第三章拉普拉斯变换幻灯片
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既
⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
7
另 外 ，对 所 有 拉 普 拉 斯 变 换 来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如 果 信 号 的 收 敛 域 包 括 虚 轴 ，则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
8
因为不同的函数不同的收敛条件下可以 得 到 同 样 的 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 式 ，所 以 在 给 定某函数的双边拉普拉斯变换式 FB(s)时必 须 注 明 其 收 敛 域 ，因 而 使 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 的逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。 对于单边拉普拉斯变换的收敛问题比较简 单 ，一 般 情 况 下 ，求 函 数 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 时不再注明其函数范围。
第三章 拉普拉斯变换
1
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
F(s) f (t)estdt
f (t)
1
j F(s)est ds
2 j j
其中，sj 称为复频率，s平面为复平面。
2
单边拉普拉斯变换
F(s) f (t)estdt 0
5
综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ，或 随 时 间 t， tn 成 比 例 增 长 的 信 号 ，则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
收 敛 域 ， 因 此 ， x(t)的 拉 氏 变 换 不 存 在 。
12
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a 1 f 1 ( t) a 2 f2 ( t) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
• 尺寸变换
f (at)1F(s/a) a
• 时间平移
f(t t0 )u (t t0 ) F (s)e st0
1 1 2a X (s) s a s a s2 a2 a Re(s) a
11
由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
• 初值定理
f(0)lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
• 终值定理
f( )lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
s=0在收敛域内，即有终值存在，才能使
用终值定理
15
可以利用拉普拉斯变换求信号的拉普 拉斯变换式，应用性质时应注意：
①应用线性时，注意结果的收敛域范 围，有些情况可能会扩大。
f (t)
1
j F(s)estds
2 j j
S的实部反映指数函数的幅值变 换速率，虚部反映函数中因子 e j t 作周期变化的频率 常用函数的拉普拉斯变换（P99）
3
实 际 工 程 中 使 用 的 信 号 都 是 有 开 始 时 刻 的 ，令 信 号 的 开 始 时 刻 为 时 间 坐 标 原 点 (t= 0 )，所 以 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 是 求 解 系 统 响 应 的 有 力 工 具 。单 边 拉 普 拉 斯 变 换 中 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 主 要 考 虑 信 号 f(t)在 t=0 时 刻 可 能 包 含 有 冲 激 函 数 及 其 导 数 项 。 如 果 信 号 f(t)在 t=0 处 不 包 含 有 冲 激 函 数 及其导数项，在求该信号的单边拉普拉斯变换 时 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 0+和 0 都 是 一 样 的 ， 因 为此时初始状态与初始值一致。
4
二 收敛域 使 F(s)存 在 的 复 变 量 s 的 取 值 区 域 称 为 函 数 F(s)
的 收 敛 域 ， 记 为 ROC(region of Convergence).
若 f (t)et 取 极 限 t ,对 0 的 所 有 实 数
有 ： lim f (t)e t 0 ， 则 拉 氏 存 在 。 x 收敛域： R(s) 0 ， 收 敛 坐 标 ： 0 ， 是 与 f(t)有 关 的 实 数 。
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t， tn 信 号 。
6
③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e at ， 只 有 当 a 时 才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
• 频率平移
f(t)es0t F(ss0)
13
• 时域微分
df(t)/dt sF (s)f(0)
• 时域积分
t
0
f()d F (s)/s f()d/s
• 复频域微分
tf(t) dF(s)/ds
• 复频域积分
f(t)/ts F(s)ds
14
• 时域卷积
f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
9
例 ： x (t ) e a|t| ， 求 出 其 拉 氏 变 换 X (s)，
画 出 零 极 点 及 a>0 和 a<0 的 收 敛 域 解 ： 因 为 x(t)是 双 边 信 号 ， 可 表 示 为
x(t) eatu (t) eatu (t)
注 意 x(t)在 t=0 处 是 连 续 的 ， 且
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
16
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
F
(
s
)
e
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
x(0 _) x(0) x(0) 1 ， 求 拉 氏 变 换 ，
10
百度文库
eatu(t) 1 sa
R e( s) a (1)
eatu(t) 1
Re(s) a (2)
s a
如 果 a>0，（ 1） 式 和 （ 2） 式 的 收 敛 域 重 叠 ， 收 敛 域 为 -a<Re(s)<a， 因 此 x(t)的 双 边 拉 氏 变 换 为
⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
7
