ，
则 kr kc 。
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拉普拉斯变换 a和b为常数
若有
L[ f 1 (t )] F1 ( s )
控 制 工 程 基 础
L f t
T 0
0
f t e st dt
st 2T st
f t e dt f t e dt
T
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
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拉普拉斯变换
（四）单位加速度函数
单位加速度函数（Unit Acceleration Function）又称抛物函数(Parabolic Function)，其变化曲线如图2-1-4。
控 制 工 程 基 础
0 数学表达式为 r (t ) 1 2 t 2
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拉普拉斯变换
八、初值定理(Initial Value Theorem)
若 L[ f (t )] F (s) ，且 lim sF ( s ) 存在，则
(t )
1
控 制 工 程 基 础
0
图2-1-1 单位脉冲函数
t
t 0 (t ) 0 t 0
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拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质
控 制 工 程 基 础
(t ) dt
0
0
(t ) dt 1
(t ) f (t ) dt f (0)
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s )
，对任意实数 a ,则
as
控 制 工 程 基 础
L[ f (t a )] e
F (s)
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拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t ) 是以T 为周期的周期函数,即 f (t T ) f (t ) ， 则有
推论 若
L[ f (t )] F (s) ，则
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) n dt ( n 1) (0) 0 时，有 特别地，当 f (0) f (0) f
其拉氏变换为
t0 t0
0
t
图2-1-4 单位加速度函数
L[r (t )] r (t ) e dt
st 0
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
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（五）指数函数
e at
指数函数(Exponential Function) 分为指数增长函数和指数衰减函数。 1 变化曲线如图2-1-5所示 。
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注:欧拉公式
控 制 工 程 基 础
e cos t j sin t
jt
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第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
控 制 工 程 基 础
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号 同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独 作用所产生的响应之和。如 r1 c1，r2 c2 ，则
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主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介
控 制 工 程 基 础
第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏 变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。
(0) f (t )dt
0
t
t 0
推论 若
L[ f (t )] F (s)
则
t t t 1 1 ( 1) 1 ( 2) n L f (t )(dt ) n F ( s ) n f (0) n 1 f (0) 0 0 0 s s s 1 (n) f (0) s
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n ( n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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1 s L[ f ( at )] F ( ) a a
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六、微分性质(Differentiation Property)
若L[ f (t )] F ( s )则
L[
d f (t )] sF ( s ) f (0) dt
控 制 工 程 基 础
f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设 f (0-) = f (0+) = f (0) 。
拉普拉斯变换
五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale) 时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换 特性(Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property)。
控 制 工 程 基 础
若 L[ f (t )] F ( s)，a 是任意常数，则