第三章拉普拉斯变换幻灯片
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电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
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则：
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例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
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2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
返回 上頁 下頁
3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
st
0
1 2 s
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有
(n)
1 f (t )dt n F ( s) s
注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： L f (t ) F (s)
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
拉普拉斯变换 PPT
F(s ) = ∫ f (t )e −st dt
0
∞
变量s叫做拉普拉斯算子。它为一复变数， 变量 叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，即s=σ+jω。 叫做拉普拉斯算子 。
是一单位阶跃函数 时为1； 例：设f(t)是一单位阶跃函数，其定义为：t>0时为 ； t<0时为 是一单位阶跃函数，其定义为： 时为 时为 0。求此函数的拉普拉斯变换值。 。求此函数的拉普拉斯变换值。
∞
∫ f (t ) e
0
− st
dt = ∫ e
0
∞
− at
⋅e
− st
1 −( s + a )t ∞ dt = − e = 0 s+a
1 s +a
2、拉氏反变换 、
它是拉氏变换的F(s)求取 的运算。 F(s)的拉氏反变 求取f(t)的运算 它是拉氏变换的 求取 的运算。 的拉氏反变 换记为： 换记为：f(t)=L -1[F(s)]。并且由拉氏反变换积分求出， 。并且由拉氏反变换积分求出，
A1 A2 Ar + + ⋯+ , 2 r (s + si ) (s + si ) (s + si )
r −1
r−2
1 d2 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s 2! ds2 i
1 d r −1 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s ( r − 1) ! d s r − 1 i
= s n F ( s ) − s n −1 f (0 + ) − s n − 2 f (1) (0 + ) − ⋯ − f ( n −1) (0 + )
信号与系统拉普拉斯变换33页PPT
信号与系统拉普拉斯变换
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
ห้องสมุดไป่ตู้ 谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
信号处理PPT 拉普拉斯变换_2
解：
2s
f1 (0
)
lim
s
s
s2
2s
2
2
2s 2 F2 (s) 1 s2 2s 2
f2
(0
)
lim
s
s
2s 2 s2 2s 2
2
2s 2
f2
()
lim
s0
s
s2
2s
2
0
2s
f1()
lim
s0
s
s2
2s
2
s
9. 卷积特性
若 L [ f1(t)] F1(s), L [ f2 (t)] F2 (s)
则有 L [ f1(t) * f2 (t)] F1(s) F2 (s)
L
[
f1(t)
f2 (t)]
1
2
j
[F1(s) *
F2 (s)]
1
2
j
j
j F1( )F2 (s )d
t
f ( )d ]estdt
1
[
t
f ( )d ]d (est )
00
s 0 0
1 [est
t
f ( )d
f (t)estdt]
s
0
0
0
当
f(t)
为因果信号时，L
[
f
(n) (t)]
1 sn
F (s)
例6：求 L [t 2u(t)]
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
拉普拉斯变换及反变换.ppt
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
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9
例 ： x (t ) e a|t| ， 求 出 其 拉 氏 变 换 X (s)，
画 出 零 极 点 及 a>0 和 a<0 的 收 敛 域 解 ： 因 为 x(t)是 双 边 信 号 ， 可 表 示 为
x(t) eatu (t) eatu (t)
注 意 x(t)在 t=0 处 是 连 续 的 ， 且
收 敛 域 ， 因 此 ， x(t)的 拉 氏 变 换 不 存 在 。
12
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a 1 f 1 ( t) a 2 f2 ( t) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
• 尺寸变换
f (at)1F(s/a) a
• 时间平移
f(t t0 )u (t t0 ) F (s)e st0
5
综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ，或 随 时 间 t， tn 成 比 例 增 长 的 信 号 ，则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
16
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
F
(
s
)
e
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
x(0 _) x(0) x(0) 1 ， 求 拉 氏 变 换 ，
10
eatu(t) 1 sa
R e( s) a (1)
eatu(t) 1
Re(s) a (2)
s a
如 果 a>0，（ 1） 式 和 （ 2） 式 的 收 敛 域 重 叠 ， 收 敛 域 为 -a<Re(s)<a， 因 此 x(t)的 双 边 拉 氏 变 换 为
f (t)
1
j F(s)estds
2 j j
S的实部反映指数函数的幅值变 换速率，虚部反映函数中因子 e j t 作周期变化的频率 常用函数的拉普拉斯变换（P99）
3
实 际 工 程 中 使 用 的 信 号 都 是 有 开 始 时 刻 的 ，令 信 号 的 开 始 时 刻 为 时 间 坐 标 原 点 (t= 0 )，所 以 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 是 求 解 系 统 响 应 的 有 力 工 具 。单 边 拉 普 拉 斯 变 换 中 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 主 要 考 虑 信 号 f(t)在 t=0 时 刻 可 能 包 含 有 冲 激 函 数 及 其 导 数 项 。 如 果 信 号 f(t)在 t=0 处 不 包 含 有 冲 激 函 数 及其导数项，在求该信号的单边拉普拉斯变换 时 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 0+和 0 都 是 一 样 的 ， 因 为此时初始状态与初始值一致。
• 初值定理
f(0)lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
• 终值定理
f( )lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
s=0在收敛域内，即有终值存在，才能使
用终 拉斯变换式，应用性质时应注意：
①应用线性时，注意结果的收敛域范 围，有些情况可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
1
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
F(s) f (t)estdt
f (t)
1
j F(s)est ds
2 j j
其中，sj 称为复频率，s平面为复平面。
2
单边拉普拉斯变换
F(s) f (t)estdt 0
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t， tn 信 号 。
6
③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e at ， 只 有 当 a 时 才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
1 1 2a X (s) s a s a s2 a2 a Re(s) a
11
由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
• 频率平移
f(t)es0t F(ss0)
13
• 时域微分
df(t)/dt sF (s)f(0)
• 时域积分
t
0
f()d F (s)/s f()d/s
• 复频域微分
tf(t) dF(s)/ds
• 复频域积分
f(t)/ts F(s)ds
14
• 时域卷积
f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4
二 收敛域 使 F(s)存 在 的 复 变 量 s 的 取 值 区 域 称 为 函 数 F(s)
的 收 敛 域 ， 记 为 ROC(region of Convergence).
