两条直线所成的角

两条直线所成的角

一、教学目标

(一)知识教学点

一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．

(二)能力训练点

通过课题的引入，训练学生由专门到一样，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

(三)学科渗透点

训练学生由专门到一样，定性、定量逐步深入地研究问题的适应．

二、教材分析

1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情形作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直截了当得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2，难点：公式的经历与应用．

3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．

三、活动设计

分析、启发、讲练结合．

四、教学过程

(一)引入新课

我们差不多研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情形，关于两条相交直线，如何样依照它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．

(二)l1到l2的角正切

两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．

l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．

现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2

假如1+k1k2=0，那么θ=90°，

下面研究1+k1k2≠0的情形．

由于直线的方向是由直线的倾角决定的，因此我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．

设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特点是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特点是l1到l2的角是l1、l2与x 轴围成的三角形的外角．

tgα1=k1， tgα2=k2．

∵θ=α2-α1(图1-32)，

或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，

∴tgθ=tg(α2-α1)．

或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．

可得

即

eq \x( )

上面的关系经历时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特点进行经历．

(三)夹角公式

从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(确实是两条直线所成的角，简称夹角)就能够了，这时能够用下面的公式

(四)例题

解：k1=-2，k2=1．

∴θ=arctg3≈71°34′．

本例题用来熟悉夹角公式．

例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求证：

证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则

那个例题用来熟悉直线l1到l2的角．

例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，同时与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，同时与两腰的顺序无关．

设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则

．

因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，因此

θ1=θ2．

tgθ2=tgθ1=-3．

解得 k3=2．

因为l3通过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为

y=2[x-(-2)]，

即 2x-y+4=0．

这确实是直线l3的方程．

讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．

(五)课后小结

(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；

(2)l1到l2的角的正切公式；

(3)l1与l2的夹角的正切公式；

(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．

五、布置作业

1．(教材第32页，1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：

∴θ1=45°．

l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．

2．(教材第32页，1．8练习第2题)求下列直线的夹角：

∵k1·k2=-1，

∴l1与l2的夹角是90°．

(2)k1=1， k2=0．

两直线的夹角为45°．

∴l1与l2的夹角是90°．

3．(习题三第10题)已知直线l通过点P(2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o，求直线l的方程．

即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．

4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为：x-2y-2=0．

六、板书设计