异面直线所成的角求法-答案

异面直线所成的角的两种求法

初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法

一．传统求法--------找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4

2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.

解 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.

∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2

1

AB ＝62， HE ＝

2

1

，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.

∴ sin∠EHG＝

2

2

,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2

2

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=

21 BC ，FG∥AD，且FG=

2

1

AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF=

2

1

AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两

条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值；

H

G

F

E

D

C

B A

A

B

C

G

F E

D

解：(1)连接DM,过N 作NE ∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE ∥AM 省 ∴NE=

2

1

AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=

21·23= 43且ME=2

1

MD=43

在Rt △MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=

163+41=16

7 ∴cos ∠CNE=

324

3

432167)43()43(

2222

22-=⋅⋅-+=⋅⋅-+NE

CN CE NE CN ,

又∵∠CNE ∈(0,

2

π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为

3

2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有

通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

例4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，

EF=7，

3

1

==EC BE FD AF 。求异面直线AB 与CD 所成的角。 解：在BD 上取一点G ，使得3

1

=GD BG ，连结EG 、FG

在ΔBCD 中，GD

BG

EC BE =

，故EG//CD ，并且4

1

==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且4

3

==AD DF AB FG ，

故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得

cos ∠FGE=

2

1

5327532222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角，于是AB 与CD 所成的角等于60°。

例5 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1与BD 所成的角的余弦．

D 1

A 1

B 1

C 1

O 1

A

B

D

C

G F O A B C D

E F

G