上海市静安区2021届新高考一诊数学试题含解析

上海市静安区2021届新高考一诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π

表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】A 【解析】 【分析】

计算3

1cos

sin 3322

π

ππ=+=+i e

i ，得到答案. 【详解】

根据题意cos sin ix

e x i x =+，故3

1cos

sin 3322

π

ππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】

本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.

2．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、

C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．36种

【答案】B 【解析】 【分析】

分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】

如果甲单独到A 县，则方法数有22

326C A ⨯=种.

如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12

326C A ⨯=种.

故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

3．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=

C ．210x y -+=

D ．210x y ---=

【答案】A 【解析】 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到

12124

22

y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】

解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，

又211

222

44y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()22

12124y y x x -=-， ∴()

()()1212124y y y y x x +-=-，

∴

12124

22

y y x x -==-， ∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，

∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．

4．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）

A ．3log 4

B ．3log 41+

C ．

43

D ．3log 41-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313

1

c

a b

+=+

-，只需求出3a b +的最小值，根据

333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”，

所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x

f x =的“线性对称点，

所以333b c a b c a ++++=，

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--，

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.

5．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）

A ．[1,1]-

B ．(3,1]-

C ．(,3)(1,)-∞--+∞

D ．(3,1)--

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出集合N 的补集U

N ，再求出集合M 与

U

N 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.

【详解】

由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1U

N x x =<-或1}x >，

又{|31}M x x =-<< 所以{31}U

M N x x ⋂=-<<-.

故选：D. 【点睛】

本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.