第4章拉普拉斯变换
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第4章_拉普拉斯变换
若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内，
则有 x(t )e 0t 绝对可积，即：
T
x(t )e 0t dt
若 1 0 ，则
T
T
x(t )e 1t dt
0t ( 1 0 ) t
x(t )e e
( 1 0 )T
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform 复指数信号 e st 是一切LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t )，则系统对
e 产生的响应是:
y(t ) H (s)e ，其中 H (s) h(t )e st dt
st
st
显然当s
t 2t
j
1
X ( s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
1 e u (t ) , Re[s] 1 s 1
t
j
2
1 e u (t ) , Re[s] 2 s2
2 t
1 1 2s 3 X ( s) 2 , s 1 s 2 s 3s 2
j 时，就是连续时间傅里叶变换。
一.双边拉氏变换的定义：
X ( s) x(t )e st dt
称为 x(t ) 的双边拉氏变换，其中 s j 。
s 若 0，
j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt
这就是 x(t )的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 0 或是在 j 轴上的特例。
条件的信号在引入 e t 后满足该条件。即有些信 号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表 明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
拉普拉斯变换的定义 收敛域
LT[sin(
t)]
s2
2
LT[cos(t)]
s2
s
2
12
4 1 求下列各函数的拉氏变换
(2) sin t 2cost
LT[sin
t
2cos t]
1 s2 1
2s s2 1
2s s2
1 1
(10) cos2 (t)
cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2
F(s)
1 2
LT[cos(2t)]
st
ds
2j j
s j d 1 ds
j
2
对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t
则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号]
寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t
则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0
s
j
F() FT[ f (t)]
F(s) LT[ f (t)]
f (t)e jt dt
0
f (t)estdt
0
3
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
f (t) LT 1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
f (t) f (t)u(t)
0
0
LT[ (t)] 1
9
P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数
的跳变时间.
(1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t)
(1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第4章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
+
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
第4章拉普拉斯变换
第四章 连续信号与系统的S 域分析1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，()()t f dt dft y dt dy dty d 524522+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性解：(1) 方程两边取拉氏变换；()()()()4552455222+++=⋅+++=⋅=s s s s F s s s s F s H s Y()()()t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-+=+++⋅+=---4221212142122111459221(2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。
则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。
该题中，()114145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以系统稳定。
2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--30,20223'22y y t f dt dft y dt dy t d y d已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。
解：方程两边取拉氏变换()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+++-=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-++++-=+⋅+++=++++++⋅+++=+=+=---+++-----------213225751725239232132512123325312312223632312312;3112030'023*********22。
拉普拉斯变换.
二、拉普拉斯变换的优点
利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两 个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。 在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的 运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时 还引出了系统函数的概念。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
一、拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法 时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会 遇 到 许 多 信 号 ， 例 如 阶 跃 信 号 (t) 、 斜 坡 信 号 t(t) 、单边正弦信号 sint(t) 等，它们并不满足 绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的 傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 使分析计算较为麻烦。
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside, 1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力工 程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数 学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严 密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉 斯变换，简称拉氏变换。----因为是“拉普拉斯” 这个人定义的。
三、本章内容简介
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
第4章-4.3拉普拉斯变换的性质
