能带理论

能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.
能带和能带隙
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为
0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占
据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。

导带（Conduction Band）：价带以上能量最低的允许带称为导带。

导带的底能级表示为Ec，价带的顶能级表示为Ev，Ec与Ev之间的能量间隔称为禁带Eg。

导体或半导体的导电作用是通过带电粒子的运动（形成电流）来实现的，这种电流的载体称为载流子。

导体中的载流子是自由电子，半导体中的载流子则是带负电的电子和带正电的空穴。

对于不同的材料，禁带宽度不同，导带中电子的数目也不同，从而有不同的导电性。

例如，绝缘材料SiO2的Eg约为5.2eV，导带中电子极少，所以导电性不好，电阻率大于1012Ω•cm。

半导体Si的Eg约为1.1eV，导带中有一定数目的电子，从而有一定的导电性，电阻率为10-3—1012Ω•cm。

金属的导带与价带有一定程度的重合，Eg=0，价电子可以在金属中自由运动，所以导电性好，电阻率为10-6—10-3Ω•cm
孤立原子的能带
原子的外层电子孤立可能取的能量状态（能级）完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。

原子结合成晶体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区分究竟属于哪个原子，实际上是被晶体中所有原子所共有，称为共有化。

原子间距减小时，孤立原子的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。

共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。

孤立原子的每个能级都有一个能带与之相应，所有这些能带称为允许带。

相邻两允许带间的空隙代表晶体所不能占有的能量状态，称为禁带。

若晶体由N个原子（或原胞）组成，则每个能带包括N个能级，其中每个能级可被两个自旋相反的电子所占有，故每个能带最多可容纳2N个电子。

价电子所填充
的能带称为价带。

比价带中所有量子态均被电子占满，则称为满带。

满带中的电子不能参与宏观导电过程。

无任何电子占据的能带称为空带。

未被电子占满的能带称为未满带。

例如一价金属有一个价电子，N个原子构成晶体时，价带中的2N 个量子态只有一半被占据，另一半空着。

未满带中的电子能参与导电过程，故称为导带。

固体的能带
固体的导电性能由其能带结构决定。

对一价金属，价带是未满带，故能导电。

对
二价金属，价带是满带，但禁带宽度为零，价带与较高的空带相交叠，满带中的电子能占据空带，因而也能导电，绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满带，价带与空带间存在禁带。

无机半导体的禁带宽度从0.1～2.0eV，π-π共轭聚合物的能带隙大致在1.4～4.2eV,绝缘体的禁带宽度大于4.5eV。

在任何温度下，由于热运动，满带中的电子总会有一些具有足够的能量激发到空带中，使之成为导带。

由于绝缘体的禁带宽度较大，常温下从满带激发到空带的电子数微不足道，宏观上表现为导电性能差。

半导体的禁带宽度较小，满带中的电子只需较小能量就能激发到空带中，宏观上表现为有较大的电导率。

能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。

例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。

多电子理论建立后，单电子能带论的结果常作为多电子理论的起点，在解决现代复杂问题时，两种理论是相辅相成的。

固体的能带理论
固体的能带理论是理解固体的导电性能所必须的重要理论，它奠定了半导体物理的理论基础。

能带结构理论可形象解释如下：一氢原子的能级如下图，它的每
条能级都是简并的。

若用一定的手段可使它们分裂，每个能级能变成一个能级束。

每个能级束中的诸能级靠得很近，该束中最高能级与最低能级的能量差△E很小，这样的每个能级束称为一条能带，△E称为能带的宽度，两条不同的能带之间的那些能量区域称为禁带或能隙，禁带中的能量值不满足薛定谔方程。

上面的图象可以帮助我们理解能带的概念，但还远远不能包括近代能带理论的基本内容。

因为能带理论讨论的是固体中电子的能级。

固体中的电子除了受它所在的原子的作用之外，还要受到其他原子的作用，其他原子的作用可以视为周期性势场。

这周期性势场相对于库仑场的偏离是使能级分裂的原因。

但分裂的结果却与上述氢原子能级分裂的情形相去甚远。

除了能级结构和氢原子能级结构有较大的区别之外，其主要的区别是每条能带中能级的数目很大，使得每条能带中两相邻的能级近于重合，因此每条能带中能量的变化可视为连续的，这些能级形成了一条“名符其实”的能带。

在该能带中的所有能量值都满足薛定谔方程。

下面是一种特殊的能带结构图。

该图表示出了一般能带的基本特征。

图中斜线部分表示诸允许能级构成的能带，空白部分是禁带。

可以证明每条能带中能级的条数是固体中原子（对晶体而言是晶胞）个数的2倍。

诸原子中的电子可以以不同的方式占据各能级。

按照被电子不同的占有情况，能带可分为价带、满带、空带、导带。

完全被电子占据的能带称为满带，完全未被占据的称为空带，部分被占据的称为导带，价电子占据的称为价带。

价带可以是满带，也可以是导带。

能带被电子占据的方式决定了介质的导电性能。

若一介质有导带存在，那么在不大的外加电场（不至于使原子结构被破坏）的作用下，导带内的电子会在该带内发生跃迁。

这种跃迁所需的能量甚小。

由于该带内诸能级对应的动量不同，跃迁的结果使得电子系的总动量发生连续改变，因而形成宏观定向移动。

这种介质就是导体。

绝缘体是无导带的介质。

由于绝缘体中只存在满带和空带，因而电子的
跃迁只能在不同能带之间进行，这种跃迁需要的能量较大，一般不容易发生，这就是绝缘体通常不导电的原因。

若外加电场足够强，则可发生这种不同能带之间的跃迁，而这时，绝缘介质的内部结构已被破坏（被击穿）。

能带理论的最大成就是它能够解释半导体现象。

原来在半导体中，能带也是满带，但是一个满带和空带之间的能隙很小，或者有交叠。

这样它就容易在外界作用（如光照、升温等）下发生跃迁而形成两个导带，从而发生导电现象。

但它的导电性能比导体要差得多。

能带结构理论是在自由电子模型的基础上发展起来的。

在这方面作出巨大贡献的主要人物是布洛赫，他在1928年提出了能带结构理论，实现了固体物理的一大进步，为半导体物理的发展打下了理论基础。

然而这个理论也有它的局限性。

对电子之间的相互作用问题，原子内层电子被强束缚的情形，这个理论就无能为力了。