第九章 膨胀波和激波

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气流通过激波时的基本方程
连续方程：
1v1n 2 v2n
切线方向动量方程：
法线方向动量方程：
p2 p1 1v1n (v1n v2n )
1v1n (v2t v1t ) 0
2 2 2 v2 v2 v n 2t
2 v12 v2 能量方程： h1 h2 h0 2 2
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第五节 激波的反射与相交
自由界面上的反射
在自由界面上的反射
在固体避面上的反射
λ型激波系
从等压自由界面发生出来的应是膨胀波。在固体壁面上反射时反射 斜激波的激波角会大于入射斜激波的激波角 。若转折角大于该来流 马赫数下的最大转折角，此时入射激波与反射激波就会如图所示的 那样，形成λ型的激波系
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正激波和斜激波基本方程的对照表
，
正激波 速度下脚标 总焓 连续方程 动量方程 能量方程 1，2
斜激波 1n,2n
v h h0 t 2
0 2
h0
p1v1 p2 v2
2 p 2 p1 1v12 2 v2
p1n v1n p 2 n v2 n
2 p2 p1 1v12n 2v2 n
膨胀波
2
膨胀波产生的特点：
1.超声速来流为定常二维流动,在壁面折 转处必定产生一扇型膨胀波组，此扇 型膨胀波是有无限多的马赫波所组成 2.经过膨胀波组时，气流参数是连续变 化的，其速度增大，压强、密度和温 度相应减小,流动过程为绝热等熵的膨 胀过程. 3.气流通过膨胀波组后，将平行于壁面 OB流动. 4.沿膨胀波束的任一条马赫线，气流参 数不变，因每条马赫线也是等压线。而且 马赫线是一条直线 . 5. 膨胀波束中的任一点的速度大小仅与 该点的气流方向有关.
由
v12 v12n v12t
2 2 v12n v2 v 得 h1 h2 n h0 t1 h0 2 2 2
由上面的分析我们可以知道，气流通过斜激波时，只有法向速度 分量减小，而切向速度不变。同时气流通过斜激波时，法向总焓 的值没有变化。因此，可以将斜激波视为以法向分速度为波前速 度的正激波。
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激波的相交
同侧激波的相交 在壁面的同一侧先后有两次转折， 产生两条斜激波AC和BC，这两条 斜激波相交于C后合成一条较强的 斜激波CD。斜激波AC和BC在处A、 1 2 B分别转折了 和 角。
异向转折两斜激波的相交 超声速气流通过的管道两对壁上 都有转折处，上、下壁分别在A1、 A2处转折了 角。 A1处发出的 1 , 2 斜激波和A2发出的斜激波相交于 B处
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4.温度比
5.声速比 6.马赫数比
T2 2kMa12 (k 1) 2 (k 1)Ma12 [ ][ ] 2 T1 k 1 (k 1)Ma1
c2 2kMa12 (k 1) 2 (k 1)Ma12 0.5 {[ ][ ]} 2 c1 k 1 (k 1)Ma1
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第六节
拉瓦尔喷管内的正激波
当 pamb / p0 1 时，管内无流动。
pamb / p0 1 当 时，管内发生流动。 随 pamb 的减小，速度逐渐增加，当降 低 pamb 至一定的值，喉道处将达到声 速。在收缩段，气体是等熵的亚声速 流动状态，根据可压缩流动的性质， 即使 pamb 再下降，这里仍将保持压声 速流动，不会产生超声速流。
拉阀尔喷管
喷管前部进口处是滞止压强 p0， 出口以后环境压强通常称为背压， (6-38a)有两个解，Ma1<1, Ma2>1.在 。喉部的流动参量计以 pamb 出口截面上分别对应两个压强,p1和p2。 记以 下标“cr”。
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（1） 在喷管上下游压强差的作用下，气体流过喷 管。在收缩段内是亚声速流，流动速度越来越 快，压强不断下降。在喉部，马赫数最大，但 小于1，压强最低。在扩张段内也是亚声速流， 速度逐渐减慢，压强逐步上升，在出口处，出 p pamb 口压 。 （2） p amb p1 p0 p0
2 v12n v2 h2 n h0 h1 2 2
v v h1 1 h2 2 h0 2 2
2
2
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斜激波前后的气流参数比
密度比：
2 1
k 1 2 Ma1 sin 2 k 1 2 2 Ma1 sin 2 k 1

压强比：
p2 2k k 1 2 2 Ma1 sin p1 k 1 k 1
激 波
4
一、激波的分类
1. 斜激波（超声速气流经过激波流动方向变化） （图9－4） 2.正激波 （超声速气流经过激波流动方向不变化） （图9－5） 3.脱体激波（超声速气流流过钝头物体产生的激波） （图9－6） 激波实例： 美军超音速飞机 激波的流动不能作为等熵流动处理。但是，气流 经过激波可以看作是绝热过程。
p p1 amb 1 p0 p0
拉伐尔喷管内的流动
1 此时喉部达声速 ， M t ，在收缩段和扩张 段均为亚声速流。 （3） p 2 p amb p1
p0 p0 p0
在扩张段中将产生激波现象。喉部处的声速流进入扩张段后成为超声速流，而在
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第二节

