汽车可靠性第3章

3）要求工作80h的可靠度。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
六、威布尔分布
W (m, , )
威布尔分布主要用于工程中的寿命问题。
概率密度函数 分布函数
m t f (t )

m 1
t exp

2
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
二 、泊松分布
在二项分布中，当p很小，n很大，而np 为常 数时，则该二项分布接近一个极限，这个极限就称 为泊松分布。它是一种离散型分布。 在n次试验中，X发生θ次的概率为
PX e !
系统成功的概率
P X 0 ! e 1 0
特征： ① 曲线关于 t ② 在均值t

对称。
1
t

处有最大值，其值为 2
。
③ 标准差σ越小，曲线 f ( x )的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布
(t )
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
重点：
几个重要的分布的可靠性函数、寿命特 征： 正态分布 对数正态分布 指数分布 威布尔分布
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
一、二项分布
在一次试验中只能出现两种结果之一的情况， 它是一种离散型分布。 设试验只能出现成功和失败两种结果： 成功A 概率为q 失败 B 概率为p=1-q 在n次试验中， X发生θ次的概 率为
2、尺度参数 –改变曲线的纵、横坐标的标尺，函
数曲线的形状随之变化。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
3、位置参数 －反映密度函数曲线起始点的位置在横
坐标轴上的变化，但曲线形状不改变。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
两参数威布尔分布的可靠性函数
概率密度函数 分布函数
m t f (t )
1 2
e
t2 2
正态分布标准化
设z t
1 ( z ) f (t ) e (标准正态变量) 2 ( z ) ( z )
z2 2
( z ) 值可查正态分布密度函数数值表
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
1 F (t ) 2
4、正态分布故障率函数
f (t ) (t ) R(t ) 1 e 2 1 2
1 t 2
2


t
e
1 t 2
2
dt
标准正态分布故障率函数
f (t ) ( z ) (t ) R(t ) 1 ( z ) 1 ( t )

m 1

m

f t m t t 故障率函数: t R
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第三章 可靠性常用分布函数
威布尔分布的参数 1、形状参数 m －决定威布尔分布密度函数曲线的形状。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
X N (20000, 20002 )
寿命以循环次数计。求该产品
在19000次循环时的 R(t ), (t )和t0.8 。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
五、对数正态分布 LN ( , 2 )
定义：连续型随机变量T的自然对数呈正态分布， lnT~N(μ，σ２)，则称T服从对数正态分布。
例2：某汽车零件服从指数分布，且在100h的工
作时间内约有5%失效,求可靠寿命t(0.9)和可靠度
R(1000)。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
指数分布的重要性质——无记忆性
产品可靠度与工作过的时间长短无关，好像一个新产 品从新开始工作一样。
例3：某批产品服从失效率
0.002 的指数分布，
ln t R(t ) 1
(
ln t )(t )1
可靠度函数
故障率函数
f (t ) (t ) ln t R(t ) 1 ( )

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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的寿命特征
平均寿命
E (T ) e
在100h内的最大失效率。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
习题一
某汽车产品的寿命服从正态分布N（24，112）， 求此产品工作到13小时时的可靠度和失效率，并计
算可靠度为95%时的可靠寿命。
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
习题二
对100台变速箱进行寿命试验，在1000h结束时， 共有5台失效。试求其不可靠度、故障率、可靠寿命、
m 1
t m exp
t m F (t ) 1 exp
t m R t 1 F t exp
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
3、正态分布可靠度函数
1 R (t ) 2


t
e
1 t 2
2
dt
标准正态分布可靠度函数
t R(t ) 1 F (t ) 1 ( z) 1 ( )
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第三章 可靠性常用分布函数
系统成功的概率
P( X ) Cn p q n ( 0,1, , n)
P( X ) C
0


P( X ) C p q
n
0

0
n
pq

n
1
n
二项分布的数学期望和方差为
E( X ) np D( X ) npq

t

e
1 t 2
2
dt
标准正态分布不可靠度函数
1 F (t ) 2

t

e dt
t2 2
标准化
t 1 ( z ) ( ) 2

z

e dz F (t )
z2 2
( z ) 1 ( z )
( z ) 值可查正态分布表
m

(m 0, 0, t )
式中 m— 形状参数； —尺度参数； —位置参数。
t F (t ) 1 exp

m

可靠度函数:
t Rt 1 F t exp
当它工作500h后，其未失效为3679件。试计算从第
500h开始，工作到800h时的失效数
。N f
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
四、正态分布
N ( , 2 )
1、正态分布故障密度函数
1 f (t ) e 2
1 t 2
2
, ( t )
t
对数正态分布标准化
F (t ) 1 2
设z
ln t


ln t

0
1 2 ln x exp z dz z 2
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
对数正态分布的可靠性函数
不可靠度函数
ln t F (t )
可靠度函数 故障率函数
t
R t
f t

m t
m 1
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
威布尔分布的寿命特征
两参数 平均寿命 寿命方差
E (T ) ( 1 1) m
三参数
E (T ) ( 1 1) m
2 1 D (T ) 2 ( 1) 2 ( 1) m m
平均寿命
寿命方差
E (T )
D(T ) 2
1

1
可靠寿命 TR 1 ln 1

R
2
特征寿命 T (e1 )
1

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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例1（教材例3-1）：设某元件在偶然失效阶段寿 命服从指数分布,且已知数学期望为10000h。求： 1、寿命为15000h的可靠度； 2、寿命为9000-11000h的概率。

E(X ) 泊松分布的数学期望和方差为 D(X )
P( X ) e 0 !


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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e( )
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f ( t ) e t 不可靠度函数 F (t ) 1 e t 可靠度函数 R(t ) e t 失效率函数 (t ) f (t ) / R(t )
1
(
t
)
1

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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
5、正态分布的寿命特征
平均寿命 寿命方差 可靠寿命 中位寿命
E( X )
D( X ) 2
TR (1 R)
1
T (0.5)
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例4（教材例3-2）：从一批弹簧中，取出8件 在同一应力水平下进行疲劳试验。若已知失效时 间服从正态分布，其均值为302千周，均方差为68 千周。按要求寿命大于250千周为合格，在250千 周以下为不合格，求合格品的概率。 例5：已知某产品的寿命服从正态分布,
概率密度函数
分布函数
1 ln t 2 1 f (t ) exp 2 t 2
1 ln t 2 1 F (t ) exp dt 0 t 2 2
中位寿命和特征寿命。（变速箱寿命服从指数分布）
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1 ( 2 ) 2
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寿命方差
D(T ) e
TR e
2 2
e
2
1

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可靠寿命
[ 1 (1 R )]
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6(教材例3-3)：已知某零件的寿命服从对数 正态分布，随机抽取5个零件进行了试验，测得其 寿命为93，79，83，87，92h。试计算： 1）对数正态分布数学期望及方差； 2）可靠度为95%的可靠寿命；
可靠寿命 特征寿命
TR ( ln R)
1 m
TR ( ln R)
1 m
T (e1 )
T (e1 )
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车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例7(教材例3-4)：已知某汽车零部件疲劳寿命服 从威布尔分布，其形状参数 m 2 400h 0h 试计算该部件的平均寿命;可靠度为95%的可靠寿命;