数值计算方法期末考试题

1. 已知函数

21

1y x =

+的一组数据：

求分段

线性插值函数，并计算

()

1.5f 的近似值.

计算题1.答案

1. 解

[]

0,1x ∈，

()10

10.510.50110x x L x x --=

⨯+⨯=---

[]

1,2x ∈，

()210.50.20.30.81221x x L x x --=

⨯+⨯=-+--

所以分段线性插值函数为

()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨

-∈⎪⎩

()1.50.80.3 1.50.35

L =-⨯=

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1

01

1dx x +⎰.

计算题4.答案

4 解 梯形公式

()()()2b

a

b a

f x dx f a f b -≈

⎡+⎤⎣⎦⎰

应用梯形公式得1

01111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰

辛卜生公式为

()()()[4()]62b

a

b a a b

f x dx f a f f b -+≈

++⎰

应用辛卜生公式得()()1

011010[04()1]162dx f f f x -+≈+++⎰

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

()()()()

1010h

h

f x dx A f h A f A f h --=-++⎰

证明题答案

1．设

3

2

01219

(), , 1, 44f x x x x x ====

（1）试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣

⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足 ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===

()

x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式

计算题1.答案

1、（1）

()32142632331

22545045025x x x x H =-

++-

（2）

()522191919

()(1)(),()(,)

4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈

3． 试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

计算题3.答案

3、

101612,,995A C B a ====±，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的

4． 推导常微分方程的初值问题 00

'(,)

()y f x y y x y =⎧⎨

=⎩的数值解公式：

'''1111(4)

3n n n n n h y y y y y +-+-=+++

（提示： 利用Simpson 求积公式。）

计算题4.答案

(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

计算题1.

答案

4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式

1

1231

11

()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立。

计算题4.答案

三、计算题（70分）

1. （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝

2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的 二次插值基函数l 1(x )=( )，]4,3,0[f =( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得=')4(f ( ).

计算题1.答案

3. （15分）确定求积公式 )

5.0()()5.0()(11

1Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰- 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

计算题3.答案

4. （15分）设初值问题 1

01

)0(23<<⎩⎨

⎧=+='x y y

x y .

(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数值解

的公式，并求解21,y y ，保留两位小数。

计算题4.答案

4.1(1) 0.1(32)0.3 1.2n n n n n n y y x y x y +=++=+

5. （15分）取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数x

e y -=在区间]1,0[上的二次插

值多项式)(2x P ，并估计误差。

计算题5.答案

二、

计算题

1、已知函数()y f x =的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x 13()2P =的近似值。

计算题1.答案

解：差商表

由牛顿插值公式：

323332348

()()21,

33141181

3()()2()()12

232232p x N x x x x p ==-++≈=-++=

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1h =，

1,

(0,0.6)

(0) 1.

y y x x y '=-++⎧∈⎨

=⎩。

计算题2.答案

解：010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,

1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;

1.056100;1.090490;1.131441.

n n n n k f x y y x y h y y x y n y y η+=-++====++-===

3、（15分）确定求积公式