lim x(t ) x() lim sX ( s )
t s 0
举例
x1 (t ) * x2 (t )
卷积定理
X 1 ( s) X 2 ( s)
1 X 1 ( s) * X 2 ( s) 2j
x1 (t ) x2 (t )
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质
单边拉氏变换中要求a>0
dX (s) tx(t ) ds
dX ( s ) d ds ds
x(t )e
0
st
dt dt
0
d st x(t ) e dt ds
0
[tx (t )]e
st
L[tx (t )]
重复运用上述结果，还可得
(t ) x(t )
n
d X (s) ds
L[
d n x(t ) dt n
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例4-14 应用微分性质求 x(t ) (t ) 的变换。 解
d (t ) L[ (t )] L[ ] s L[ (t )] (0 ) s dt
应用微分性质求x(t ) cos(0t )的单边拉氏变换。
第一周期的拉氏变换 第n周期的拉氏变换
x1 (t nT ) e
snT
X 1 (s)
X1 ( s ) X (s) e sT 1
2 1 e e sT ) s (1 s
利用时移特性 利用无穷技术求和
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例 求周期信号的拉氏变换 x(t )
2 ( s a) 3
2
类似得
t e
2 at
t e
t s 0
举例
x1 (t ) * x2 (t )
卷积定理
X 1 ( s) X 2 ( s)
1 X 1 ( s) * X 2 ( s) 2j
x1 (t ) x2 (t )
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质
单边拉氏变换中要求a>0
dX (s) tx(t ) ds
dX ( s ) d ds ds
x(t )e
0
st
dt dt
0
d st x(t ) e dt ds
0
[tx (t )]e
st
L[tx (t )]
重复运用上述结果，还可得
(t ) x(t )
n
d X (s) ds
L[
d n x(t ) dt n
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例4-14 应用微分性质求 x(t ) (t ) 的变换。 解
d (t ) L[ (t )] L[ ] s L[ (t )] (0 ) s dt
应用微分性质求x(t ) cos(0t )的单边拉氏变换。
第一周期的拉氏变换 第n周期的拉氏变换
x1 (t nT ) e
snT
X 1 (s)
X1 ( s ) X (s) e sT 1
2 1 e e sT ) s (1 s
利用时移特性 利用无穷技术求和
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例 求周期信号的拉氏变换 x(t )
2 ( s a) 3
2
类似得
t e
2 at
t e
第4章 拉氏变换
f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
第四章拉普拉斯变换
拉氏变换定义
如有界非周期信号 ; 有稳定幅度的周期信号 0;
随时间成正比增长的信号 0; 按指数eat 增长的信号 a。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
2. 基本信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数
时间微分性质(续)
t 0 时， f t 0 ，且无原始储能， 若 f t 为有起因信号，即
即 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 2 f ( t ) sF ( s ) f ( t ) s F ( s ), 则 ，
常用函数的拉氏变换表可查用。
3. 常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
1 阶跃函数 u (t ) , 0 1 s
L
L 2 冲激函数 (t )
1,
3 指数函数 e
at
1 , －a sa
L
常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
单边周期信号的拉氏变换(续)
（2）周期性脉冲的拉氏变换
f T ( t ) f 1 ( t ) f 1 ( t T ) f 1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e sT F1 ( s )e 2 sT F1 ( s )(1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin t[u (t ) u (t )] T 2
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
LT
sT 2
第四章 拉普拉斯变换.
法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．
4.1 拉普拉斯变换的概念
本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质．
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求
存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的
定义4.1.1 设 实函数
在
上有定义，且积分
（
为复参变量） 对复平面
上某一范围
收敛，则由这个积分所确定的函数 （4.1.1）
称为函数
的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数），记为
（说明：有的书籍记：
＝
为函数
的拉氏变换）
，即
综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 的复值函数，由式（4.1.1）式可以看出，
函数，如阶跃函数
，以及
等均不满足这
些要求．另外，在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间
为自变量的函数，往往当
时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这
就限制了傅里叶变换应用的范围．
(t )
为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一 个实函数 ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分） 是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严 密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(place)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
ch_04_01(拉普拉斯变换)
t
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
第四章 拉普拉斯变换
例:
1 es 2 已 知 X (s) ( ) ， 求 x (t ) ？ s 1 X ( s ) 2 (1 2e s e 2 s ) s
x(t ) tu(t ) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
8、复频域积分性： 若x(t) X(s)，则
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的s域分析
傅立叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件，如u(t)；
t e ( 0) ； 2) 有些信号不存在傅立叶变换如
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难； 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应。
为了克服傅立叶变换的局限性,采用拉普拉斯变换。
T ( t ) ( t nT )
0
x s(t) x(nT) (t nT)
0
1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0
