第四章 拉普拉斯变换
合集下载
第四章 拉普拉斯变换
即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t
s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)
s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0
上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
+
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
4.拉普拉斯变换
24
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
例2 求函数 f (t ) e
st
s R. 的拉氏变换
解 ℒ f (t ) est e pt dt e( p s ) t dt 1 0 0 ps
Re p s
1 e ps
st
例3 解
0 求单位斜坡函数 t t
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
五 微分性质
L [ F ( p)] (1) t f (t )
解：
1 令 f (t ) 1 由于 F ( p ) 所以 p d d 1 1 L[t ] F ( p) ( ) 2 dp dp p p n! n 可以依次类推 L[t ] n 1 。 p
2）拉氏变换式对参数P的导数
利用导数性质求解：L[t cos t ] 和L[t e2t ]
Hale Waihona Puke p L[sin t ] [ p 2 cos 0] p 1 p [ p 2 1] p 1
1 2 p 1
2）拉氏变换式对参数P的导数
dn 若L[f(t)] F(p), 则， n L[f(t)] F (n) p L[( t) n f (t )] dp
1 n 2 3 例已知 L[1] ，求 t , t , t 和 t 的拉普拉斯变换。 p
1 PS
所以
f t 1 et
第4章拉普拉斯变换
第四章 连续信号与系统的S 域分析1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，()()t f dt dft y dt dy dty d 524522+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性解：(1) 方程两边取拉氏变换；()()()()4552455222+++=⋅+++=⋅=s s s s F s s s s F s H s Y()()()t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-+=+++⋅+=---4221212142122111459221(2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。
则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。
该题中，()114145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以系统稳定。
2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--30,20223'22y y t f dt dft y dt dy t d y d已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。
解：方程两边取拉氏变换()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+++-=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-++++-=+⋅+++=++++++⋅+++=+=+=---+++-----------213225751725239232132512123325312312223632312312;3112030'023*********22。
拉普拉斯变换.
二、拉普拉斯变换的优点
利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两 个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。 在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的 运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时 还引出了系统函数的概念。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
一、拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法 时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会 遇 到 许 多 信 号 ， 例 如 阶 跃 信 号 (t) 、 斜 坡 信 号 t(t) 、单边正弦信号 sint(t) 等，它们并不满足 绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的 傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 使分析计算较为麻烦。
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside, 1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力工 程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数 学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严 密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉 斯变换，简称拉氏变换。----因为是“拉普拉斯” 这个人定义的。
三、本章内容简介
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
第四章拉普拉斯变换
拉氏变换定义
如有界非周期信号 ; 有稳定幅度的周期信号 0;
随时间成正比增长的信号 0; 按指数eat 增长的信号 a。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
2. 基本信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数
时间微分性质(续)
t 0 时， f t 0 ，且无原始储能， 若 f t 为有起因信号，即
即 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 2 f ( t ) sF ( s ) f ( t ) s F ( s ), 则 ，
常用函数的拉氏变换表可查用。
3. 常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
1 阶跃函数 u (t ) , 0 1 s
L
L 2 冲激函数 (t )
1,
3 指数函数 e
at
1 , －a sa
L
常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
单边周期信号的拉氏变换(续)
（2）周期性脉冲的拉氏变换
f T ( t ) f 1 ( t ) f 1 ( t T ) f 1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e sT F1 ( s )e 2 sT F1 ( s )(1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin t[u (t ) u (t )] T 2
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
LT
sT 2
第四章 拉普拉斯变换.
