高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角

一、平移法：

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直角平移法：

1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．

解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝

3

FG ＝EG ＝1

∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC

和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°

3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA

＝

2

π

，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM

∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝

a 2

5 NQ ＝21SM ＝

4

2a BQ ＝

a 4

14

∴COS ∠QNB ＝

5

10

2222=

⋅-+NQ BN BQ NQ BN

4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，

若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．

解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5

，GN ＝BM ＝

6

，

cos ∠GNA ＝10

305

62556=⨯⨯-+。

B

M A

N C

S

A B

C D A 1B 1

C 1

D 1

E

F 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成

的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ，

又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，

故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。 因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,

从而∠A 1HA=90°,

即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。 6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点

(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线； (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；

(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 解：(1)

∵ A '∉平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B ∉CC′,

∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线

(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°

(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′AE 是AE 和CC′所成的角 在Rt △AA′E 中，tan ∠A′AE ＝

A E AA ''

＝21

，所以AE 和CC′所成角的正切值是

2

1

(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥

A '

B '＝∥

AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥

AE, 即BF ∥AE 且BF=AE.

∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角

设正方体各棱长为2，连A′F ，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B ＝22，A′F ＝BF ＝5，由余弦定理得： cos ∠A′BF ＝

5

105

222)

5()5()22(2

2

2

=

⨯⨯-+

7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大

小。 F

(图1－29) 5

5

B ' (图1－28) A '

A

B C '

D '

C

D F

E

解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，

cos∠DB1E=734

∴∠DB1E=cos

arc

734

。

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，

∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734

，∴∠C1BE=cos

arc

734

。

练习：

8. 如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？

9.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦

值.？