4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
x(t)e s 0 t X (s s 0 )
例：
cos(0t )u (t )
t
s e cos 0 t s 2 02 0 t 同理：e sin 0 t 2 s 02
s 2 2 s 0
5、时域微分性：
若x(t) X(s)，则
拉普拉斯变换：
• 将信号分解成 e
st
的线性组合；
• 是分析连续时间信号与系统的另一工具； • 可用来分析傅立叶变换所不能分析的系统，不如傅立叶变换那么清楚。
第四章拉普拉斯变换(4)
Hs
Vo s Es
R
sC sL
1
sC Es
冲激响应
s2
1 2s
1
2
s
iL 0
0
因而
f3t
t δ xd
0
x
f30
t δ xd x
0
F2 s
1 s
F δ
t
1 s
f20
3 s
F3 s
1 s
F δ
t
1 s
f3 0
1 s
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
L f1t sFs 0 3
则F1 s
3 s
L f2t sFs 2 1
则F2
s
3 s
f3
卷积
f t f1t f1t
f1 t
于是，根据卷积性质
1
而 所以
Fs F1sF1s
F1s
1 s
1
es
Fs
1 s2
1 es
2
o
1
t
图4-2（c）
例4-3
应用微分性质求图4-3（a）中的 f1t, f2(t), f3t象函数 下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b）是 f1t, f2t, f3t 的导数 f1t, f2t, f3t 的波形。
显然
d2 f t
L
dt2
Lδ t 2δ t
1δ t
2
1 es
2
根据微分性质
L
d2 f dt
t
2
s2F
s
f 0
sf
0
由图4-2（b）可以看出
f 0 0, f 0 0
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j
收
敛
轴
0 收 敛 域
0收
敛
坐
标
《 信号与系统》
10
第四章 连续系统的复频域分析
例：求下列各单边函数拉氏变换的收敛域（即求收敛坐标 0）
1 f t t ;
2 f t ut;
3 f t e2tu t ; 4 f t e2tu t ;
5 f t cos0tu t
《 信号与系统》
11
f t
1
2 j
j
j
F (s)est ds
LT
1
F
s
原函数
《 信号与系统》
3
第四章 连续系统的复频域分析
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变
换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换，
也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。
由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jt
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
LT tn
tn est dt0ຫໍສະໝຸດ n! s n 1n
1时,
f
t
t,
LT
t
1 s2
7.单边衰减正弦信号e-t sin 0t u t
LT
e-t
sin
0t
u
t
LT
1 2j
e e - -j0 t
- j0 t
u t
1 1
1
2j
s
j0
s
j0
0
s 2 02
《 信号与系统》
14
第四章 连续系统的复频域分析
一般而言，若极限 lim f (t)et 在σ>σ0时取值为零
，则收敛条件为σ>σ0 。 t
《 信号与系统》
9
第四章 连续系统的复频域分析
在以σ为横轴，jω为纵轴的复平面（s平面）上，σ0在复平 面称为收敛坐标，通过σ0的垂直线是收敛区的边界，称为收敛 轴。 收敛轴将复平面划分为两个区域，σ> σ0的是一个区域，称 为象函数F(s)的收敛域，如下图所示。
8.单边衰减余弦信号e-t cos 0t u t
LT e-t cos
0t
u
t
1 2
e- -j0 t +e- j0 t
s
s
2
02
9.单边双曲正弦函数shtu t和余弦函数chtu t
(t<0) (t>0)
此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样，t<0时f(t)的取
值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0-开始，本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过， 为了书写简便常常写为0。
《 信号与系统》
5
第四章 连续系统的复频域分析
二、拉氏变换的收敛域
在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e-σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏 变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确 定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明。
在实际问题中，我们遇到的都是因果信号，信号总有发生 的起始时刻，如果将起始时刻定为时间原点，
f (t) 0 (t 0)
F(s) f (t)e-stdt 0
《 信号与系统》
4
第四章 连续系统的复频域分析
上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有
0
f
(t)
1
2j
j
F
(
s)e
st
ds
j
《 信号与系统》
8
第四章 连续系统的复频域分析
从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e-σt后是否
一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和σ的相对关系
而定。
把使f(t) e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏
变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收 敛域外，函数的拉氏变换不存在。
第四章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换条件，信号在无限区间绝对可积
f (t) dt
f t 不满足绝对可积条件，是由于t 或t 时， f t 不趋于零。如果引入一个衰减因子e-t 去乘以f t ，
只要 选择得适当，就可以克服此困难。
《 信号与系统》
《 信号与系统》
2
第四章 连续系统的复频域分析
f (t)et FT 1 F j
1 F ( j)ejt d
2
两边同乘以e t，可得
f (t) 1 F ( j)et ejt d
2
令s= j,则ds=jd,当= 时，s= j
象函数 于是得到：
F
s
f (t)est dt LT f (t)
《 信号与系统》
6
第四章 连续系统的复频域分析
【例】求指数函数
的象函数F(s)。
f (t) eαt (t)
(α>0, α∈R)
【解】根据定义
F (s) etestdt e(s )tdt e(s )t
0
0
(s )
0
1 [1 lim e(s )t ]
s t
《 信号与系统》
7
第四章 连续系统的复频域分析
第四章 连续系统的复频域分析
三、典型信号的拉普拉斯变换
1. 单位阶跃信号u(t)
LT[u(t)] e-st dt e-st 1
0
ss
0
2.指数函数et
LT et
et est dt 1
0
s
0
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
3.单边正弦信号sin0tu t
1
第四章 连续系统的复频域分析
例:
ft
ebt eat
,t ,t
0 0
ab0
选择a> >b，就能保证t 和t -时，f te-t均趋于零，
通常把e-t称为收敛因子。
FT f
t
et
f (t)et e jt dt
f (t)e（ j)t dt
F( j)
即：F ( j) f (t)e（ j)t dt
LT sin0tu t
0
sin0
te
st
dt
0 s2 02
4.单边余弦信号cos0tu t
LT cos0tu t
0
cos
0te
st
dt
s2
s
02
5.单位冲激信号 t
LT t
t est dt
1
0
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
6.t的正幂信号tn n为正整数