另 外 ，对 所 有 拉 普 拉 斯 变 换 来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如 果 信 号 的 收 敛 域 包 括 虚 轴 ，则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
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因为不同的函数不同的收敛条件下可以 得 到 同 样 的 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 式 ，所 以 在 给 定某函数的双边拉普拉斯变换式 FB(s)时必 须 注 明 其 收 敛 域 ，因 而 使 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 的逆变换的求解比较麻烦，这是它的缺点。 对于单边拉普拉斯变换的收敛问题比较简 单 ，一 般 情 况 下 ，求 函 数 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 时不再注明其函数范围。
第三章 拉普拉斯变换
1
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
F(s) f (t)estdt
f (t)
1
j F(s)est ds
2 j j
其中，sj 称为复频率，s平面为复平面。
2
单边拉普拉斯变换
F(s) f (t)estdt 0
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综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ，或 随 时 间 t， tn 成 比 例 增 长 的 信 号 ，则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
收 敛 域 ， 因 此 ， x(t)的 拉 氏 变 换 不 存 在 。
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§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a 1 f 1 ( t) a 2 f2 ( t) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s )
• 尺寸变换
f (at)1F(s/a) a
• 时间平移
f(t t0 )u (t t0 ) F (s)e st0
1 1 2a X (s) s a s a s2 a2 a Re(s) a
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由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
• 初值定理
f(0)lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
• 终值定理
f( )lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
s=0在收敛域内，即有终值存在，才能使
用终值定理
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可以利用拉普拉斯变换求信号的拉普 拉斯变换式，应用性质时应注意：
①应用线性时，注意结果的收敛域范 围，有些情况可能会扩大。
f (t)
1
j F(s)estds
2 j j
S的实部反映指数函数的幅值变 换速率，虚部反映函数中因子 e j t 作周期变化的频率 常用函数的拉普拉斯变换（P99）
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实 际 工 程 中 使 用 的 信 号 都 是 有 开 始 时 刻 的 ，令 信 号 的 开 始 时 刻 为 时 间 坐 标 原 点 (t= 0 )，所 以 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 是 求 解 系 统 响 应 的 有 力 工 具 。单 边 拉 普 拉 斯 变 换 中 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 主 要 考 虑 信 号 f(t)在 t=0 时 刻 可 能 包 含 有 冲 激 函 数 及 其 导 数 项 。 如 果 信 号 f(t)在 t=0 处 不 包 含 有 冲 激 函 数 及其导数项，在求该信号的单边拉普拉斯变换 时 ， 积 分 下 限 取 为 0-， 0+和 0 都 是 一 样 的 ， 因 为此时初始状态与初始值一致。
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二 收敛域 使 F(s)存 在 的 复 变 量 s 的 取 值 区 域 称 为 函 数 F(s)
的 收 敛 域 ， 记 为 ROC(region of Convergence).
若 f (t)et 取 极 限 t ,对 0 的 所 有 实 数
有 ： lim f (t)e t 0 ， 则 拉 氏 存 在 。 x 收敛域： R(s) 0 ， 收 敛 坐 标 ： 0 ， 是 与 f(t)有 关 的 实 数 。
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t， tn 信 号 。
6
③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e at ， 只 有 当 a 时 才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
• 频率平移
f(t)es0t F(ss0)
13
• 时域微分
df(t)/dt sF (s)f(0)
• 时域积分
t
0
f()d F (s)/s f()d/s
• 复频域微分
tf(t) dF(s)/ds
• 复频域积分
f(t)/ts F(s)ds
14
• 时域卷积
f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
9
例 ： x (t ) e a|t| ， 求 出 其 拉 氏 变 换 X (s)，
画 出 零 极 点 及 a>0 和 a<0 的 收 敛 域 解 ： 因 为 x(t)是 双 边 信 号 ， 可 表 示 为
x(t) eatu (t) eatu (t)
注 意 x(t)在 t=0 处 是 连 续 的 ， 且
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
16
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
F
(
s
)
e
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
x(0 _) x(0) x(0) 1 ， 求 拉 氏 变 换 ，
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百度文库
eatu(t) 1 sa
R e( s) a (1)
eatu(t) 1
Re(s) a (2)
s a
如 果 a>0，（ 1） 式 和 （ 2） 式 的 收 敛 域 重 叠 ， 收 敛 域 为 -a<Re(s)<a， 因 此 x(t)的 双 边 拉 氏 变 换 为