第4章 拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若
L f1 (t ) F1 ( s )
K1 K
1
* 2
( 且有K1 A jB )
若将与共轭复数有关的逆变换用 f c (t ) 表示，则：
K1 K2 f c (t ) L s j s j 2e t ( A cos t B sin t )
推导如下！！
拉普拉斯变换的基本性质
11. 乘积特性
f1 (t ) F1 ( s )
L L f 2 (t ) F2 ( s )
Re( s ) 1 Re( s ) 2
1 f 1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( s ) * F2 ( s )] 2πj
k 0

若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时 移特性和 周期信号的 移特性 线性特性，即可求得单边 线性特性 周期信号 Laplace变换为
L[ f (t )] e
k 0

skT
F1 ( s )
F1 ( s ) 1 e
sT
Re(s) > 0
F ( s) K1k K11 K12 E ( s) ( s p1 ) k ( s p1 ) k 1 ( s p1 ) D ( s )
t L
拉普拉斯变换的基本性质
7. 频域微分特性
L f ( t ) F ( s) 若
n dF ( s ) d F ( s) L L n n 则 tf (t ） , t f (t ） ( 1) ds ds n
思考：求解函数 tu(t ) 的拉氏变换。
1 提示：可以用两种方法来求，答案为 2 。 s
L
Re( s ) 1 2
例 试求如图所示周期信号的单边 Laplace变换。 周期信号
f (t) 2 t
0
1
2
3
4
5
分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周期
信号f1(t)及其时移f1(tkT)的线性组合，即
f (t ) f 1 (t kT )u (t kT )
t ( j ) t F [ f (t )e t ] f (t )e t e jt dt 0 e e dt
不存在!

令 s j
0 e ( s )t dt

若
1 s
拉氏变换的定义和收敛域
推广到一般情况：
F [ f (t )e
因为 所以
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解： 1)
d 2 f (t ) L 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 dt
s 2 F (s)
1 2e s e 2 s
1 2e s e 2 s F (s) s2
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计 零的左极限 f(t) 算时可以直接利用起始给定的0-状态，并且可以把 状态 在t=0时刻出现的冲激包含到积分中去。 时刻出现的冲激
拉氏变换的定义和收敛域
二、拉普拉氏变换的收敛域
拉氏变换的定义和收敛域
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
例 试求如图所示周期信号的单边 Laplace变换。 周期信号
f (t) 2 t
0
1
2
3
4
5
解：
f1 (t ) 2[u (t ) u (t 1)]
f (t ) f1 (t ) f1 (t 2) f1 (t 4)
2 F 1( s ) L{ f 1 (t )} (1 e s ) Re( s ) s F1 ( s ) 2s 4 s F ( s ) F1 ( s )(1 e e ) 2 s Re(s) > 0 1 e
1) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为一阶极点
A (s) A( s ) F (s) B( s ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
kn k1 k2 F (s) s p1 s p 2 s pn
k i (s pi ) F (s)
s pi
i 1,2, , n
f (t ) (k1e
p1t
k2e
p2t
kne
pn t
)u (t )
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
2) F(s)为有理真分式( m < n)，包含共轭复数极点
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
此时， K1 , K 2 呈共轭关系，即有：
u (t )
2. 阶跃函数 u(t)
st
1 （ 0） s ( 0 j 0 )
1 L[u (t )] － 1 e dt 0 s
( 0或 Re( s ) 0)
常用信号的拉普拉斯变换
3.单位冲激信号 ( t )
L[ (t )] (t )e st dt 1
Re( s )
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解： 2)
f (t ) f1 (t ) f1 (t )
1 e s 其中：F1 ( s ) s
1 e s 2 F ( s) F1 ( s) F1 ( s) ( ) s
Re( s )
拉普拉斯反变换
L f1 (t ) F1 ( s ) L f 2 (t ) F2 ( s ) L
Re( s ) 1 Re( s ) 2
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
Re( s ) max( 1 , 2 )
d n f (t ) n n 1 n2 s F ( s ) s f ( 0 ) s f ' ( 0 ) ... f n dt
n 1
(0 )
注意：若 f(t) = 0, t<0, 则有f r(0 ) = 0，r=0,1,2,...
d n f (t ) L n s F (s) n dt
t
]

f (t )e
t
e
jt
dt

f (t )e ( j )t dt
令s= +j

f (t )e st dt F ( s )
f (t )e st dt
拉普拉斯正变换
定义： F ( s )

对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2 πj
计算拉普拉斯反变换方法： 拉普拉斯反变换
1. 查表法 2. 利用常用信号拉氏变换与性质 3. 采用部分分式展开法 4. 利用复变函数中的留数定理
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
A( s ) am s m am 1s m 1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
故：f c (t ) 2e t ( A cos t B sin t )
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
3) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为k重极点
A( s ) A( s ) F (s) B ( s ) ( s p1 ) k D ( s )
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2 πj
拉普拉斯反变换
拉氏变换的定义和收敛域
拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示：
F ( s ) L [ f ( t )]
物理意义：
f ( t ) L 1 [ F ( s )]
L f (t ) F (s)
拉普拉斯变换的基本性质