法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．
4.1 拉普拉斯变换的概念
本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质．
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求
存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的
定义4.1.1 设 实函数
在
上有定义，且积分
（
为复参变量） 对复平面
上某一范围
收敛，则由这个积分所确定的函数 （4.1.1）
称为函数
的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数），记为
（说明：有的书籍记：
＝
为函数
的拉氏变换）
，即
综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 的复值函数，由式（4.1.1）式可以看出，
函数，如阶跃函数
，以及
等均不满足这
些要求．另外，在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间
为自变量的函数，往往当
时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这
就限制了傅里叶变换应用的范围．
(t )
为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一 个实函数 ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本
第四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分） 是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严 密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(place)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
ch_04_01(拉普拉斯变换)
t
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
第四章拉普拉斯变换及S域分析
过０的垂直线为收敛轴， ０在S平面内称收敛坐标
例题及说明
1.满足lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
其中０与f t 有关，
P250 4-1
第三节
拉氏变换的基 本性质
一．线性
例题： 已知 则 同理
二．原函数微分 证明： 推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
①
②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
五．s域平移
证明：
例4-6
求eα t cosω0t的拉氏变换
举例4-8:
已知 F (s) 10(s 2)(s 5) , s(s 1)(s 3)
求其逆变换
解：部分分解法 F(s) k1 k2 k3 （m n） s s 1 s 3
其中k1 sF (s) s0 10(s 2)(s 5) 100 (s 1)(s 3) s0 3
部分分式展开法 (1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
分解
例题及说明
1.满足lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
其中０与f t 有关，
P250 4-1
第三节
拉氏变换的基 本性质
一．线性
例题： 已知 则 同理
二．原函数微分 证明： 推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
①
②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
五．s域平移
证明：
例4-6
求eα t cosω0t的拉氏变换
举例4-8:
已知 F (s) 10(s 2)(s 5) , s(s 1)(s 3)
求其逆变换
解：部分分解法 F(s) k1 k2 k3 （m n） s s 1 s 3
其中k1 sF (s) s0 10(s 2)(s 5) 100 (s 1)(s 3) s0 3
部分分式展开法 (1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
分解
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
第四章拉普拉斯变换及s域分析详解
F[ f (t)e t ] f (t)e te jtdt f (t)e( j)tdt F ( j)
令s j,则上式为
Fb (s)
f (t)est dt
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
5
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
4 单边拉普拉斯变换
由于在实际问题中所遇到的大部分信号都是因果的， 即f(t)=0(t<0)
t
收敛区为s平面的右半平面。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
10
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
常见函数的拉式 变换如右，这6对 变换对需牢记
u(t) 1 s
(t) ห้องสมุดไป่ตู้1
et 1
s
tn
n! s n 1
sin t
s2
2
cos t
s2
s
2
t
1 s2
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
定义单边拉式正变换为 F (s) f (t)estdt 0－
说明：
①s是复参量，s j, F(s)是以s为自变量的复变函数 ②积分下线定为0 ，包括了 (t)，从而无需计算0-到0+的跳变
③拉氏正反变换的简记形式 F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s) f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
新得到的信号满足绝对可积条件，因此其傅里叶 变换存在。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
4
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
3 引出拉普拉斯变换
由前述可知
lim f (t)e t ( 为实数)容易收敛。
第四章 拉普拉斯变换
例:
1 es 2 已 知 X (s) ( ) ， 求 x (t ) ？ s 1 X ( s ) 2 (1 2e s e 2 s ) s
x(t ) tu(t ) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
8、复频域积分性： 若x(t) X(s)，则
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的s域分析
傅立叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件，如u(t)；
t e ( 0) ； 2) 有些信号不存在傅立叶变换如
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难； 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应。
为了克服傅立叶变换的局限性,采用拉普拉斯变换。
T ( t ) ( t nT )
0
x s(t) x(nT) (t nT)
0
1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0
4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
x(t)e s 0 t X (s s 0 )
例：
cos(0t )u (t )
t
s e cos 0 t s 2 02 0 t 同理：e sin 0 t 2 s 02
s 2 2 s 0
5、时域微分性：
若x(t) X(s)，则
拉普拉斯变换：
• 将信号分解成 e
st
的线性组合；
• 是分析连续时间信号与系统的另一工具； • 可用来分析傅立叶变换所不能分析的系统，不如傅立叶变换那么清楚。
第四章拉普拉斯变换(4)
Hs
Vo s Es
R
sC sL
1
sC Es
冲激响应
s2
1 2s
1
2
s
iL 0
0
因而
f3t
t δ xd
0
x
f30
t δ xd x
0
F2 s
1 s
F δ
t
1 s
f20
3 s
F3 s
1 s
F δ
t
1 s
f3 0
1 s
这是应用微分性质应特别注意的问题。
由图4-3（b）知
L f1t sFs 0 3
则F1 s
3 s
L f2t sFs 2 1
则F2
s
3 s
f3
卷积
f t f1t f1t
f1 t
于是，根据卷积性质
1
而 所以
Fs F1sF1s
F1s
1 s
1
es
Fs
1 s2
1 es
2
o
1
t
图4-2（c）
例4-3