若 f (t)et 取 极 限 t ,对 0 的 所 有 实 数
有 ： lim f (t)e t 0 ， 则 拉 氏 存 在 。 x 收敛域： R(s) 0 ， 收 敛 坐 标 ： 0 ， 是 与 f(t)有 关 的 实 数 。
既
⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
7
另 外 ，对 所 有 拉 普 拉 斯 变 换 来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如 果 信 号 的 收 敛 域 包 括 虚 轴 ，则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
8
因为不同的函数不同的收敛条件下可以 得 到 同 样 的 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 式 ，所 以 在 给 定某函数的双边拉普拉斯变换式 FB(s)时必 须 注 明 其 收 敛 域 ，因 而 使 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 的逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。 对于单边拉普拉斯变换的收敛问题比较简 单 ，一 般 情 况 下 ，求 函 数 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 时不再注明其函数范围。
例 ： x (t ) e a|t| ， 求 出 其 拉 氏 变 换 X (s)，
画 出 零 极 点 及 a>0 和 a<0 的 收 敛 域 解 ： 因 为 x(t)是 双 边 信 号 ， 可 表 示 为
x(t) eatu (t) eatu (t)
注 意 x(t)在 t=0 处 是 连 续 的 ， 且
收 敛 域 ， 因 此 ， x(t)的 拉 氏 变 换 不 存 在 。
12
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a 1 f 1 ( t) a 2 f2 ( t) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
• 尺寸变换
f (at)1F(s/a) a
• 时间平移
f(t t0 )u (t t0 ) F (s)e st0
5
综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ，或 随 时 间 t， tn 成 比 例 增 长 的 信 号 ，则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
16
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
F
(
s
)
e
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
x(0 _) x(0) x(0) 1 ， 求 拉 氏 变 换 ，
10
eatu(t) 1 sa
R e( s) a (1)
eatu(t) 1
Re(s) a (2)
s a
如 果 a>0，（ 1） 式 和 （ 2） 式 的 收 敛 域 重 叠 ， 收 敛 域 为 -a<Re(s)<a， 因 此 x(t)的 双 边 拉 氏 变 换 为
f (t)
1
j F(s)estds
2 j j
S的实部反映指数函数的幅值变 换速率，虚部反映函数中因子 e j t 作周期变化的频率 常用函数的拉普拉斯变换（P99）
3
实 际 工 程 中 使 用 的 信 号 都 是 有 开 始 时 刻 的 ，令 信 号 的 开 始 时 刻 为 时 间 坐 标 原 点 (t= 0 )，所 以 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 是 求 解 系 统 响 应 的 有 力 工 具 。单 边 拉 普 拉 斯 变 换 中 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 主 要 考 虑 信 号 f(t)在 t=0 时 刻 可 能 包 含 有 冲 激 函 数 及 其 导 数 项 。 如 果 信 号 f(t)在 t=0 处 不 包 含 有 冲 激 函 数 及其导数项，在求该信号的单边拉普拉斯变换 时 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 0+和 0 都 是 一 样 的 ， 因 为此时初始状态与初始值一致。
• 初值定理
f(0)lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
• 终值定理
f( )lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
s=0在收敛域内，即有终值存在，才能使
用终 拉斯变换式，应用性质时应注意：
①应用线性时，注意结果的收敛域范 围，有些情况可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
1
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
F(s) f (t)estdt
f (t)
1
j F(s)est ds
2 j j
其中，sj 称为复频率，s平面为复平面。
2
单边拉普拉斯变换
F(s) f (t)estdt 0
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t， tn 信 号 。
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③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e at ， 只 有 当 a 时 才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
1 1 2a X (s) s a s a s2 a2 a Re(s) a
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由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
• 频率平移
f(t)es0t F(ss0)
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• 时域微分
df(t)/dt sF (s)f(0)
• 时域积分
t
0
f()d F (s)/s f()d/s
• 复频域微分
tf(t) dF(s)/ds
• 复频域积分
f(t)/ts F(s)ds
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• 时域卷积
f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
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二 收敛域 使 F(s)存 在 的 复 变 量 s 的 取 值 区 域 称 为 函 数 F(s)
的 收 敛 域 ， 记 为 ROC(region of Convergence).
若 f (t)et 取 极 限 t ,对 0 的 所 有 实 数
有 ： lim f (t)e t 0 ， 则 拉 氏 存 在 。 x 收敛域： R(s) 0 ， 收 敛 坐 标 ： 0 ， 是 与 f(t)有 关 的 实 数 。
既
⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
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另 外 ，对 所 有 拉 普 拉 斯 变 换 来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如 果 信 号 的 收 敛 域 包 括 虚 轴 ，则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
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因为不同的函数不同的收敛条件下可以 得 到 同 样 的 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 式 ，所 以 在 给 定某函数的双边拉普拉斯变换式 FB(s)时必 须 注 明 其 收 敛 域 ，因 而 使 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 的逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。 对于单边拉普拉斯变换的收敛问题比较简 单 ，一 般 情 况 下 ，求 函 数 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 时不再注明其函数范围。