气流通过凹面时从B开始通道面逐 渐减小，在超声速流情况下,速度就会 逐渐减小，压强就会逐渐增大。与此同 时,气流的方向也逐渐转向，产生一系 列的微弱扰动，从而产生一系列的马赫 波,这种马赫波称为压缩波。气流沿整 个凹曲面的流动，实际上是由这一系列 的马赫波汇成一个突跃面(图9－4)。气 流经过这个突跃面后，流动参数要发生 突跃变化：速度会突跃减小；而压强和 密度会突跃增大。这个突跃面是个强间 断面，即是激波面。
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激波的传播速度：
（1）v s－激波向右的传播速度，激波后气体的 运动速度则为活塞向右移动的速度 , 见图9－8(a)
v
（2）当把坐标系建立在激波面上时，激波前的 气体以速度v1
vs 向左流向激波，经过
激波后气体速度为 v2
v ,见图9－8(b).
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应用动量方程:
A( p1 p2 ) A1vs [(vs v) vs ]
2 1
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第三节
正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、 “2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设 正激波前后的气流参数分别为 p1 1 T1 v1 p2 2 T2 v2 ， ， ，和 ， ， ， ， 则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 13 之间的关系式。
dp c d
上式表示微弱压缩波是以声速传播的 将式（9－1）代入式（b）得波面后得气流速度
v ( p2 p1 )( 2 1 )
1 2
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p1 p2 ( 1)(1 1 ) 1 p1 2
（9 － 2 ）
由此式可见，激波的强度越弱，气体的流速越低。如果是微弱的扰动 v0 。 波，波面后的气体是没有运动的，即 p / p 1 ， 2 / 1 1 ，
由上面三式可得
普朗特（Prandtl）关系式 ：
M a,1 M a,2 1
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三、正激波前、后参数的关系式
1.速度比
2.压强比
v2 1 p2 1 ( 1) 2 v1 kMa1 p1
p2 2k k 1 2 Ma1 p1 k 1 k 1
3.密度比
2 1
k 1 2 Ma1 k 1 2 2 Ma1 k 1
vs v p2 p1
A －为圆管横截面的面积
应用连续性方程：
1
(a)
A1vs A2 (vs v)
2 1 v vs 2
(b )
联立( a )和(b )
得正激波的传播速度
：
vs
p2 p1 2 2 1 1
1 1 1 2
p1
p2 1 p1
qm1 1v1 A1 2v2 A2 qm2
一、激波的基本控制方程
1v1 2v2 连续性方程： 2 2 动量方程： p2 p1 1v1 2 v2 2 k p1 v2 k p2 能量方程： v12
2 k 1 1
2

2

2
k 1 2
2
或 状态方程 ：
2 2 2 2 T 2 kMa sin ( k 1 ) 2 ( k 1 ) Ma sin 1 1 温度比： 2 [ ][ ] 2 2 T1 k 1 (k 1) Ma1 sin
其中以法向速度表示的马赫数为 ：
v1n v1 sin Ma1n Ma1 sin c1 c1
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c2 2kMa12 sin 2 (k 1) 2 (k 1) Ma12 sin 2 0.5 {[ ][ ]} 音速比： 2 2 c1 k 1 (k 1) Ma1 sin
斜激波后的马赫数： v2 n v2 sin( ) Ma 2 sin( ) c2 c2
Ma 2 sin( ) Ma12 sin 2 (k 1) / 2 波前后马赫数的关系： Ma1 sin kMa12 sin 2 (k 1) / 2
斜激波前气流的法向分速度是超音速，斜激波后的法向 分速度是亚音速。斜激波后的气流的速度，则根据切向气 流的分速度大小的不同，可能大于音速也可能小于音速。
第九章 膨胀波和激波
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 膨胀波 激 波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管内的正激波
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第一节
当超声速流流过凸 曲面或凸折面时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。 （ 图9-1、9-2)
v1 c1 v2 c1 k 1 c 2 k 1 2 k 1 k 1 2
p1 p2 1T1 2T2
2
2
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M a,1 M a,2 1
二、普朗特关系式
由能量方程和动量方程可得：
2 2 p2 p1 c2 c1 v1 v2 2 v2 1v1 kv2 kv1 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 2 2 c2 c v2 而 c1 2 c 2 v1 2 2
Ma2 Ma1
2 Ma1 ( k 1) / 2 2 kMa1 (k 1) / 2
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第四节 斜激波
当超音速气流以其法向分速流 过图中所示的凹壁面时将产生 斜激波,气流的法向分速由超 音速变为亚音速，而且流动的 方向也将发生变化。壁面的转 折角为 ，用角标1和2分别表 示波前和波后，n和t分别表示 速度与激波面垂直和平行的分 量，激波与波前壁面的交角称 激波角，如图中 。
（9－1 ）
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2 / 1 增大），激波 由式（9－1）可见，随着激波强度的增大（ p 2 / p1， 的传播速度也增大。若激波强度很弱，即 p 2 / p1 1 ， 2 / 1 1 。 此时激波已成为微弱压缩波，则式（9－1）可写成：
vs
p2 p1 2 1
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二、正激波
正激波的形成过程：见图9－7直圆管在活塞右 侧是无限延伸的，开始时管道中充满静止气体 如(a)所示，活塞向右突然作加速运动，在一 段时间内速度逐步加大到，然后以等速动. 活塞表面靠近的气体依次引起微弱的扰动， 这些扰动波一个个向右传播。 如(b)所示，当活塞不断向右加速时，一道接 一道的扰动波向右传播，而且后续波的波速总 是大于现行波的波速，所以后面的波一定能追 上前面的波。 如(c)所示，无数个小扰动弱波叠加在一起形 成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。