证明n元均值不等式

证明n 元均值不等式

1212n n n a a a n a a a +++≥证明：

首先证明，23n

2,222当，，，，时，不等式成立。

显然，12

a

a +≥

又因为1234a a a a +++≥≥ 同理可以证明得到n 2也成立。

再证明，当k k+1n 22∈（，）

也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k

k 21212

222a a a a a a ++

+≥，

k+1k+1k+1k+121212

222a a a a a a ++

+≥

则k k k 121222+12+i =++

+n a a a a a a

a a ++++

+

+（），

k k k k

k k

k k k k+12

k 2+i

1212

22+12+i

1222+1k 22+i +2-i =++++2-i 2n a a a a a

a a a a a a a a

+++++

⋅+≥（则（）（））

k 2k 22-

2i i -其中）个（加所得。

k k k k k k k k k 2k 2+i 1212

22+12+i 22+1

2+i

2-i ++

+2+i a a a a a a a a a a ⊗++

+≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（）

1212

n n n a a a n a a a +++≥即：得证。