应用微分性质求图4-3（a）中的 f1t, f2(t), f3t象函数 下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b）是 f1t, f2t, f3t 的导数 f1t, f2t, f3t 的波形。
显然
d2 f t
L
dt2
Lδ t 2δ t
1δ t
2
1 es
2
根据微分性质
L
d2 f dt
t
2
s2F
s
f 0
sf
0
由图4-2（b）可以看出
f 0 0, f 0 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
存在条件
f (t)dt
不满足
引入：衰减因子e-σt(σ为实常数）
σt 选择合适的 使得 : f ( t ) e dt
3
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F f(t)e
t
( j ) t f ( t ) e dt F ( j)
a 0 0
Re( s ) a 0
20
单边拉普拉斯变换的性质
3. 时移特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
st L 0 则 f ( t t ) u ( t t ) e F ( s ) t 0 0 0 0
t
为任意实数，则
e
t
收敛，于是满足 f (t). e
狄里赫利条件
cos t 1
u(t)et
e cos t 1
t
e. e
at t
( a )
2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
j t F ( )F[f ( t)] f ( t) e dt f( t) F ( ) 1 1 t f(t) F [F ( )] F ( ) ej d 2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示及物理含义
符号表示：
F ( s ) L [f( t )] b
1 f( t ) L [ F ( s )]
L f( t ) F ( s )
物理意义： 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。
25
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性 重复应用微分性质，求得：
2 d f ( t ) L 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 d t
Re( s ) 0
21
单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L f ( t ) F ( s ) 2 2
Re( s )
2
则
f ( t ) * f ( t ) F ( s ) F ( s ) 1 2 1 2
( n )
( n ) st n ( t )] ( t ) e d t ( 1 ) 0
15
常用信号的拉普拉斯变换
６. t 的正幂函数 t n，n为正整数
n t n n st st n n 1 st L [ t u ( t )] ( t ) e d t ( e ) t e d t 0 0 0
证明：
d f( t) d f( t) st L e d t d d t t 0
f( 0 ) s f( t) e d t sF ( s )f( 0 )
0
st st f( t ) e f ( t )( s e ) d t 0 0 st
或 :lim f( t)e
σ t
0 的σ值范围
6
记：ROC＝region of convergence
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛
条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信
号都是有起始时刻的 (t ＜ t0 时 f(t)=0) ，若起始时刻
t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变
Re( s ) max( , ) 1 2
19
L
单边拉普拉斯变换的性质
2. 展缩特性(尺度变换)
若 则
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
L
f( at ) F ( s / a ) a a
1 L1 L f( at ) F ( s / a )
1. 线性特性
若
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L
f ( t ) F ( s ) 2 2
L
Re( s )
2
则
a f ( t ) a f ( t ) a F ( s ) a F ( s ) 1 1 2 2 1 1 2 2
L
Re( s ) max( , ) 1 2
收敛域至少是F1(s)的收敛域与F1(s)的收敛域的公共部分。
22
单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
f ( t ) F ( s பைடு நூலகம் 2 2
L
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 若 1
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析
和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。
8
拉普拉斯变换LT与ILT定义
L [ f( t )] F ( s ) B
f( t ) e
s t
st
j 1 1 st L [ F ( s )] F ( s ) e ds dt B j 2 j
2
Re( s )
则
1 f ( t ) f ( t ) [ F ( s ) * F ( s )] 1 2 1 2 2 πj
L
Re( s ) 1 2
23
单边拉普拉斯变换的性质
6、复频移性质
若
L
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
1 若 s a , 则 : e u ( t ) 0 s a
at
1 d t s s 0
0
a
12
1 若 s j , 则 : e u ( t ) 0 0 s j
j t
常用信号的拉普拉斯变换
２. 正余弦型函数
j t j t 0 0 e e 11 1 s cos t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 2 s j s j s 0 0 0
(n )
st L [( t )] t ) e d t ( 0
'
1
d s
Re( s )
(est) t0 s
n d n st s ( e ) t 0 n d s
L [
d st ( t )] ( t ) ed t ' 0
L [
F ( s ) L d tf ( t ) Re( s ) 0 d s
24
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
d f ( t ) L sF ( s ) f ( 0 ) Re( s ) 0 d t
n ! tu ( t ) , Re( s ) 0 n 1 s
n L
16
表 4.１
17
4.1拉普拉斯变换
意义： • 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的 工具,使求解方程得到简化，且初始条件自 动包含在变换式里 • 利用系统函数零点、极点分布分析系统的 行为规律
18
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
j t j t 0 0 e e 11 1 0 sin t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 j 2 j s j s j s 0 0 0
0
13
常用信号的拉普拉斯变换
３. 阶跃函数 u(t)
1 若 s 0 , 则 : u ( t ) 0 s
单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 S平面
左半平面
敛
右半平面
0
区
0称收敛条件
0称绝对收敛轴
11
常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数
1 e u (t ) s s0
s0t
L e u ( t ) e e d t e
s t 0 0 0
s t st 0
( s s ) t 0
F ( s ) f ( t )estdt b 1 j st F ( s ) e ds f (t ) b j 2 j
( 2 )
(Bilateral LT) 双边拉普拉斯变换 记作：
4
f(t) F ( s ) b
0
４、双曲正弦／余弦信号
t t e e 11 1 sh t u ( t ) u ( t ) ( ) 2 2 2 2 s s s
s ch t u ( t ) 2 2 s
0
14
三、常用信号的拉普拉斯变换
５.(t), (t)
o b f ( t ) e F ( s s ) b
s t b
则
7、复频域微分与积分
d F ( s ) tf ( t ) Re( s ) 0 d s
L
n d F ( s ) f (t) n ( t) f ( t) n F()d ds t s
t t f(t) e e j dt
( 1 )
1 1 j t f ( t ) e F F ( j) F ( j) e d 2 t
1 ( j ) t f ( t ) F ( j) e d 2